坐标系与参数方程备课材料.doc

高三数学
备课资料
坐标系与参数方程、矩阵
矩阵考纲要求
1．二阶矩阵与平面向量
了解矩阵的有关概念；理解二阶矩阵与平面列向量的乘法。
2．几种常见的平面变换
理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线，即A(λ1α+λ2β)＝λ1Aα+λ2Aβ。
了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换；了解单位矩阵。
3．变换的复合与矩阵的乘法
理解二阶矩阵的乘法；理解矩阵乘法的简单性质（不满足交换律、满足结合律、不满足消去律）。
4．逆变换与逆矩阵
理解逆矩阵的意义；理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件。
理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1＝B-1A-1 等简单性质，并了解其在变换中的意义。
会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵。
了解二阶行列式的定义；会用二阶行列式求逆矩阵。
了解用变换与映射的观点解二元线性方程组的意义。
会用系数矩阵的逆矩阵解二元线性方程组。
了解用系数矩阵来判定二元线性方程组解的存在性、唯一性的方法。
5．特征值与特征向量
理解二阶矩阵特征值与特征向量的意义。
会求二阶矩阵的特征值与特征向量（只要求特征值是两个不同实数的情形）。
会用二阶矩阵的特征值、特征向量解决简单的问题。
了解三阶或高阶矩阵。
了解矩阵的简单应用。
教学建议
1．本专题只对具体的二阶方阵加以讨论，而不讨论一般m×n阶矩阵以及（aij）形式的表示。
2．矩阵的引入要从具体的实例开始，通过具体的实例让学生认识到，某些几何变换可以用矩阵来表示，丰富学生对矩阵几何意义的理解，并引导学生用映射的观点来认识矩阵、解线性方程组。
3．要求从图形的变换直观地理解矩阵的乘法，并通过具体的实例让学生理解矩阵乘法的运算律。
4．要在具体的实例中理解逆矩阵和特征值的实际意义及其不变性，结合具体实例能用线性方程组或用行列式来求解简单二阶矩阵的逆矩阵和特征值。逆矩阵的唯一性定理要结合具体几何变换来理解其合理性。
5．在学习二阶矩阵基础知识的同时，教师可以根据教学的实际情况适时地介绍一些矩阵的拓广知识（如三阶矩阵或高阶矩阵），这些知识不要求学生掌握，只要求学生作一些感性的认识，也便于学生对矩阵的有关知识有一个较为全面的了解，有利于以后的学习。
6．这部分内容的教学应让学生认识到，矩阵从实际生活需要中产生，并在实际的问题中有着广泛的应用，体验数学的抽象更有助于人们对问题的思考与解决。
7．矩阵的简单应用，在教学中主要把握以下两方面情况：
（1）运用的矩阵为：m×1矩阵或1×n矩阵（m，n≤4）或n×n方阵（n=2，3）。
（2）问题类型为：简单的网络图中的一级路、二级路矩阵问题；简单的二阶逆矩阵应用问题；简单的特征向量应用问题。
坐标系与参数方程考纲要求
1．坐标系
了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。
了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。
2．曲线的极坐标方程
了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。
3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）
了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。
4．参数方程
了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。
理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。
会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。
教学建议
1．坐标系的教学应着重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同。同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式。因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式。在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处
2．教学中应通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π。极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围。
3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程。
4．应通过对具体物理现象的分析(如抛物运动的轨迹)引入参数方程，使学生了解参数的作用。应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程。
5．可以组织学生成立兴趣小组，合作研究摆线的性质，收集摆线应用的实例，了解平摆线和圆的渐开线的参数方程。可以应用计算机展现心脏线、螺线、玫瑰线、叶形线、摆线、渐开线等，使学生感受这些曲线的美。
典型例题
1、  已知某圆的极坐标方程为：ρ2 –4ρcon(θ-π/4)+6=0
求：①　圆的普通方程和参数方程　②圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值
　　解：①原方程可化为：–4ρ[conθ.con+sinθ.sin] +6=0
即：–2ρconθ–2ρsinθ+6=0  (1)
∵  　　∴(1)可化为：+–2 x–2y+6=0
即：+=2 此方程即为所求普通方程
设 　=conθ, 　　　　=sinθ
∴则普通方程又可化为：此方程即为所求参数方程。
解②：　由①xy=()()=4+2 (conθ+sinθ) +2 conθ.sinθ
　　　　　　=3+2 (conθ+sinθ)+    (2)
设 t= conθ+sinθ,则 t=sin(θ+)   t∈[-,]
∴xy=3+2 t+ =+1
当t=–时的xy最小值为1；当t=时xy最大值为9
2、根据下列条件求X,根据两题的结果，指出你认为正确的一个结论
①  X =        ②X =      
2、解：①X =    =   = 

②X =    =  = 
∵  ≠   结论：矩阵乘法不满足交换律。
4、若  =  ，试比较x0.7与x0.8的大小
4、解：∵  =      =    =  = 
∴3x=1  ∴ x =    考察y=()x 的图象和性质得：x0.7   =      ∴= M-1=  =
即方程组的解为：
9、根据下列条件试判断M 是否与 共线
⑴M=  ，  非零向量 = ⑵ M=           =
9、解：⑴ M=  ==3
所以M与共线。
⑵ M=   =   而与不共线。 即此时M与不共线。
10、求矩阵M=  的特征值和特征向量
解：矩阵M的特征值满足方程
0=  =(+1) (-3)-(-)(-2)= 2-2-8
解得，矩阵M的两个特征值1=4，2=-2
⑴设属于特征值1=4的特征向量为，则它满足方程：
(1+1)x+(-2)y=0  即：（4+1）x+(-2)y=0 也就是 5 x-2y=0
 则可取为属于特征值1=4的一个特征向量
⑵设属于特征值1=-2的特征向量为，则它满足方程：
(2+1)x+(-2)y=0
即：（-2+1）x+(-2)y=0 也就是  x+2y=0
 则可取为属于特征值2=-2的一个特征向量
综上所述：M=   有两个特征值1=4，2=-2，
属于1=4的一个特征向量为，属于2=-2的一个特征向量为。
11、已知：矩阵M=  ，向量 = 求M3
11、解：由上题可知1 = ， 2 =是矩阵M=         分别对应特征值1=4，2=-2的两个特征向量，而1  与2 不共线。又  ==3+=31+2
∴M3= M3（31+2）=3 M31+ M32  =3131+232=3×43+（-2）3×
     = 192×-8×==
12、已知⊿ABC的坐标分别为A（1，1）、B（3，2 ）、C（2，4 ），①写出直线AB的向量方程及其坐标形式。②并求出BC边上的高。
解：①AB的平行向量为：V0==，设M为直线AB上的任意一点，故：
所求向量方程为：OM = OA + t V0   ( tR ) 其坐标形式分别为：=+ t   ( tR ) ②由 ①，直线AB的坐标形式方程可化为：   肖去t后得普通方程为：x-2y+1=0  所以所求高为C到直线AB的距离，设为h,则：h= 
历年高考试题
12．N3[2012·天津卷] 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
12．2　[解析] 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题．
将参数方程 化为普通方程为y2＝2px(p>0)，并且F，E，
又∵|EF|＝|MF|＝|ME|，即有3＋＝，解之得
p＝±2(负值舍去)，即p＝2.
10． N3[2012·上海卷] 如图1－1所示，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝，若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)的形式，则f(θ)＝________.

图1－1
10.　[解析] 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化简．
由已知得直线方程为y＝(x－2)tan，化简得x－y－2＝0，转化为极坐标方程为：
ρcosθ－ρsinθ－2＝0，解得ρ＝＝，所以
f(θ)＝.
15 C. N3 [2012·陕西卷]直线2ρcosθ＝1与圆ρ＝2cosθ相交的弦长为________．

15C. 　[解析] 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标．由2ρcosθ＝1得2x＝1①，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x②，联立①②得y＝±，所以弦长为.
23．N3[2012·辽宁卷]在直角坐标系xOy.圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
23．解：(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，
圆C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为，.
注：极坐标系下点的表示不唯一．
(2)(解法一)
由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，－)．

故圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤t≤.
(或参数方程写成　－≤y≤)
(解法二)
在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x＝1(－≤y≤)．将x＝1代入得ρcosθ＝1，
从而ρ＝.
于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为
－≤θ≤.
23．N3[2012·课标全国卷]已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．
23．解：(1)由已知可得
A2cos，2sin，
B2cos＋,2sin＋，
C2cos＋π,2sin＋π，
D2cos＋,2sin＋，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．
(2)设P(2cosφ，3sinφ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则
S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16
＝32＋20sin2φ.
因为0≤sin2φ≤1，所以S的取值范围是[32,52]．
21 C．N3[2012·江苏卷]在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
21C．解：在ρsin＝－中令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径PC＝＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
9．N3[2012·湖南卷] 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.

9.　[解析] 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，化难为易．
曲线C1： (t为参数)的普通方程是2x＋y－3＝0，曲线C2的普通方程是＋＝1，两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，代入曲线C2，得＋＝1，解得a＝.
16．N3[2012·湖北卷]在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．

16.　[解析] 曲线 化为直角坐标方程是y＝2，射线θ＝化为直角坐标方程是y＝x.联立 消去y得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.所以y1＝1，y2＝4.故线段AB的中点的直角坐标为，即.
21B. N3 [2012·福建卷]在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点MN的极坐标分别为(2,0)，，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系．
21B. 解：(1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋3y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交．
13．N3[2012·安徽卷] 在极坐标系中，圆ρ＝4sinθ的圆心到直线θ＝(ρ∈R)的距离是________．

13.　[解析] 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离．
应用极坐标与直角坐标的互化公式 将圆ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋2＝4，直线θ＝化为直角坐标方程为y＝x.因为x2＋2＝4的圆心为，所以圆心到直线y＝x，即x－3y＝0的距离为d＝＝.
9．N3[2012·北京卷] 直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________．

9．2　[解析] 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用．
方程转化为普通方程，直线为x＋y＝1，圆为x2＋y2＝9，
法一：圆心到直线的距离为d＝＝<3，所以直线与圆相交，答案为2.
法二：联立方程组消去y可得x2－x－4＝0，Δ>0，所以直线和圆相交，答案为2.
14．N3[2012·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．

14．(1,1)　[解析] 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C1的直角坐标方程为：y2＝x(x≥0)，C2的直角坐标方程为：x2＋y2＝2，联立方程得：解得所以交点坐标为(1,1)．

图1－3
15．N3[2012·江西卷] (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．
N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6的解集为________．

15．(1)ρ＝2cosθ　[解析] 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(ρ，θ)的关系转化．由于ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，因此x2＋y2－2x＝0的极坐标方程为ρ＝2cosθ.
(2)　[解析] 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解．当x>时，原不等式可化为2x－1＋2x＋1≤6，解得x≤，此时·|PB|＝|OP|2，其中P(2，)，求直线l的斜率．
解：设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.将曲线C的参数方程化为普通方程＋y2＝1.

(1)当α＝时，设点M对应参数为t0.
直线l方程为(t为参数)．
代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，则
t0＝＝－，
所以，点M的坐标为.
(2)将代入曲线C的普通方程＋y2＝1，得(cos2α＋4sin2α)t2＋(8sinα＋4cosα)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝，|OP|2＝7，所以＝7.
得tan2α＝.
由于Δ＝32cosα(2sinα－cosα)>0，故tanα＝.
所以直线l的斜率为.

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