代数综合题1.doc

专题10 代数综合题
[考点透视]
中考试题中，代数综合题经久不衰，它常牵涉数与式、方程与不等式、函数与图象、应用与探索等多方面的内容．大家普遍认为它具有“综合性强、难度大、区分度高”等特点，所涉及的知识点多，技巧性强，覆盖面大．
要解决这类问题，除了要具有一定的基础知识、基本技能外，还需要有敏锐的观察力、深刻的理解力、娴熟的运算力以及较强的综合解题能力．“分析探求思路，优化实施解答，反思验证结论”是解代数综合题的基本过程，这些过程往往蕴藏着转化、数形结合、分类讨论和方程等常见的数学思想方法.对考生来说，若攻克了代数综合题，就意味着“水平上了个台阶”．
[典型例题]：
例1 已知实数x、y同时满足三个条件：① 3x－2y= 4－p， ② 4x－3y=2+p, ③ x＞y，
那么实数p的取值范围是 （ ）
( A)p＞－1 (B)p＜1 ( C)0＜p＜1 (D)p>1
（2002年徐州市中考题）
分析：将p看成常数，由①、②两式解出x、y代入③即可求出p的取值范围.
解：联立①、②方程组
解得代入③得p>1.
所以选D.
说明：方程与不等式是中学数学中最重要的基础知识之一，掌握它的解法是数学学习的最基本要求，因此它也是中考的必考内容.该题是一道方程与不等式小综合题，虽然方法常规，但有一定的思维量，解答时容混淆“主元”与“次元”的关系.
例2 已知关于的方程：
（1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实根满足，求的值及相应的．
（2002年苏州市中考题）
分析：（1）要证方程总有两个相异实根，需证；
（2）解决此问题，必先化去绝对值符号，因此，应从两根之积出发判断根的符号．
解：（1）证明：

无论取什么实数时，总有.
无论取什么实数时，这个方程总有两个相异实根
（2） 解：

①
.
这时

②若
则

这时，
（另或按分两种情况讨论）
说明：此题是中考常见题型，它既考查了一元二次方程根的判别式、根与系数关系以及解方程等基础知识的应用，又考查分类讨论、转化等数学思想方法，同时还有配方法的融合．
y
x
O
M
A
B
图10----1
例3 如图所示，已知反比例函数的图象经过点，过点作轴于点，的面积为．
（１）求和的值；
（２）若一次函数的图象经过点，
并且与轴相交于点，求；
（３）如果以为一边的正三角形
的顶点在二次函数
的图象上，求的值．（2000年江苏省盐城市中考题）
分析：由的面积与点A的横坐标可求得点A的纵坐标b. 函数的图象经过点A，说明点A的坐标是方程的解，这样就可求出k…
x
y
O
M
A
B
P
P
图10----2
解：（1）

（2）

一次函数解析式为
点M的坐标为.
又，
,

（３） 由（2）得，,
.
又点的位置有两种情况：
① 点在第一象限，此时点坐标为，由点在二次函数的图象上，得
② 点在第三象限，点坐标为，由点在二次函数的图象上，得
综上所述，或．
说明：本题是一次函数、反比例函数、二次函数的综合题，旨在考查函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法.难度不大，但它涉及到的知识点较多.易上手，但得满分难.当点在第三象限时，一定要注意坐标的符号．
例４ 已知抛物线与轴交于两点
（１）求的取值范围，并证明两点都在原点的左侧；
（２）若抛物线与轴交于点，且，求的值．
（2003年江苏省苏州市中考题）
分析：二次函数图象与轴有两个不同的交点时，根的判别式大于零，从而可确定的取值范围.
解：（1）抛物线与轴交于两点，且，

的取值范围是
又必同号，
而
必同为负数
∴点都在原点左侧
（2）同为负数，
由得

说明：本题综合了二次函数、韦达定理、一元二次方程根的判别式等相关知识，解题时应抓住二次函数与一元二次方程之间的联系．思考时可借助图象帮助理解，特别要注意的是两点均在原点左侧，故，这里容易被忽略．
例5 （1）已知：关于的方程组，
求
（2）在（1）的条件下，若抛物线
，确定此抛物线及直线的解析式；
（3）你能将（2）中所得的抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗？请写出一种平移方法．（2002年北京市西城区中考题）
分析：（1）将方程组转化为一元方程后，方程组有两实数解就转化成该方程有两实数解，但要注意项的系数；（2）应抓住抛物线与坐标轴的交点构成的三角形及其相应的一元二次方程的联系，同时应注意到第（1）题中的的取值范围…
解：（1）方程组消元、整理，得

（II）当,
解得，原方程组只有一个实数解

综上，的取值范围是
（2）设点
则

抛物线与轴交于点

x
y
图10----5

整理，得

检验:
又当时，

所求抛物线的解析式为，
所求直线解析式为
（3）抛物线的顶点坐标为，直线解析式为
方法一：将此抛物线向下平移12个单位，其顶点在直线上．
　方法二：将此抛物线向右平移6个单位，其顶点在直线上．
说明：本题以方程组为载体，设置三个问题环环相扣，重点考查函数与方程、分类讨论等数学思想方法．本题出现二次项系数含参数的“一元二次方程”，解答时对参数是否为0不加讨论是失分的主要原因.
例6 已知两地相距300千米，现有甲、乙两车同时从A地开往B地，甲车匀速行驶2小时到达AB中点C地，停留2小时后，再匀速行驶小时到达B地；乙车始终以千米/小时（）的速度行驶．
（1）设（千米）、（小时）分别表示甲车离开A地的路程和时间，试在下列条件下：
0 1 2 3 4 5 6
300
250
200
150
100
50

t(小时)
S（千米）
图10----6
，，.
分别求出与的关系式，并在所给的坐标系
中画出它的图像；
（2）若甲、乙两车在途中恰好相遇两次
（不含A、B两地），试确定的取值范围．
（2003年江苏宿迁市中考题）
分析：画图时，应关注自变量的取值范围，
再逐一画出图象；第（2）题用纯代数的方法不大好求解，须根据图象直观分析，
0 1 2 3 4 5 6
300
250
200
150
100
50

t(小时)
S（千米）
图10----7
即两图象恰好有两个交点，可得出乙在C地与甲相遇一次，后在CB间相遇一次，这样速度的大小关系便“浮出水面”．
解：（1）由题意可知：甲车由A地到
C地的速度是（千米/小时），
由C地到B地的速度是
（千米/小时），所以
当
当
即，它们的图象如图10-----7．
（2）要使甲、乙两车在途中恰好相遇两次，则乙车到达B地的时间多于甲车到达B地的时间，且乙车到达中点C地的时间小于4小时，所以乙车的速度必须满足：，即
说明：此题将行程类问题和函数知识巧妙结合，既考查了分析问题、解决问题的能力，又锻炼了同学们的动手操作能力.解题时能够体会出数与形结合解决问题的美感．
例7 杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润扬”报刊零售点，对经营的某种晚报，杨嫂提供了如下信息：
买进每份元，卖出每份元；
一个月内（以30天计），有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；
一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同，当天卖不掉的报纸，以每元退回给报社；
（1）填表：
一个月内每天买进该种晚报的份数
100
150
当月利润（单位：元）

（2）设每天从报社买进该种晚报份（）时，月利润为元，试求出与的函数关系式，并求月利润的最大值．（2003年江苏省扬州市中考题）
分析:分清利润与销售额、销售成本、亏损之间关系即可.
解：（1）300 ，390；
（2）由题意知，一个月内的20天可获利润：，
其余10天可获利润：
；
.
可见，当时，月利润的值最大，最大值为440元．
说明：本题是考查一次函数的综合题，取材于生活实例，解题时，需要认真分析所提供的信息，并将其转化为数学问题进行解决，从而学到“有用的数学”．
例8 项王故里的门票价格规定如下表：
购票人数
1~50人
51~100人
100以上
每人门票价
5元
4.5元
4元
某校初一甲、乙两班共103人，（其中甲班人数多于乙班人数）去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元．
（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱？
（2）两班各有多少名学生？（2002年江苏省宿迁市中考题）
分析：第（1）题由题意知，两班联合起来有103人，每人门票价为4元，对应关系较明确，故容易解决;而第（2）题就需要针对不同情况分类讨论，分析探索后方可下结论．
解：（1）486-1034=74．
答：可以节约74元
（2）设甲班有名学生，乙班有名学生
（I）若
由题意，得
.
（II）若
由题意，得
无解.
（III）若
由题意，得
．
综上可知：甲班人数为58名，乙班人数为45名．
说明：本题设计的背景新颖，贴近生活，使学生感受到问题就在自己身边，此题考查的知识点是不等式与二元一次方程组的应用，巧妙地渗透数学思想方法，能力要求较高，是一个具有选拔功能的好题．

[习题10]
1．规定一种新的运算： 如，，请比较大小：
（填“”）（2003年扬州市中考题）
2．已知关于的不等式的解集如图10-9所示，则的值为（ ）
（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1
-2 -1 0 3 4 5
图10---9

（2003江苏省常州市中考题）
3．已知反比例函数的图象如图10---10所示，则二次函数的图象大致为（ ）
o
x
o
x
o
x
o
x
o
x
y

图10---10
A
图10---11
B
图10---12
C
图10---13
D
图10---14

（2003年江苏省南通市中考题）
4．已知：.
（2001年江苏省宿迁市中考题）
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
时间t
(小时)
8
7
6
5
4
3
2
1
水深h(m)
6．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如下图：

图10---15

一艘货轮于上午7时在该码头开始卸货，计划当天卸完货后离港，已知这艘货轮卸完货后吃水深度为（吃水深度即船底离开水面的距离），该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于时，才能进出该港．
根据题目中所给的条件，回答下列问题：
（1）要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于 　 ，卸货最多只能用 　 小时；
（2）已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙队接着单独卸，每小时卸120吨.如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应工作几小时，才能交给乙队接着卸？（2002年江苏省苏州市中考题）
7．在全国抗击“非典”的斗争中，黄城研究所的医学专家们经过日夜奋战，终于研制出一种治疗非典型性肺炎的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量（微克）与时间（小时）之间的关系近似地满足图10-16所示的折线．
（1）写出注射药物后每毫升血液中含药量与时间之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，控制“非典”病情是有效的，如果病人按规定的剂量注射该药物后，那么这一次注射的药物经过多长时间后控制病情开始有效？这个有效时间有多长？
（3）假若某病人一天中第一次注射药物是早晨6点钟，问怎样安排此人从6：00至20：00注射药物的时间，才能使病人的治疗效果最好？
O
1
10
t (小时)
6
图10---16
y(微克)

（2003湖北省黄冈市中考题）
8．设抛物线两点，且与轴相交于点M
（1）求
（2）求抛物线上横坐标与纵坐标相等的点的坐标
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线上，试判断直线AM和轴的位置关系，并说明理由.（2002年江苏省南通市中考题）
9．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价是每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克元，月销售利润为元，求与的函数关系式（不必写出的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（2002年河北省中考题）
10．某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者，果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回.已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元．
（1）分别写出该公司两种购买方案的付款（元）与所购买的水果量（千克）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）当购买量在什么范围内时，选择哪种购买方案付款较少？并说明理由．
（2003年昆明市中考题）

[习题10]
1．解：＝
2．解：选D
3．解：选D
4．解：

即，
又
当时，原式=，
当时，原式=
5．（1）证明：
∵无论取什么实数值，总有，即
无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由一元二次方程根与系数的关系，得
又在中，根据勾股定理，得

即，
整理后，得
解这个方程，得或
当时，
不符合题意，舍去，故
此时
因此，周长为．
6．解：（1）6，8．
（2）设甲队工作小时，令
解得
答：甲队至少应工作4小时．
7．解：（1）当时，设，则，
当时，设
解得

（2）当时，令，即

当时，令，即

注射药液小时后开始有效．
有效时间长为（小时）
（3）设第二次注射药物的时间是在第一次注射物液小时后，则
（小时）．
第二次注射药物的时间是：10：00
设第三次注射药物的时间是在第一次注射药物小时后，此时体内的含药量是第一次注射药物的含药量与第二次注射药物的含药量之和．

解得：=9（小时）
第三次注射药物的时间是：15：00
设第四次注射药物时间是第一次注射药物小时后，此时体内不再含第一次注射药物的药量（），体内的含药量是第二次注射药物的含药量与第三次注射药物的含药量之和．

解得（小时）
第四次注射药物的时间是：19：30
安排此人注射药物的时间为：
第一次注射药物的时间是6：00
第二次注射药物的时间是10：00
第三次注射药物的时间是15：00
第四次注射药物的时间是19：30
这样的安排才能使病人的治疗效果最好
8．解：为叙述方便，下面的解题过程中，把抛物线叫做抛物线，把抛物线叫做抛物线．
（1）抛物线经过两点，
解得：
（2）由（1），得抛物线的解析式是
根据题意，得
即（*）
是抛物线解析式的二次项系数

方程（*）的解是
抛物线上满足条件的点的坐标是,
（3）由（1）得抛物线的解析式是
当在抛物线上时，有,
这时抛物线的解析式是,
它与轴的交点是.
点两点的纵坐标相等，
直线AM平行于轴
当在抛物线上时，有

这时抛物线的解析式是，它与轴的交点是
显然A，M两点的纵坐标不相等，所以直线AM与轴相交
综上所述，当在抛物线上时，直线AM平行于轴；
当在抛物线上时，直线AM与轴相交．
9．解：（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500-（55-50）10=450（千克）
所以月销售利润为：（55-40）450=6750（元）．
（2）当销售单价定为每千克元时，月销售量为[500-（-50）10]千克，而每千克的销售利润是：（-40）元
所以月销售利润为：
=（-40）[500-（-50）10]
=（-40）（1000-10）
=[phone]（元）
与的函数关系式为：
=[phone]
（3）要使月销售利润达到8000元
即=8000，所以+1400-4000=8000，即-140+4800=0
解得：=60，=80
当销售单价定为每千克60元时，
月销售量为：500-（60-50）10=400（千克）.
月销售成本为：40400=16000（元）；
当销售单价定为每千克80元时,
月销售量为：500-（80-50）10=200（千克）,
月销售成本为：40200=8000（元）.
由于8000<10000<16000，而且销售成本不能超过10000元，
所以销售单价定为每千克80元．
10．解：（1）
（2）（方法一）：当时，即，解得=5000，所以=5000千克时，两种方案付款一样；
当时，有，解得，千克时，选择甲方案付款最少；
当时，即，解得>5000，>5000千克时，选择乙方案付款最少．
1000 2000 3000 4000 5000 6000
50 000
40 000
30 000
20 000
10 000
(5000,45000)

0
x (千克)
y (元)
图10---17

（方法二）：图象法，作出它们的函数图象（如图10--17）由函数图象可得，当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，选择甲方案付款最少；当购买量等于5000千克时，两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，选择乙方案

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