阅读与思考向量及向量符号的由来.doc

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授课教师 杨慧慧首用时间 2018年4月12日高一年级176班第1节课
课 题
平面向量的实际背景及其基本概念
课 型
新授课
第1课时
学
生
学
习
目
标
知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
过程与方法
引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的主体地位和作用。
情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。

重 点
难 点
重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
难点：向量的概念和共线向量的应用

学 情
分 析
高一学生在认识能力、抽象能力和思维能力等方面相对较弱，由于对向量的认识还是比较单一的（往往只考虑大小而忽略方向），所以学生对它的认识不可能一步到位。因此，进行概念教学时，除了对概念进行逐字逐句分析外，还要通过日常生活中的实例和不同的例题对概念进行分析，并通过老师的引导，使学生对概念的理解逐步深入。

教 材
分 析
本节内容是选自人教A版高中数学必修4第二章第一节，由于向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它具有几何形式和代数形式的“双重身份”，因而成为数形结合的桥梁，成为沟通代数、几何、三角的得力工具.向量的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，反过来，它的理论和方法又成为解决生活实际问题和的物理学重要工具.它之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，可以使复杂问题简单化、直观化，使代数问题几何化、几何问题代数化.正是由于向量所特有的数形二重性，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，在高中数学教学内容中有广泛的应用.本节课是向量的入门课，概念较多，但难度不大，学生可借鉴对物理学中的位移、力、速度等的认识来学习.

学、讲、练“1：1：1”课堂教学设计

学生的学习过程
教师的指导
力也是物理中常见的量，同样满足既有大小，又有方向，从以下四个图示进行说明（课件展示）
从本章引言，我们知道位移是既有大小，又有方向的量，可用有向线段表示。 （*引申出有向线段的概念）
具有方向的线段就叫做有向线段。
有向线段的三要素：起点、方向、长度。
思考：还能举出物理学中的这样的一些实例吗？
从中归纳数学中向量的定义。
情境设置符合学生的认知规律；从具体到抽象，从特殊到一般，从学生熟悉的经验和感兴趣的问题开始，从而顺利地将学生引导到向量的学习中来。

生：观察、思考、总结、概括得出结论，并相互进行交流。
1、向量定义：我们把既有大小又有方向的量叫向量
设问：时间、路程、功是向量吗？速度与加速度呢？
从而归纳出数量与向量的相关概念：数量只有大小，是一个代数量；向量有方向，大小，双重性.

2、向量的几何表示
（类比实数的数轴表示并结合实例过渡到向量的几何表示）
向量的几何表示：用有向线段表示；
3、向量的相关概念
（1）向量的字母表示：用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示，书写用，等；或用有向线段的起点与终点字母：等；
（2）向量的大小就是有向线段的长度（或称模），记作||；向量方向就是其有向线段的箭头指向。
（3）零向量、单位向量概念：（从向量的大小方面过渡）
①长度为0的向量叫做零向量，记作。0的方向是任意的。
②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
4、平行向量定义（从向量的方向关系进行引入）：
①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；
若向量，平行，记作∥
②我们规定与任一向量平行，即都有∥.
说明：综合①、②才是平行向量的完整定义；
探究：“若∥，且∥，则∥”这个说法正确吗？
（注意与直线平行传递性的区别）
5、相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
说明：（1）若向量与相等，记作=；
（2）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.（结合向量与有向线段的构成要素进行说明，并用课件展示其生成过程）
6、共线向量与平行向量关系：（课件展示）
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.
探究：（1）平行向量可以在同一直线上吗？
（注意与两平行线位置关系的区别）
（2）共线向量可以相互平行吗？

（注意与同在一直线上的线段位置关系的区别）

并类比得到数量的定义。

让学生进一步体会到向量的方向性

类比有助于将学生认知进行迁移，顺利形成向量的知识。
向量的几何表示

B

A

记做或

让学生独立思考，得到结论，加深对有向线段和向量的理解。

组织学生进行思考、交流能根据向量的平行性质得出正确的结论。
例1、如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移

解：表示A地至B地的位移，且≈____________
表示A地至C地的位移，且≈____________

例2判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的应满足什么条件？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例3 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.
解：（学生口答）

变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个）
变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在）
变式三：与向量共线的向量有哪些？（）

巩固向量概念及其几何表示。

让学生能够通过这些问题，弄清向量学习中比较容易混淆的几个基本概念

让学生巩固相等向量与平行向量的概念。

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
（1）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）若，则
（4）若，则；
（5）若四边形ABCD是平行四边形，则＝.
2．书本86页练习2、3、4
*思考：将所有的单位向量移到同一起点，问这些向量的终点构成的图形是什么？（以此点为圆心，半径为1的圆）

让学生自己能通过这次课的学习，独立思考，完成练习，达到检测学习的效果。

课堂小结

本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.

设计感想
本节是平面向量的第一节,显然属于“概念课”,概念的理解无疑是重点,但也是难点.本教案设计的指导思想是:把学生划分小组合作讨论学习,经过小组成员们的合作探究,对平面向量的基本概念和基本解题方法都明了了不少,应该有很多的成功之处或收获.对失败或教训之处可能是由于一些概念性问题没有深入研究,导致解题存在困难,不过这些会通过学习的深入弥补过来的.
作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学以后,给中学数学带来了无限生机.通过本节具体问题的解决,让学生体会到数学在生活中的重要作用,并在实际课堂教学中规范学生的习惯,培养严谨的思考习惯和代数与几何相结合的习惯,为后面学习打下基础.