2013年肇庆市一模理科数学试题及答案.doc

肇庆市中小学教学质量评估2013届高中毕业班第一次模拟试题数 学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设（是虚数单位），则A B C D2集合，则A B C D3已知向量若为实数，则A B C D4公比为2的等比数列 的各项都是正数，且 ，则=A1 B2 C4 D85某程序框图如图1所示，则输出的结果S=A26 B57 C120 D247 6下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为A B C D7已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图2所示，则其侧视图的面积为A BC D 8在实数集R中定义一种运算“”，具有性质：对任意；对任意；对任意；函数的最小值为A B3 C D1 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（913题）9不等式的解集是_.10. 2个好朋友一起去一家公司应聘，公司人事主管通知他们面试时间时说：“我们公司要从面试的人中招3个人，你们都被招聘进来的概率是” .根据他的话可推断去面试的人有_个（用数字作答）.11若圆与直线相切，其圆心在轴的左侧，则m=_.12在中， ，BC=2，则的面积等于_.13已知不等式组表示一个三角形区域（包括三角形的内部及边界），则实数的取值范围为_.（ ） 14（坐标系与参数方程选做题） 已知直线为参数）与直线相交于点，又点，则_.15（几何证明选讲选做题）如图4，已知圆的半径为，从圆外一点引切线和割线，C为AD与圆的交点，圆心到的距离为，则的长为_.三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数在时取得最大值2.（1）求的最小正周期；（2）求的解析式；（3）若，求的值.17.（本小题满分13分）因台风灾害，我省某水果基地龙眼树严重受损，为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案，每种方案都需分四年实施若实施方案1，预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5若实施方案2，预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6实施每种方案第三年与第四年相互独立，令表示方案实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数（1）写出1、2的分布列；（2）实施哪种方案，第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元问实施哪种方案的平均利润更大?18.（本小题满分13分）如图5，PA垂直O所在平面ABC，AB为O的直径，PA=AB，C是弧AB的中点.（1）证明：BC平面PAC；（2）证明：CFBP；（3）求二面角FOCB的平面角的正弦值.19. （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆O相切.（1）求椭圆C1的方程；（2）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点P，线段的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹的方程；（3）设与轴交于点Q，不同的两点R、S在上，且满足，求的取值范围.20.（本小题满分14分）已知Sn是数列的前n项和，且，.（1）求的值；（2）求数列的通项；（3）设数列满足，求证：当时有.21（本小题满分14分）若，其中（1）当时，求函数在区间上的最大值；（2）当时，若，恒成立，求的取值范围肇庆市中小学教学质量评估2013届高中毕业班第一次模拟试题数 学（理科）参考答案一、选择题题号12345678答案DCABBCAB7A解析：侧视图的底边长为边长为的正三角形的高，长度为，侧视图的高为，所以其面积为8B解析：根据条件，对于任意的有，取得得得对任意实数都成立，代入上式得：这就是运算的定义,将其代入题目检验符合，当且仅当时“=”成立，即函数的最小值为3.二、填空题9. 10. 21 11. 12. 13. 14. 15. 3三、解答题16（本小题满分12分）解：（1）的最小正周期为 （2分）（2）由的最大值是2知， （3分）又，即， （4分）， （5分） （6分）（3）由（2）得，即， （7分）， （8分） （9分） （10分） （12分）17（本小题满分13分）解：（1）1的分布列为10.80.91.01.1251.25P10.20.150.350.150.15 （3分）2的分布列为20.80.961.01.21.44P20.30.20.180.240.08 （6分）（2）由（1）可得11的概率P（11）= 0.15 + 0.15 = 0.3， （7分）21的概率P（21）= 0.24 + 0.08 = 0.32， （8分）P（21）P（11），实施方案2，第四年产量超过灾前概率更大. （9分）（3）设实施方案1、2的平均利润分别为利润A、利润B，根据题意，利润A =（0.2 +0.15）10 + 0.3515 +（0.15 + 0.15）20 = 14.75（万元） （10分）利润B =（0.3 + 0.2）10 + 0.1815 + （0.24 + 0.08）20 = 14.1（万元） （11分）利润A利润B，实施方案1平均利润更大. （13分）18（本小题满分13分）（1）证明：PA平面ABC，BC平面ABC，BCPA. （1分）ACB是直径所对的圆周角，即BCAC. （2分）又，平面. （3分）（2）证明：PA平面ABC，OC平面ABC，OCPA. （4分）C是弧AB的中点， DABC是等腰三角形，AC=BC，又O是AB的中点，OCAB. （5分）又，平面，又平面，. （6分）设BP的中点为E，连结AE，则，. （7分），平面. 又平面，. （8分）（3）解：由（2）知平面， （9分）是二面角的平面角. （10分）又， （12分），即二面角的平面角的正弦值为. （13分）19（本小题满分14分）解：（1）由直线与圆相切，得，即. （2分）由，得，所以， （3分）所以椭圆的方程是. （4分）（2）由条件，知，即动点M到定点的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹的方程是. （7分）（3）由（2），知，设， （8分）由，得 （9分），当且仅当，即时等号成立. （11分）又 （12分），当，即时， （13分）故的取值范围是. （14分）20（本小题满分14分）解：（1）由得 ， （1分）， （2分）由得 （3分）（2）当时，由 ，得 （4分）得，化简得，（）. （5 分）， （6 分）以上（）个式子相乘得（） （7 分）又， （8 分）（3），是单调递增数列，故要证：当时，只需证. （9分）（i）当时 ，显然成立； （10分）（ii）当时，. （11分）（12分）. （13分）综上，当时有. （14分）21（本小题满分14分）解：（1）当，时， （1分），当时， （2分）函数在上单调递增， （3分）故 （4分）（2）当时，f（x）在上增函数， （5分）故当时，； （6分）当时，（7分）（i）当即时，在区间上为增函数，当时，且此时； （8分）（ii）当，即时，在区间上为减函数，在区间上为增函数， （9分）故当时，且此时；（10分）（iii）当，即时，在区间1，e上为减函数，故当时，. （11分）综上所述，函数的在上的最小值为（12分）由得；由得无解；得无解； （13分）故所求的取值范围是 （14分）