matlab用于超短脉冲中啁啾与色散概念的理解.doc

Matlab用于超短脉冲中啁啾与色散的理解
超短脉冲是谐振腔中增益与损耗达到平衡、色散与非线性达到平衡时所产生的。超快光学中两个重要的概念就是啁啾与色散，而利用matlab的绘图功能可以更加形象的理解这两个概念的物理意义。
一、 啁啾的概念
1、 超短脉冲的光场在时域可以表示为：
(1)
　　其中为光场振幅，为中心频率，为时域相位与啁啾相关，为空间位置带来的相位变化。
　　由此光场的瞬时频率可表示为：
(2)
　　若为常数，则不随时间而变化，这种脉冲称为傅里叶变换极限脉冲(transform limited pulse)，又称为无啁啾脉冲。若与时间有关，则随时间而变化，称为啁啾脉冲(chirp pulse)。当按时间的一次函数增加，则称为线性上啁啾(linear up-chirp)。当按时间的一次函数减小，则称为线性下啁啾(linear down-chirp)。
　　啁啾只影响光场的相位，表现为光场振荡频率的变化，而不影响光场的强度分布。
2、 以高斯脉冲为例，用matlab程序验证以上说明的正确性。
2.1 Z=0位置处无啁啾高斯脉冲可以表示为：
(3)
　　其中是与脉宽有关的量。其光场实部、强度及频率随时间变化图如下：（程序见附录）

图1.1 无啁啾高斯脉冲光场实部、强度及频率随时间的变化
2.2 Z=0位置处线性上啁啾高斯脉冲可以表示为：
(4)
为正的二阶相位量，其光场实部、强度及频率随时间变化图如下：

图1.2 线性上啁啾高斯脉冲光场实部、强度及频率随时间的变化
2.3 Z=0位置处线性上啁啾高斯脉冲可以表示为：
(5)
为负的二阶相位量，其光场实部、强度及频率随时间变化图如下：

图1.3 线性下啁啾高斯脉冲光场实部、强度及频率随时间的变化
3、讨论
　　从图1.1、1.2、1.3中可以看出响啁啾只影响光场的相位，表现为光场振荡频率的变化，而不影响光场的强度分布。线性上啁啾和线性下啁啾分别代表者光场振荡频率随时间逐渐增加和减小。
二、 色散的概念
当光波通过介质时不同频率的光具有不同的折射率，从而具有不同的速度，传播相同的距离时间不同，由此出射的光波中不同频率成分就会分开，使脉宽发生变化，这种现象称为色散。由于超短脉冲光谱较宽，色散作用较明显，所以即使通过一个很薄的光学器件都必须要考虑色散的影响。
1、 脉冲在色散介质中传播的一般规律
将(1)式进行傅里叶变换得：
(6)
其中，将其展开成泰勒级数得
(7)
分别称为群延时时间(group delay)、群延迟色散(group delay dispersion, GDD)、三阶色散(third order dispersion, TOD)。
Z=0处脉冲(1)通过色散介质后光场变为
(8)
下面对无啁啾和线性啁啾高斯脉冲进行模拟。
2、 无啁啾高斯脉冲通过色散介质
2.1无啁啾高斯脉冲通过色散介质（考虑到二阶色散）后场强变为：
(9)
其中传播后的脉宽
(10)
其中，从上式可以看出不管介质是正色散还是负色散，传播后的脉冲都会加宽。出射后的相位
(11)
由式子可以看出相位与时间成二次函数，则频率是时间的一次函数，产生了线性啁啾。
2.2 模拟验证

图2.1 无啁啾高斯脉冲及通过正负色散介质后脉冲强度及频率随时间的变化
2.3 讨论
从图2.1可以看出无啁啾高斯脉冲通过正色散介质后产生上啁啾，通过负色散介质后产生下啁啾。并且不管是正色散还是负色散介质，脉宽都会展开，峰值功率降低。
3、 线性啁啾高斯脉冲通过色散介质
3.1线性啁啾高斯脉冲通过色散介质（考虑到二阶色散）后场强变为：
(9)
其中
传播后的脉宽
(10)
其中出射后的相位
(11)
3.2 模拟验证：
线性上啁啾脉冲通过色散介质后电场与强度的变化：

图3.1 线性上啁啾脉冲通过色散介质后电场与强度的变化：
线性下啁啾脉冲通过色散介质后电场与强度的变化：

图3.1 线性下啁啾脉冲通过色散介质后电场与强度的变化：
3.3 讨论
从图3.1、3.2可以看出，啁啾脉冲通过色散介质后其脉冲可能增加也可能减小。当上啁啾脉冲通过正色散介质或下啁啾脉冲通过负色散介质时，其脉宽增加，色散更加严重；当上啁啾脉冲通过负色散介质或下啁啾脉冲通过正色散介质时，其脉宽减小，色散得到缓解。所以在超快激光光路中提供适当的色散可以压缩脉宽，提高峰值功率。这也是获得超快激光所常用的手段，比如利用棱镜对、光栅对或啁啾镜等压缩脉宽。
附录：文章中所用到的matlab程序
%% 啁啾
%% 无啁啾高斯脉冲
clear %清除内存
clc %清屏
A0=1; %振幅归一化
lambda=800e-9; %光波长选择800nm
c=3e8; %光速
w0=2*pi*c/lambda; %中心角频率
taup=5*lambda/c %脉宽相关量选择为脉冲周期的5倍
t=(-3:0.01:3)*taup; %选择时间范围
Et=A0*exp(-(t/taup).^2).*exp(i*w0*t); %无啁啾高斯脉冲
subplot(1,3,1),plot(t,Et);
xlabel('t/s');
ylabel('E的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(1,3,2),plot(t,abs(Et).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
w=w0;
subplot(1,3,3),plot(t,w);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%% 线性上啁啾高斯脉冲
clear %清除内存
clc %清屏
A0=1; %振幅归一化
lambda=800e-9; %光波长选择800nm
c=3e8; %光速
w0=2*pi*c/lambda; %中心角频率
taup=5*lambda/c; %脉宽相关量选择为脉冲周期的5倍
t=(-3:0.01:3)*taup; %选择时间范围
phi2=(w0/10).^2; %选择二阶相位量的大小
Et=A0*exp(-(t/taup).^2).*exp(i*(w0*t+phi2*t.^2)); %线性上啁啾高斯脉冲
subplot(1,3,1),plot(t,Et);
xlabel('t/s');
ylabel('E的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(1,3,2),plot(t,abs(Et).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
w=w0+2*phi2*t;
subplot(1,3,3),plot(t,w);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%% 线性下啁啾高斯脉冲
clear %清除内存
clc %清屏
A0=1; %振幅归一化
lambda=800e-9; %光波长选择800nm
c=3e8; %光速
w0=2*pi*c/lambda; %中心角频率
taup=5*lambda/c; %脉宽相关量选择为脉冲周期的5倍
t=(-3:0.01:3)*taup; %选择时间范围
phi2=-(w0/10).^2; %选择二阶相位量的大小
Et=A0*exp(-(t/taup).^2).*exp(i*(w0*t+phi2*t.^2)); %线性下啁啾高斯脉冲
subplot(1,3,1),plot(t,Et);
xlabel('t/s');
ylabel('E的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(1,3,2),plot(t,abs(Et).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
w=w0+2*phi2*t;
subplot(1,3,3),plot(t,w);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');

%% 色散
%% 无啁啾高斯脉冲通过色散介质
clear %清除内存
clc %清屏
A0=1; %振幅归一化
lambda=800e-9; %光波长选择800nm
c=3e8; %光速
w0=2*pi*c/lambda; %中心角频率
taup=3*lambda/c; %脉宽相关量选择为脉冲周期的5倍
t=(-3:0.01:3)*taup; %选择时间范围
%无啁啾高斯脉冲
Et=A0*exp(-2*log(2)*(t/taup).^2).*exp(i*w0*t);
w=w0;
subplot(3,3,1),plot(t,Et);
xlabel('t/s');

ylabel('E的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,2),plot(t,abs(Et).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
subplot(3,3,3),plot(t,w);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%无啁啾高斯脉冲通过正色散介质phi2<0
phi0=0;phi1=0;phi2=-(13/w0).^2; %选择二阶相位量的大小
alpha=(2*sqrt(log(2))/taup).^2/2;
beta=1/(2*phi2);
theta=atan(beta/alpha);
Eout=A0*(2*phi2)^(-0.5)*(alpha^2+beta^2)^(-0.25)*exp(i*(w0*(t-phi1)+phi0-theta/2))...
.*exp(-alpha*beta^2*(alpha^2+beta^2)^-1*t.^2).*exp(-i*(alpha^2*beta*(alpha^2+beta^2)^-1*t.^2));
a=16*(log(2))^2;
% taupuot=(1+a*phi2^2/(taup)^4)^0.5*taup;
% phiout=-((phi2/2)*(phi2^2+taup^4/a)^-1)*t.^2+w0*phi1+phi0-theta/2;
subplot(3,3,4),plot(t,Eout);
xlabel('t/s');
ylabel('正色散介质Eout的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,5),plot(t,abs(Eout).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
wout=-2*((phi2/2)*(phi2^2+taup^4/a)^-1)*t+w0;
subplot(3,3,6),plot(t,wout);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%无啁啾高斯脉冲通过负色散介质phi2>0
phi0=0;phi1=0;phi2=(13/w0).^2; %选择二阶相位量的大小
alpha=(2*sqrt(log(2))/taup).^2/2;
beta=1/(2*phi2);
theta=atan(beta/alpha);
Eout=A0*(2*phi2)^(-0.5)*(alpha^2+beta^2)^(-0.25)*exp(i*(w0*(t-phi1)+phi0-theta/2))...
.*exp(-alpha*beta^2*(alpha^2+beta^2)^-1*t.^2).*exp(-i*(alpha^2*beta*(alpha^2+beta^2)^-1*t.^2));
a=16*(log(2))^2;

subplot(3,3,7),plot(t,Eout);
xlabel('t/s');
ylabel('负色散介质Eout的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,8),plot(t,abs(Eout).^2);
xlabel('t/s')
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
wout=-2*((phi2/2)*(phi2^2+taup^4/a)^-1)*t+w0;
subplot(3,3,9),plot(t,wout);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%% 线性啁啾高斯脉冲通过色散介质
clear %清除内存
clc %清屏
A0=1; %振幅归一化
lambda=800e-9; %光波长选择800nm
c=3e8; %光速
w0=2*pi*c/lambda; %中心角频率
taup=3*lambda/c; %脉宽相关量选择为脉冲周期的5倍
t=(-3:0.01:3)*taup; %选择时间范围
% 线性上啁啾高斯脉冲
delta=-w0/5; %delta为负，上啁啾；delta为正，下啁啾。
Et=A0*exp(-2*log(2)*(t/taup).^2).*exp(-i*(delta/taup)*t.^2).*exp(i*w0*t);
w=w0-2*(delta/taup)*t;
subplot(3,3,1),plot(t,Et);
xlabel('t/s');
ylabel('上啁啾E的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,2),plot(t,abs(Et).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
subplot(3,3,3),plot(t,w);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
% 线性上啁啾高斯脉冲通过正色散介质phi2<0
phi0=0;phi1=0;phi2=-(5/w0).^2; %选择二阶相位量的大小
alpha=(2*sqrt(log(2))/taup).^2/2;
beta=1/(2*phi2);
b=delta/taup;
theta=atan(b/alpha);
theta2=atan(((alpha^2+b^2)+b*beta)/(alpha*beta));
Eout=A0*(2*phi2)^(-0.5)*(alpha^2+(b+beta)^2)^(-0.25)*exp(i*(w0*(t-phi1)+phi0+theta2/2-theta/2))..
.*exp(-alpha*beta^2*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2).*exp(-i*beta*(alpha^2+b*(b+beta))*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2);
a=16*(log(2))^2;
subplot(3,3,4),plot(t,Eout);
xlabel('t/s');
ylabel('正色散介质Eout的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,5),plot(t,abs(Eout).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
wout=-2*(((1+2*phi2*delta/taup)*(delta/taup)+a*phi2^2/(2*taup^4))/((1+2*phi2*delta/taup)^2+...
a*phi2^2/taup^4))*t+w0;
subplot(3,3,6),plot(t,wout);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
% 线性上啁啾高斯脉冲通过负色散介质phi2>0
phi0=0;phi1=0;phi2=(4/w0).^2; %选择二阶相位量的大小
alpha=(2*sqrt(log(2))/taup).^2/2;
beta=1/(2*phi2);
theta=atan(beta/alpha);
Eout=A0*(2*phi2)^(-0.5)*(alpha^2+(b+beta)^2)^(-0.25)*exp(i*(w0*(t-phi1)+phi0+theta2/2-theta/2))...
.*exp(-alpha*beta^2*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2).*exp(-i*beta*(alpha^2+b*(b+beta))*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t^2);
a=16*(log(2))^2;
taupuot=(1+a*phi2^2/(taup)^4)^0.5*taup;
phiout=-((phi2/2)*(phi2^2+taup^4/a)^-1)*t.^2+w0*phi1+phi0-theta/2;
subplot(3,3,7),plot(t,Eout);
xlabel('t/s');
ylabel('负色散介质Eout的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,8),plot(t,abs(Eout).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
wout=-2*(((1+2*phi2*delta/taup)*(delta/taup)+a*phi2^2/(2*taup^4))/((1+2*phi2*delta/taup)^2+...
a*phi2^2/taup^4))*t+w0;
subplot(3,3,9),plot(t,wout);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%% 线性下啁啾高斯脉冲
clear %清除内存
clc %清屏
A0=1; %振幅归一化
lambda=800e-9; %光波长选择800nm
c=3e8; %光速
w0=2*pi*c/lambda; %中心角频率
taup=3*lambda/c; %脉宽相关量选择为脉冲周期的5倍
t=(-3:0.01:3)*taup; %选择时间范围
delta=w0/5; %delta为负，上啁啾；delta为正，下啁啾。
Et=A0*exp(-2*log(2)*(t/taup).^2).*exp(-i*(delta/taup)*t.^2).*exp(i*w0*t);
w=w0-2*(delta/taup)*t;
subplot(3,3,1),plot(t,Et);
xlabel('t/s');
ylabel('上啁啾E的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,2),plot(t,abs(Et).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
subplot(3,3,3),plot(t,w);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%线性下啁啾高斯脉冲通过正色散介质phi2<0
phi0=0;phi1=0;phi2=-(5/w0).^2; %选择二阶相位量的大小
alpha=(2*sqrt(log(2))/taup).^2/2;
beta=1/(2*phi2);
b=delta/taup;
theta=atan(b/alpha);
theta2=atan(((alpha^2+b^2)+b*beta)/(alpha*beta));
Eout=A0*(2*phi2)^(-0.5)*(alpha^2+(b+beta)^2)^(-0.25)*exp(i*(w0*(t-phi1)+phi0+theta2/2-theta/2))...
.*exp(-alpha*beta^2*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2).*exp(-i*beta*(alpha^2+b*(b+beta))*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2);
a=16*(log(2))^2;
subplot(3,3,4),plot(t,Eout);
xlabel('t/s');
ylabel('正色散介质Eout的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,5),plot(t,abs(Eout).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
wout=-2*(((1+2*phi2*delta/taup)*(delta/taup)+a*phi2^2/(2*taup^4))/((1+2*phi2*delta/taup)^2+...
a*phi2^2/taup^4))*t+w0;
subplot(3,3,6),plot(t,wout);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');
%线性下啁啾高斯脉冲通过负色散介质phi2>0
phi00;phi1=0;phi2=(4/w0).^2; %选择二阶相位量的大小
alpha=(2*sqrt(log(2))/taup).^2/2;
beta=1/(2*phi2);
theta=atan(beta/alpha);
Eout=A0*(2*phi2)^(-0.5)*(alpha^2+(b+beta)^2)^(-0.25)*exp(i*(w0*(t-phi1)+phi0+theta2/2-theta/2))...
.*exp(-alpha*beta^2*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2).*exp(-i*beta*(alpha^2+b*b+beta))*(alpha^2+(b+beta)^2)^-1*t.^2);
a=16*(log(2))^2;
subplot(3,3,7),plot(t,Eout);
xlabel('t/s');
ylabel('负色散介质Eout的实部');
title('光场实部随时间的变化');
subplot(3,3,8),plot(t,abs(Eout).^2);
xlabel('t/s');
ylabel('光场强度');
title('光场强度随时间的变化');
wout=-2*(((1+2*phi2*delta/taup)*(delta/taup)+a*phi2^2/(2*taup^4))/((1+2*phi2*delta/taup)^2+...
a*phi2^2/taup^4))*t+w0;
subplot(3,3,9),plot(t,wout);
xlabel('t/s');
ylabel('频率');
title('光场频率随时间的变化');