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多元函数分析性质之间的关系

本文主要介绍了二元函数连续性，偏导性存在及可微性的基础知识，对它们分别进行了总结证明和进一步的讨论，总结出这三个概念之间的关系，并举出例子加以论证支撑。由浅入深，从简单开始，逐步深入，做深入探究多元函数连续性，偏导数及可微性之间的关系。

一、二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义
（一）二元函数的连续性
定义 1 设为定义在点集上的二元函数，(它或者是的聚点，或者是的孤立点）。对于任给的正数，总存在相应的正数，只要（;),就有
<,
则称在上任何点都关于集合连续在不误解的情况下，也称在点连续。
若在上任何点都关于集合连续，则称在点连续。
由上述定义知道：若是的孤立点，则必定是关于的连续点；若是聚点，则关于在连续等价于

（二）二元函数的可微性
定义2 设函数在点的某领域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量表示为,
其中,是仅与点有关的常数，，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微，并称上式中关于，的线性函数为函数在点的全微分，记作

由上可知是的线性主部，特别当，充分小时，全微分可作为全增量的近似值，即

有时也把写成如下形式，这里
（三） 二元函数的偏导数
由一元函数微分学知道：若其中。同样，若二元函数在点可微，则在处的全增量可由表示。现在讨论其中、的值与函数的关系。为此，在式子中令，这时得到关于的偏增量，且有或者
现让，由上式得的一个极限表达式

容易看出，上式右边的极限正是关于的一元函数在处的导数。类似地，
令，
由又得到
，它是关于的一元函数在处的导数。
综上所述，可知函数在点处对的偏导数，实际上是把固定在，让有增量，如果极限存在，那么次极限称为函数在点处对的偏导数，记作。
因此，二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，可定义如下：

定义 3 设函数.若,且在的某一领域内有定义，则当极限
存在时，称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作或

注意 1 这里符号，专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号相仿，但没有差别。
注意 2 在上述定义中，在点存在关于的偏导数，至少在上必须有定义。
若函数在区域上每一点都存在对（或对）的偏导数，则得到函数在区域上对（或对）的偏导函数（也简称偏导数），记作
或
也可简单的写作或
二、 二元函数三个概念的结论及证明
（一）二元函数连续性的结论总结及证明
一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数来说，即使它在某点即存在关于的偏导数，又存在关于的偏导数，也未必在点连续，如下定理有：
定理 1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在内有界，则在点连续。
证明：任取,则
（1）
由于在存在，故对于取定的，作为的一元函数在以和为端点的闭区间上可导。从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理，存在，使

将它代入（1）式，得

（2）
由于,故有界，因而当时有

又据定理的条件知，在连续，故当时，又有
所以，由（2）知，有

这说明在点连续。
推论 1 设函数在点的某邻域内有定义，若作为的一元函数在点连续，在点连续，则在点连续。
证明 由于在点连续，故必在点的某邻域内有界，因而据定理1，在点连续。
推论 2 设函数在点的某邻域内有定义，若在有界，存在，则在点连续。
证明：由于存在，故作为的一元函数在点连续，从而据定理1可得，在点连续。
同理可证如下的定理2及其推论。
定理2 设函数在点的某邻域有定义，在内有界，作为的一元函数在点连续，则在点连续。
推论 1 设函数在点的某邻域内有定义，在点内有界，存在，则在点连续。
推论2 设函数在点的某邻域有定义，在点连续，存在，则在点连续。
（二） 二元函数可微性的结论总结及证明
众所周知，一元函数中，可微性与可导是一回事，但在二元函数中情况就不同了。
定理3 函数在点科委的充分必要条件是在点的两个偏导数都存在，且对，，当
证明 必要性 已知在点可微，故与存在，且
其中
即
于是，当时，有

从而当（即）时，

即，当与且时，有

所以，，当与且时，有
。
充分性 已知函数在点两个偏导数存在，，，当与且时，有

令，则当时，有

于是当时，有

从而有

所以，函数在点可微，证毕。
定理 4 若函数在点点处，连续存在（或存在，连续），则函数在点处可微。
由此定理的条件扔有对一个偏导数（二元）连续性的要求。因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性。例如：对于函数
，
有

从而

由于和都不存在，因而和在点都不连续，关于在点的可微性，无论是根据教材中所介绍的定理。还是根据上述定理都不能给出肯定的结论。
本文给出另一个可微的充分条件，它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求，因而对某些函数可微性的判定有独到的作用。为了叙述方便，引入如下概念。
定义 如果对于函数存在时，使得当时，存在，且当时，变量
关于一直趋向于，即对任意的，存在，当时，对任意（）都有成立，我们就称函数在点关于对一致可导。
（三） 二元函数偏导数的结论总结
二元函数在点的两个偏导数有明显的几何意义：设为曲面上的一点，过做平面，截此曲面得一曲线，此曲线的平面上的方程为，则导致，即偏导数，就是这曲线在点处的切线对轴的斜率。同样，偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率。
我们已经知道，如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于二元函数来说，即使各偏导数在某点存在，也不能保证函数在该点连续，这是因为哥偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时，函数值趋于，但不能保证点按任何方式趋于时，函数值都趋于。

三、二元函数三个概念之间的关系的总结
对一元函数来说，可导必连续。但对于二元函数来说，即使，存在但也不一定连续。事实上，对于二元函数来说，函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的，下面加以说明这个问题。
（一）二元函数连续，但偏导不一定存在的举例证明
例 1 讨论函数在点处的连续性和偏导数是否存在？
解： 由

可知函数在点连续。
而由偏导数定义：

该极限不存在，同理可证也不存在。
所以函数在点点的偏导数不存在。
由此说明，二元函数在一点连续，偏导数未必存在。
（二） 二元函数偏导存在，但不一定连续的举例证明
例2 函数在点处存在，但不连续。
证明：由偏导数定义：

同理可求得
因为
故函数在点处不连续。
综上所述，对于二元函数在某点的连续性与偏导数存在，两者之间没有必然的联系，即在某点偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关。
（三） 可微性与偏导数存在关系的举例证明
定理5 （可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且
，
证明 由于在点可微，则

其中为自变量的该变量，仅与点有关，而与无关，。若令即，于是，故 ，可见

，，
即，类似可证
可见，对于二元函数，偏导数的存在是函数可微分的必要条件。但是偏导数的存在不是函数可微分的充要条件。事实上，当一个二元函数在点处的偏导数，都存在时，尽管形式上可以写成式子，但是它与之间可以不是的高阶无穷小，因而由定义，此时函数在点处的是不可微的。
注：定理5的逆命题不成立，即二元函数在点处的偏导数即使存在也不一定可微。
例 3 证明函数在原点两个偏导数存在，但不可微。
证明 由偏导数的定义：

同理可证，即在原点关于与的偏导数存在。
下面利用可微的定义来证明其不可微
用反证法：
若函数在原点可微，则

应是较的高阶无穷小量，为此考察极限

当动点沿直线趋于时，
则
这一结果说明动点沿不同斜率m的直线趋于原点时，对应的极限值也不同，因此所讨论的极限不存在，故函数在原点不可微。
（四） 偏导连续与可微关系的举例证明
定理7 （科委的充分条件）若二元函数的偏导在点的某邻域内存在且与在点处连续，则函数在点可微。
可微的充分条件可以改进：
如果函数满足以下条件：

1. 在点处存在；
2. 在点的某个邻域内存在；
3. 在点处连续；
则在点处可微。
证明：由于存在，即有：

即：
（其中）
则

由于在点的某个邻域内存在，不妨设在
内存在
设并规定
则在上没一点都存在，从而在 上每一点都连续，规定：
则根据中值定理存在，使得：（其中）
当且
从而有，
又因为在点处连续

其中
则

综上所述有：

=
=
又因为

故在点点可微，证毕。
例4 求证在点可微。
证明：因为

同理
即

于是
又
所以在点连续。
但不存在，即在点不连续。
四、多元函数连续性，偏导数存在及可微性关系的总结：
如果函数在点可微分，则函数在该点必连续，反之不一定成立。
如果函数在点可微分，则函数在该点的偏导数必存在，反之一定成立。
如果函数在点连续，则偏导不一定存在。
如果函数在点偏导存在，则不一定连续。
如果函数在点偏导连续，则函数在该点必可微，反之不一定成立。