1、 ◆2014届高三第一轮复习导学案◆ 编写、 校审：高三理科数学备课组
第58讲 双曲线
一、考纲解读：
1.能根据所给几何条件求双曲线方程，能运用双曲线定义及几何性质确定基本元素；
2.理解参数的关系，渐近线及其几何意义；
3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及 解决相关问题.
二、考点盘清：
1．双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a<2c)， 则点P的轨迹叫________．这两个
2、定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．
(1)当________时，P点的轨迹是________；
(2)当________时，P点的轨迹是________；
(3)当________时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
，y∈R
x∈R，
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
3、
顶点坐标：
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
3.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．
三、 考点预热：
4、
1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )
A． B． C． D．
2.双曲线的顶点到渐进线的距离等于（ ）
A. B. C. D.
3.已知中心在原点的双曲线的右焦点为,离心率等于,则的方程是 ( )
A . B． C． D．
4. 已知，则双曲线：与：的（ ）
A． 实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等
四、考点探究：
探
5、究1 双曲线的定义及应用：
例1 ：（2013湖南卷）设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为 .
变式迁移1：已知双曲线的左右焦点，P是左支上一点，且满足，则的面积为 .
探究2 双曲线的标准方程及求法：
例2：已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P(4,3)，求双曲线的标准方程．
变式迁移2： 已知双曲线与椭圆＋＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于，则双曲线的方程为____________．
探究3 双曲线的几何性质及应用：
例3:设双曲线的一个焦点为，虚轴
6、的一个端点为，若直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 .
变式迁移3：(2009湖南卷）已知以双曲线的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为，则双曲线的离心率为 .
探究4 双曲线基础知识综合应用：
例4：已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线:与双曲线恒有两个不同的交点，且（其中为原点），求的取值范围.
变式迁移4：（2013全国大纲卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线与C的两个交点间的距离为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设过的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.
五、突破方法
方法1 求双曲线的标准方程的求法
方法2 双曲线几何性质的应用策略
方法3 解决直线与双曲线位置关系问题的方法
六、内化练习（《同步训练》第58讲）
3
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