多项式型非自治迭代方程的凹凸解.pdf

年月四川大学学报(自然科学版)J u l 第 卷第期J o u r n a l o fS i c h u a nU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l N o 多项式型非自治迭代方程的凹凸解陈烨明,曾莹莹(四川大学数学学院,成都 ;(四川师范大学数学科学学院/可视化计算与虚拟现实四川省重点实验室,成都 )摘要:迭代是同一函数的重复运算比通常的迭代更复杂的是有不同函数参与运算的非自治迭代本文讨论了一类包含非自治迭代的线性组合的函数方程,即多项式型非自治迭代方程在前人给出的连续递增解的基础上,本文进一步研究了解的凹凸性,给出了凹凸解的存在性、唯一性及连续依赖性关键词:非自治迭代;凸性;差商中图分类号:O 文献标识码:AD O I:/j 收稿日期:基金项目:四川省科技计划资助项目(J D T D )作者简介:陈烨明(),男,福建龙岩人,硕士研究生,主要研究方向为微分方程与动力系统 E m a i l:c y mm a t h c o m通讯作者:曾莹莹 E m a i l:m a t h y y z c o mC o n v e xs o l u t i o n so fp o l y n o m i a l l i k en o n a u t o n o m o u s i t e r a t i v ee q u a t i o n sCHENY e M i n g,Z ENGY i n g Y i n g(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,S i c h u a nU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a;S c h o o l o fM a t h e m a t i c a lS c i e n c e s/V C&V R K e yL a bo fS i c h u a nP r o v i n c e,S i c h u a nN o r m a lU n i v e r s i t y,C h e n g d u ,C h i n a)A b s t r a c t:I t e r a t i o n i sr e p e t i t i o no fs a m ef u n c t i o n I t e r a t i o nw i t hd i f f e r e n t f u n c t i o n s,c a l l e dn o n a u t o n o m o u s i t e r a t i o n,i sam o r ec o m p l e xo n e I nt h i sp a p e r,w ec o n s i d e rac l a s so f f u n c t i o n a le q u a t i o n sw i t hl i n e a rc o m b i n a t i o no fn o n a u t o n o m o u s i t e r a t i o n s,n a m e l yp o l y n o m i a l l i k en o n a u t o n o m o u s i t e r a t i v ee q u a t i o n s B a s e do ns o m ek n o w n r e s u l t s,t h e e x i s t e n c e,u n i q u e n e s s a n dc o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo f t h e c o n v e xs o l u t i o n so nt h e i t e r a t i o n sa n dc o e f f i c i e n t sa r es t u d i e d K e y w o r d s:N o n a u t o n o m o u s i t e r a t i o n;C o n v e x i t y;D i v i d e dd i f f e r e n c e(M S C A ,B )引言迭代是运算的不断自复合,其在计算机科学与工程等领域有广泛应用,如机器人控制和图像处理等从数学的角度看,对于一个自映射f:XX,其中X是非空集合,以及任意给定的自然数n,f的n阶迭代可递归地定义为fnfnf,fi d恒同映射(),其中表示映射的复合包含未知函数迭代的函数方程被称为迭代方程,诸如迭代根问题,和不变曲线问题,等都是典型的迭代方程问题多项式型迭代方程niifi(x)F(x),xI()也是广受关注的一类迭代方程,其中I是一个区间,系数iR(i,n)且F为给定函数有关方程()解的结果十分丰富,如连续递增解、连续 递 减 解 和 凹 凸 解、可 微 解 及 解 的 稳 定性,等迭代过程是严格重复的最近,人们开始关注 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期迭代过程不那么严格重复的非自治迭代问题,如工程应用中出现的迭代学习控制算法这是一种用于解决重复环境下动态系统的跟踪问题的方法当系统输出重复跟踪参考轨迹时,该算法利用上一次迭代的跟踪误差信息来更新当前的迭代控制输入,其中的迭代过程的参数会变化,可见,这是传统迭代过程的一种推广,被称为非自治迭代 在此类迭代中,每次复合的函数会随着复合次数n而变化定义nk阶非自治迭代Ak,n:C(I,I)C(I,I)为Ak,n:fanfkfkf,fC(I,I)()其中的整数kn,且A:iiZC(I,I)为给定函数族特别地,形如niiA(i),(i)i f(x)F(x),xI()的迭代方程被称为多项式型非自治迭代方程,其中FC(I,I)为给定函数,iRi,n(),且:,nZG e i s e l h a r t和W i r t h 考虑了方程()的特殊情形A,nf(x)x,x,),T a n g等 在i,F递增且i递增的条件下在,和R上分别讨论了方程()的连续递增解的存在性、唯一性及其对已知函数和参数的连续依赖性本文将借助二阶差商进一步讨论方程()的凹凸解的存在性、唯一性和连续依赖性后文安排如下在第节中,我们介绍差商并讨论非自治迭代关于差商的性质在第节中,我们借助非自治迭代关于差商的性质及不动点定理讨论方程()在,上的凹凸解的存在性、唯一性和连续依赖性最后,我们在第节中通过一个例子来验证主要结果预备知识为了利用不动点定理证明本文的主要结果,我们需要用 差 商 来 构 造 合 适 的 解 空 间令Ia,b,以C(I)表示I上全体连续函数所组成的集合,并令C(I,I)表示I上全体连续自映射所组成的集合,其中a,bR且ab显然,C(I)关于范数fm a xxIf(x)构成一个B a n a c h空间如文献 所述,函数fC(I)的第一阶差商及第二阶差商分别为fx,xf x()f x()xx和fx,x,xf x,xf x,xxx,其 中x,x,xI互 异显 然,f x,x 和f x,x,x均对所选点的次序具有对称性记Lfs u pxxIf x,x,lfi n fxxIf x,x容易验证,若对任意的xxI有f x,x(或),则f递增(或递减),进而,若lf则f严格 单 调;若 对 任 意 的xxxI有f x,x,x(或),则f为凸(或凹)更进一步,对于 lL 和 mM,定义C I;l,L()fC(I):lf x,xL,xxI及C(I;l,L,m,M)fC I;l,L():mf x,x,xM,xxxI我们首先利用C(I)中函数关于线性运算、复合及取逆的差商估计证明非自治迭代的差商的估计结果引理 设Ak,n为由式()所定义的算子,其中AiiZC I;l,L,m,M()C(I,I),lL,mM且整数kn当,时,有(i)若fC I;,()C(I,I),则Ak,nfC(I;,L()(nk),m(nk)ink(L)i,LM()(nk)inkL()i)C(I,I);(i i)若fC I;,()C(I,I),则Ak,nfC(I;,L()(nk),Lm()(nk)inkL()i,M(nk)inkL()i)C(I,I)证明我们仅对情形(i)进行证明,情形(i i)的证明是类似的由fC I;,()C(I,I)并利用文献,引理 可得ifC I;,L,m,LM()C(I,I),iA,iZ进而有Ak,nfnf()kf()C(I;,L()(nk),m(nk)inkL()i,第期陈烨明,等:多项式型非自治迭代方程的凹凸解第 卷LM()(nk)ink(L)i)C(I,I)证毕令L I,J()f:IJLf 为讨论解的连续依赖性,我们给出如下两个不同的同阶非自治迭代的估计不等式引理 对任意给定的xI,k,mZ和rN,若f,gL(I,I)且ki,miL(I,I)对所 有 的i,r 成 立,则 对 每 个j,r,存 在 点xi,jIij()和xi,jI(ij)使得Ak,kjf(x)Bm,mjg(x)Lj iLfL()if xi,j()g xi,j()jiLfL()ji|ki(xi,j)mi(xi,j)|,其中Ak,kifkifkf,Bm,mig:migmg且Lm axirLki存在唯一性及连续依赖性根据 共 轭 性(共 轭 函 数 可 取h(x)aba()x,x,),以下不妨假设I,并进一步考虑其上的方程(),其中给定AiiZC(I,I),:,nZ,FC(I,I)令CI;l,L,m,M()C I;l,L,m,M()C(I,I),其中C(I,I)fC(I,I):f(),f()易见,lL且CI;l,L,m,M()是B a n a c h空间C(I)的一个紧凸子集为讨论方程()的凸解,我们假设(A),i,i,n且nii;(V)对所有的in和所有ji有(i)jCI;,L,M(),其中常数L,M并有l()l;(V)FCI;,LF,mF,MF(),其 中 常 数LF,mF,MF条件(A)是标准化假设这是因为当nii时,方程()总可以对系数做归一化而化为一个满足(A)的新方程由文献 可知,如果l(),条件(A),(V)和(V)就可保证方程()存在连续递增解fC,LFl()下文将进一步研究其解的凹凸性定理(凸 解)假 设 条 件(A),(V)和(V)成立若LFlLFl,MFlmFl()LF()则存在LFl和MFl使得方程()存在凸解fCI;,(),其中()LniiL()i,()niiM(i)ji L()jL(i)ji L()j进一步,若()Llniii jL()j()则方程()在CI;,()中存在唯一解,且连续依赖于函数(i)j(i,n,j,i)和F证明连续递增解fC,LFl()的存在性已经在文献 中给出下面讨论凸解的存在唯一性与连续依赖性存在唯一性给定常数LFl和MFl易见CI;,()是B a n a c h空间C(I)的一 个 紧 凸 子 集首 先,定 义 算 子M:CI;,()C(I)为Mf()()f()nA(n),(n)nf(n),其中fCI;,()由于i,利用文献,引 理 和 引 理,对 所 有 的fCI;,()和i,n,有iA(i),(i)i f(I)C(I;,iL L()i,iL()i MLLM()(i)ji L()j)进而可得MfC I;l,(),()()由条件(A),(V)和(V)可 知Mf(),Mf()且l从而Mf:II是一个同胚由文献,引理 可得Mf()CI;(),l,()l(),其 次,定 义 算 子T:CI;,()第 卷四川大学学报(自然科学版)第期C(I)为T fMf()F,fCI;,()由文 献 ,引 理 和(V)可 得T fCI;,LFl,mF(),()LFl(),MFl由和的定义、函数和的单调性及不等式()可得T是一个CI;,()上的自映射最后,对于任意的f,gCI;,(),利用文献,引理、引理 及F是个满射可得T gT f M g()FM f()F M g()M f()lM fM gM f l()niiA(i),(i)i g(i)A(i),(i)i f(i)l()niiA(I),(I)i gA(i),(i)i f Llniii jL()jgf()gf这说明T是CI;,()上的一个连续映射综上,由S c h a u d e r不动点定理,方程()在CI;,()中存在一个解f易见该解是一个递增凸解此外,如果条件()成立,则T是一个压缩映射此时,由B a n a c h压缩映射定理可进一步得到解的唯一性连续依赖性注意到当条件()和()同时满足时,方程()在CI;,()中存在唯一凸解fMf()F将M记为M A,()以强调其与i和的相关性,也就是说,fM A,()f()F接下来,把方程()里的A,和F分别用B:iiZC(I,I),:,nZ和G来替代假设新替换的B,和G满足与A,和F类似的条件替换后的新方程为niiB(i),(i)i g(x)G(x),xI,其在CI;,()中存在唯一解g且g满足g(M(B,)g)G由引理,有M A,()fM B,()g ()()niiA(i),(i)i f(i)iB(i),(i)i g(i)()()niiA(i),(i)i f(i)A(i),(i)i f(i)niiA(i),(i)i f(i)B(i),(i)i g(i)()()niis u px,yI,xyA(i),(i)i f x,y()(i)(i)niiA(i),(i)i fB(i),(i)i g niiL()i(i)(i)niii jL()ij(i)j(i)j Lniii jL()jfg niii jL()ij(i)j(i)j l()fg进而,由文献,引理 可得fg M A,()f()FM B,()g()G M A,()f()FM A,()f()G M A,()f()GM B,()g()G L(M(A,)f)FG lM(A,)fM A,()fM B,()g l()M A,()fM B,()g FG()l(niii jL()ij(i)j(i)j l()fg FG)第期陈烨明,等:多项式型非自治迭代方程的凹凸解第 卷注意到(),从而有fg l()()FG niii jL()i j(i)j(i)j由此可知方程()在CI;,()中的解连续依赖于A,和F证毕为讨论方程()的凹解,假设(C)对所有的in和所有ji有(i)jCI;,L,M,(),其中常数L,M,此外还要求l()l;(C)FCI;,LF,MF,mF(),其中常数LF,mF,MF注意到通过共轭函数h(x)x,(xI)可将凹函数fCI;,()化为凸函数ghfhCI;,(),则方程()可变形为G(x)h Fh(x)niiA(i),(i)i f h(x)()niiB(i),(i)i g(x)()其中BhihiZ这说明方程()凹解的存在性问题可转化为方程()凸解的存在性问题再由定理 可得如下结果定理(凹解)假设条件(A)(C)和(C)成立若LFlLFl,MFlmFl()LF,则存在LFl和MFl使得方程()存在凹解fCI;,(),其中()LniiL()i,()niiM(i)ji(L)jL(i)ji(L)j进一步,若()Llniii jL()j,则方程()在CI;,()中存在唯一解,且解连续依赖于函数(i)j(i,n,j,i)和F例考虑非自治迭代方程 ff fF()其中(x)x/x/x/,(x)x/x/,(x)x/x/x/和F(x)x/x/x/容易验证,l/,C(I;,/,/)且FC(I;(,/,/,/)取/和/,此时不等式()成立由定理,方程()有凸解fC(I;,/,/)此外,由于()/,则解f是方程()在C(I;,/,/)中的唯一解,且连续依赖于给定函数参考文献:宋相兵,季玉龙,俎文强,等基于触觉传感器和强化学习内在奖励的机械臂抓取方法J四川大学学报:自然科学版,:王斌,何坤,王丹基于图像多尺度分解的前景提取 J四 川 大 学 学 报:自 然 科 学 版,:B a r o nK,J a r c z y kW R e c e n t r e s u l t so n f u n c t i o n a l e q u a t i o n s i nas i n g l ev a r i a b l e,p e r s p e c t i v e sa n do p e np r o b l e m sJA e q u a t i o n e sM a t h,:K u c z m aM,C h o c z e w s k iB,G e rR I t e r a t i v ef u n c t i o n a l e q u a t i o n sMC a m b r i d g e:C a m b r i d g eU n i v e r s i t yP r e s s,F o r tMKJ r T h e e m b e d d i n go f h o m e o m o r p h i s m s i nf l o w sJ PAm M a t hS o c,:I s a a c sR I t e r a t e so ff r a c t i o n a lo r d e rJC a nJM a t h,:B r y d a k DO naf u n c t i o n a le q u a t i o no fi n v a r i a n tc u r v e sJ R o c z n i k N a u k D y d a k t P r a c e M a t,:S t e r n b e r gS O nt h eb e h a v i o ro fi n v a r i a n tc u r v e sn e a rah y p e r b o l i cp o i n to fas u r f a c et r a n s f o r m a t i o nJAmJM a t h,:Z h a n g W D i s c u s s i o n o n t h e i t e r a t e d e q u a t i o nniifi(x)F(x)JC h i n e s eS c iB u l l,:X uB,Z h a n g WD e c r e a s i n gs o l u t i o n sa n dc o n v e xs o l u t i o n so ft h ep o l y n o m i a l l i k ei t e r a t i v ee q u a t i o nJ JM a t hA n a lA p p l,:T a b o rJ,Zo d a k M,I t e r a t i v ee q u a t i o n si nB a n a c hs p a c e sJ JM a t hA n a lA p p l,:Z h a n gJ,Y a n gL,Z h a n g WS o m ea d v a n c e so nf u n c t i o n a l e q u a t i o n sJA d v M a t hC h i n a,:X uJ,Y a nR O n i n i t i a l c o n d i t i o n s i n i t e r a t i v e l e a r n 第 卷四川大学学报(自然科学版)第期i n gc o n t r o lJ I E E E T A u t o m a tC o n t r,:Y i nC,X uJ,H o uZAh i g h o r d e r i n t e r n a lm o d e lb a s e d i t e r a t i v e l e a r n i n gc o n t r o l s c h e m e f o rn o n l i n e a rs y s t e m sw i t h t i m e i t e r a t i o n v a r y i n gp a r a m e t e r sJI E E ETA u t o m a tC o n t r,:B r c kR,B g e rM G e n e r a l i z e d i t e r a t i o nJ C o m p u tM e t hF u n c tT h,:C o m e r f o r d M,H y p e r b o l i c n o n a u t o n o m o u s J u l i as e t sJ E r g o dT h e o rD y nS y s t,:F o r n s sJ,S i b o n yN R a n d o mi t e r a t i o n so f r a t i o n a lf u n c t i o n sJE r g o d T h e o r D y n S y s t,:G e i s e l h a r tR,W i r t hF S o l v i n gi t e r a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n sf o rac l a s so fp i e c e w i s el i n e a rK f u n c t i o n sJ JM a t hA n a lA p p l,:T a n gX,Z e n gY,Z h a n gW I n t e r v a l h o m e o m o r p h i cs o l u t i o n so f a f u n c t i o n a l e q u a t i o no fn o n a u t o n o m o u si t e r a t i o n sJ D i s c r e t e C o n t D y n A,:S t o e r J,B u l i r s c hR I n t r o d u c t i o nt on u m e r i c a l a n a l y s i sMN e wY o r k:S p r i n g e r,引用本文格式:中文:陈烨明,曾莹莹多项式型非自治迭代方程的凹凸解J四川大学学报:自然科学版,:英文:C h e nY M,Z e n gYY C o n v e xs o l u t i o n so fp o l y n o m i a l l i k en o n a u t o n o m o u s i t e r a t i v ee q u a t i o nJ JS i c h u a nU n i v:N a tS c iE d,: