安徽省望江四中2014届高三数学上学期9月第一次月考-文-新人教A版.doc

2014届高三望江四中第一学期第一次月考文科数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题时120分钟，满分150分。
第Ⅰ卷（选择题共10小题，每小题5分，共50分）
一、选择题（每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．）
1.若集合,,则（ ）
A. B. C. D.
2．设是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知为等差数列，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4. 下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
5. 已知函数有且仅有两个不同的零点，，则（　　）
A．当时，， B．当时，，
C．当时，， D．当时，，
6. 函数的最小正周期是（　　）
A． B． C．2π D．4π
7.函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有 ②； ③； ④ （　　）
A．①④ B．②③ C．①② D．①②④
9. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（　　）
A．12种 B．15种 C．17种 D．19种
10．已知函数,定义函数 给出下列命题:
①; ②函数是奇函数;③当时,若,,总有成立,其中所有正确命题的序号是（　　）
A．② B．①② C．③ D．②③
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11．函数的定义域为 。
12.数列的通项公式，其前项和为，则 ．
13.连掷两次骰子得到的点数分别为和,若记向量与向量的夹角为,则为锐角的概率是 .
14．函数在上恒为正，则实数的取值范围是 ．
15. 定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“等比函数”。现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，则其中是“等比函数”的的序号为 　 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程）
16．（本小题共12分）某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.
①；
②；
③；
④；
⑤.
(1)从上述五个式子中选择一个,求出常数；
(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.
17．（本小题共12分）已知函数。
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若对于恒成立，求有取值范围。

18．（本小题共12分）如图,四棱锥的底面是正方形,棱底面,,是的中点．
(1)证明平面；
(2)证明平面平面.

19．（本小题共12分）
已知函数
(1)若求在处的切线方程;
(2)若在区间上恰有两个零点,求的取值范围.

20．（本小题13分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）与圆相切的直线交抛物线于不同的两点若抛物线上一点满足，求的取值范围.

21．（本小题14分）K^S*5U.C#O%已知函数().
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,取得极值，求函数在上的最小值;

文科数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1～5 ACDCB 6～10 BDACD
1.【 解析】A 集合,,所以.
2.【 解析】C 若复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数，则，所以“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的充要条件。
3.【 解析】D 因为a1+a5+a9=8，所以，所以，所以。
4.
5.
6.【 解析】B 函数,所以周期为.
7
8
9.【 解析】D.分三类：第一类，有一次取到3号球，共有取法；第二类，有两次取到3号球，共有取法；第三类，三次都取到3号球，共有1种取法；共有19种取法。
10.

所以，于是。
13.【 解析】 连掷两次骰子得到的点数记为，其结果有36种情况，若向量与向量的夹角为锐角，则，满足这个条件的有6种情况，所以为锐角的概率是。
14．【解析】当时，函数在上为减函数，不合题意；当时，由题意得在上恒成立，即在上恒成立。函数在上是增函数，它的最小值为，要使在上恒成立，只需。综上，实数的取值范围是
15
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程）
16．解:(1)选择②式计算
.
(2)猜想的三角恒等式为
.
证明：

.

17．解: （1）令时，

（2）即对恒成立，
所以对恒成立，
易知函数在上的最小值为0.
故
18．证明:(1)连结,设与交于点连结.
∵底面ABCD是正方形,∴为的中点,又为的中点,
∴, ∵平面,平面,
∴平面.
(2)∵,是的中点, ∴.
∵底面,∴.又由于,,故底面,
所以有.又由题意得,故.
于是,由,,可得底面.
故可得平面平面.
19．解: (1)
在处的切线方程为
(2)由
由及定义域为,令
①若在上,,在上单调递增,
因此,在区间的最小值为.
②若在上,,单调递减;在上,,单调递增,因此在区间上的最小值为
③若在上,,在上单调递减,
因此,在区间上的最小值为.
综上,当时,;当时,;
当时,
可知当或时,在上是单调递增或递减函数,不可能存在两个零点.
当时,要使在区间上恰有两个零点,则
∴ 即,此时,.
所以,的取值范围为
20．解: (1) 设抛物线方程为，
由已知得： 所以
所以抛物线的标准方程为
(2) 因为直线与圆相切，
所以
把直线方程代入抛物线方程并整理得：

由
得 或
设，
则

由
得
因为点在抛物线上，
所以，

因为或，
所以 或
所以 的取值范围为
21．解： (1)
当时,
解得或, 解得
所以单调增区间为和,单调减区间为
(2)当时,取得极值, 所以
解得(经检验符合题意)

+
0
-
0
+

↗

↘

↗
所以函数在,递增,在递减
当时,在单调递减,

当时
在单调递减,在单调递增,
当时,在单调递增,
综上,在上的最小值

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