浙江省宁波市五校高三数学适应性考试题-理.doc

2012年宁波市高三五校适应性考试
数 学（理科）
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1页至2页，非选择题部分3页至4页。满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将将自己的座位号、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸相应的位置上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
参考公式
柱体的体积公式，其中表示底面积，表示柱体的高
锥体的体积公式，其中表示椎体的底面积，表示锥体的高.
球的表面积公式，其中表示球的半径.
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，若，则
A． B． C． D．
2．设，则=
A．1 B． C． D．
3．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，=
A．1 B．-1 C． D．
4． 设向量，，满足，且，则，则=
A．5 B． C． D．7
5．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为
A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）
6.甲袋中装有个白球和个黑球，乙袋中装有个白球和个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为
A. B. C. D.
7．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
A.3a2 　　 B. 6a2 　　 C.12a2　　　　　 D. 24a2
8．下面能得出△ABC为锐角三角形的条件是
A． B．
C． D．
9．一个几何体的三视图及长度数据如图（图1），则该几何体的表面积与体积分别为
A． B．
C． D．
M
N
O
x
y

F1
F2
A1
A2
B1
B2
图2
10．我们把离心率为的双曲线称为黄金双曲线．如图（图2）给出以下几个说法：
①双曲线是黄金双曲线；
②若，则该双曲线是黄金双曲线；
③若，则该双曲线是黄金双曲线；
④若，则该双曲线是黄金双曲线．
其中正确的是
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④
非选择题部（共100分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．把答案填在答题卡的相应位置）
11．已知正项等比数列满足，若存在两项使得，则的最小值是 ▲ ；
12.中，如果满足,，则的取值范围是 ▲ 。
开始
x = 1 , y = 0 , n = 1
输出(x , y )
n = n + 2
x = 3x
y = y–2
n>2009
开始
N
Y
13．若的展开式中第四项为常数项，则n= ▲ 。
14．“三角形的三条中线交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”。试类比：四面体的四条中线（顶点到对面三角形重心的连线段）交于一点，且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的 ▲ 倍。
15. 已知某算法的流程图如图所示，若将输出的 (x , y )
值依次记为(x1 , y1 )，(x2 , y2 )，……(x n , y n )，…….
(1) 若程序运行中输出的一个数组是(9 , t)，则
t = ▲ ；
(2) 程序结束时，共输出(x , y )的组数为 ▲ .
16．设满足条件，
则的最大值为 ▲ ．
17．已知圆，抛物线的准线为，设抛物线上任意一点到直线的距离为，则的最小值为 ▲ ．
三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18.（本小题满分14分） 已知设函数

（Ⅰ）当,求函数的的值域；
20070126
（Ⅱ）当时，若=8, 求函数的值；

19．（本小题满分14分）如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

20． (本小题满分14分)
设数列的前项和为，已知(n∈N*).
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，若存在整数，使对任意n∈N且n ≥2，都有成立，求的最大值；

21.（本小题满分15分）
已知椭圆长轴上有一顶点到两个焦点之间的距离分别为：
3＋2，3－2。
（1）求椭圆的方程；
（2）如果直线 与椭圆相交于A,B，若C（－3,0），D(3,0），
证明：直线CA与直线BD的交点K必在一条确定的双曲线上；
（3）过点Q(1,0 )作直线l (与x轴不垂直）与椭圆交于M,N两点，与y轴交于点R，若
，求证：为定值.

22．（本小题满分15分）
已知函数在处的切线斜率为零．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）求证：在定义域内恒成立；
(Ⅲ) 若函数有最小值，且，求实数的取值范围.

2012年宁波市高三五校适应性考试理科数学答案

1-10） BABBD ABDCD
11) 12) 13) 5 14) 3 15) -4 , 1005
16)23 17)
18. （Ⅰ）

，
由得，所以，
则函数的值域为. …………7分

（Ⅱ） ,
； 所以

= …………14分

19． 解：（法一）（1）平面平面， ．………1分
又，平面而平面
． ……3分是圆的直径，．
又，．
平面，，平面．
与都是等腰直角三角形．．
，即（也可由勾股定理证得）．
， 平面．而平面，． 7分
（2）延长交于，连，过作，连结．
由（1）知平面，平面，．而，
平面．平面，，
为平面与平面所成的二面角的平面角．
在中，，，．
由，得．．2
又，，则．
是等腰直角三角形，．
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．…14分
（法二）（1）同法一，得．
如图，以为坐标原点，垂直于、、所在直线为轴建立空间直角坐标系．
由已知条件得，
．由，
得， ． …7分
（2）由（1）知．设平面的法向量为，
由 得，
令得，， ……9分由已知平面，所以取面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，
则，
平面与平面所成的锐二面角为． ……14分
20．（1）由，得(n≥2).
两式相减，得，即(n≥2).
于是，所以数列是公差为1的等差数列.
又，所以.
所以，故. 7分
（2）因为，则.
令，则
.
所以
.
即，所以数列为递增数列.
所以当n ≥2时，的最小值为.
据题意，，即.又为整数，故的最大值为18. 14分
21.（1）由已知，得，，
所以椭圆方程为 4分
（2）依题意可设，且有，
又，，，
将代入即得
所以直线CA与直线BD的交点K必在双曲线上. 9分
（3）依题意，直线的斜率存在，则设直线的方程为，
设，则两点坐标满足方程组，
消去整理得，
所以，①
因为，所以，
即，因为l与x轴不垂直，所以，则，
又，同理可得，
所以
由①式代人上式得 15分

（22）（Ⅰ）解：.
由题意有即，解得或（舍去）．
得即，解得． -----5分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，
．
在区间上，有；在区间上，有．
故在单调递减，在单调递增，
于是函数在上的最小值．
故当时，有恒成立． …………10分
(Ⅲ)解： ．当时，则，当且仅当时等号成立，
故的最小值，符合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意；
当时，函数在区间上是增函数，不存在最小值，不合题意．
综上，实数的取值范围是． …………15分

9
用心 爱心 专心