北京市清华附中2022年数学九上期末综合测试模拟试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．若两个相似三角形的周长之比为1∶4，则它们的面积之比为（　　）
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16
3．已知一个正多边形的一个外角为锐角，且其余弦值为，那么它是正（　　）边形．
A．六 B．八 C．十 D．十二
4．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α等于（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
6．如图，一次函数分别与轴、轴交于点、，若sin，则的值为（ ）

A． B． C． D．
7．如图，半径为3的经过原点和点，是轴左侧优弧上一点，则为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，⊙O 中弦AB =8，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=2，那么⊙O的半径长是（ ）

A．4 B．5 C．6 D．1°
9．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
10．我们把宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形.如图，在黄金矩形中，的平分线交边于点，于点，则下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，反比例函数的图象经过点，过作轴垂线，垂足是是轴上任意一点，则的面积是_________．

12．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为________(结果保留π)．

13．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为________米；
14．若x1，x2是一元二次方程2x2＋x－3＝0的两个实数根，则x1＋x2＝____．
15．若点A(m，n)是双曲线与直线的交点，则_________．

16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______． 

17．如图，的半径长为，与相切于点，交半径的延长线于点，长为，，垂足为，则图中阴影部分的面积为_______．

18．如图，在菱形ABCD中，∠B=60º，E是CD上一点，将△ADE折叠，折痕为AE，点D的对应点为点D’，AD’与BC交于点F，若F为BC中点，则∠AED=______.

三、解答题(共66分)
19．（10分）某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．

(1)第一季度平均每月的增长率；
(2)如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
20．（6分）如图，已知中，， 点是边上一点，且

求证:;
求证:．
21．（6分）如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．

22．（8分）如图所示，以的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有关系式.解答以下问题：

（1）球的飞行高度能否达到?如能，需要飞行多少时间？
（2）球飞行到最高点时的高度是多少？
23．（8分）如图，在中，，过点作的平行线交的平分线于点，过点作的平行线交于点，交于点，连接，交于点．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
24．（8分）有一组邻边相等的凸四边形叫做“和睦四边形”，寓意是全世界和平共处，睦邻友好，共同发展.如菱形，正方形等都是“和睦四边形”.
（1）如图1，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证:四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）如图2，直线与x轴、y轴分别交于AB两点，点P、Q分别是线段OA、AB上的动点.点P从点A出发,以每秒4个单位长度的速度向点O运动.点Q从点A出发,以每秒5个单位长度的速度向点B运动.P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒.当四边形BOPQ为“和睦四边形”时，求t的值；
（3）如图3，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，抛物线的顶点为点D．当四边形COBD为“和睦四边形”，且CD=OC．抛物线还满足：①；②顶点D在以AB为直径的圆上. 点是抛物线上任意一点，且.若恒成立，求m的最小值.

25．（10分）（1）计算：．
（2）用适当方法解方程：
（3）用配方法解方程：
26．（10分）如图1，将边长为的正方形如图放置在直角坐标系中．

（1）如图2，若将正方形绕点顺时针旋转时，求点的坐标；
（2）如图3，若将正方形绕点顺时针旋转时，求点的坐标．

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【详解】试题分析：根据题意，画出树状图如下：

一共有6种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2个，所以，P=．故选B．
考点：列表法与树状图法求概率．
2、D
【分析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.
【详解】∵两个相似三角形的周长之比为1∶4
∴它们的面积之比为1∶16
故选D.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握相似三角形的性质，即可完成.
3、B
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为，
∴外角＝45°，
∴360÷45＝1．
故它是正八边形．
故选：B．
【点睛】
本题考查根据正多边形的外角判断边数，根据余弦值得到外角度数是解题的关键．
4、B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【详解】解：，
解不等式2x−1≤5，得：x≤3，
解不等式8−4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：2＜x≤3，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”是解题的关键．
5、B
【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=，解得：sinα=，∵α为锐角，∴α=30°．故选B．
6、D
【分析】由解析式求得图象与x轴、y轴的交点坐标，再由sin，求出AB，利用勾股定理求出OA=，由此即可利用OA=1求出k的值.
【详解】∵,
∴当x=0时，y=-k，当y=0时，x=1，
∴B（0，-k），A（1,0），
∵sin，
∴，
∵OB=-k，
∴AB=，
∴OA==
∴=1，
∴k=，
故选：D.
【点睛】
此题考查一次函数的性质，勾股定理，三角函数，解题中综合运用，题中求出AB，利用勾股定理求得OA的长是解题的关键.
7、B
【分析】连接CA与x轴交于点D，根据勾股定理求出OD的长，求出，再根据圆心角定理得，即可求出的值．
【详解】设与x轴的另一个交点为D，连接CD

∵
∴CD是的直径
∴
在中，，
根据勾股定理可得

∴
根据圆心角定理得
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了三角函数的问题，掌握圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．
8、B
【分析】连接OA，由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，设OA=OC=x，在Rt△AOE中利用勾股定理易求OA．
【详解】解：连接OA，
∵OC⊥AB，
∴AB=2AE=8，
∴AE=4，
设OA=OC=x，则OE=OC-CE=x-2
在Rt△AOE由勾股定理得：

即： ，
解得：，
故选择：B

【点睛】
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9、A
【解析】试题分析：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的半径等于1，则正六边形的边长是1．故选A．
考点：正多边形和圆．
10、C
【分析】设，则，根据黄金矩形的概念结合图形计算，据此判断即可．
【详解】因为矩形宽与长的比等于黄金比，
因此，设，则，
则选项A.，B.，D.正确，
C.选项中等式， ，
∴；
故选：C.

【点睛】
本题考查的是黄金分割、矩形的性质，掌握黄金比值为是解题的关键．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】连接OA，根据反比例函数中k的几何意义可得，再根据等底同高的三角形的面积相等即可得出结论
【详解】解：连接OA，

∵反比例函数的图象经过点，
∴；
∵过作轴垂线，垂足是；
∴AB//OC
∴和等底同高;
∴；
故答案为：
【点睛】
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义、等底同高的三角形的面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键
12、
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ABC中，求出AB长，继而求得CD长，继而根据扇形面积公式进行求解即可．
【详解】过点C作CD⊥AB于点D，
Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB=AC=4，
∴CD=2，
以CD为半径的圆的周长是：4π．
故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2××4π×=．
故答案为．

【点睛】
本题考查了圆锥的计算，正确求出旋转后圆锥的底面圆半径是解题的关键．
13、6
【分析】现将函数解析式配方得，即可得到答案.
【详解】，
∴当t=1时，h有最大值6.
故答案为：6.
【点睛】
此题考查最值问题，确定最值时需现将函数解析式配方为顶点式，再根据开口方向确定最值.
14、
【分析】直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据题意得x1+x2═
故答案为．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=，x1•x2=．
15、5
【分析】联立两函数解析式求出交点坐标，得出m，n的值，即可解决本题.
【详解】解：联立两函数解析式：，
解得：或，
当时，，
当时，，
综上，5，
故答案为5.
【点睛】
本题是对反比例函数和一次函数的综合考查，熟练掌握反比例函数及解一元二次方程知识是解决本题的关键.
16、3或1
【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．
【详解】若运动后⊙P与y轴相切，
则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），
而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，
所以点P的运动距离为3或1．
故答案为3或1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
17、
【分析】由已知条件易求直角三角形AOH的面积以及扇形AOC的面积，根据，计算即可．
【详解】∵BA与⊙O相切于点A，
∴AB⊥OA，
∴∠OAB=90°，
∵OA=2，AB=2，
∴，
∵，
∴∠B=30°，
∴∠O=60°，
∵，
∴∠OHA=90°，
∴∠OAH=30°，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了切线的性质、勾股定理的运用以及扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．
18、75º
【分析】如图（见解析），连接AC，易证是等边三角形，从而可得，又由可得，再根据折叠的性质得，最后在中利用三角形的内角和定理即可得.
【详解】如图，连接AC
在菱形ABCD中，

是等边三角形
F为BC中点
（等腰三角形三线合一的性质），即
（两直线平行，同旁内角互补）
又由折叠的性质得：

在中，由三角形的内角和定理得：
故答案为：.

【点睛】
本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出是解题关键.

三、解答题(共66分)
19、（1）20%（2）能
【解析】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据该厂一月份及三月份的总产量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据五月份的总产量=三月份的总产量×（1+增长率）2，即可求出今年五月份的总产量，再与1000进行比较即可得出结论．
【详解】（1）设第一季度平均每月的增长率为x，根据题意得：
500（1+x）2=720
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2=1036.8（t）．
∵1036.8＞1000，∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，求出今年五月份的总产量．
20、（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质和判定定理，即可得到结论；
（2）由得，进而即可得到结论．
【详解】（1），
，，
，即：，
∴；
,
．

∴，
，即：∠DBE=90°，
．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理以及直角三角形的性质定理，掌握两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形，是解题的关键．
21、（1）详见解析；（2）AC＝．
【分析】（1）由，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明即可解决问题；
（2）在中只要证明即可解决问题.
【详解】（1），E为AD的中点

，即
四边形BCDE是平行四边形

四边形BCDE是菱形；
（2）如图，连接AC
，AC平分

在中，
.

【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理与性质、菱形的判定定理、角平分线的定义、正弦三角函数值、直角三角形的性质，熟记各定理与性质是解题关键.
22、（1）能，1或3；（2）20m
【分析】（1）当h=15米时，15=20t-5t2，解方程即可解答；
（2）求出当的最大值即可.
【详解】解；（1）解方程：
，
解得：，
需要飞行1s或3s；
（2），
当时，h取最大值20，
∴球飞行的最大高度是.
【点睛】

本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据平行四边形的定义可知四边形是平行四边形，然后根据角平分线的定义和平行线的性质可得，根据等角对等边即可证出，从而证出四边形是菱形；
（2）根据菱形的性质和同角的余角相等即可证出，利用锐角三角函数即可求出AH和AG，从而求出GH．
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
平分，
，

，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：，
，
∵四边形是菱形
∴，
，
，

，
，
四边形是菱形，，
，
，
．
【点睛】
此题考查的是菱形的判定及性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和解直角三角形，掌握菱形的定义及性质、平行线、角平行线和等腰三角形的关系和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
24、（1）见解析；（2）或；（3）
【分析】（1）由BD平分∠ABC推出∠ABD=∠CBD，又AB∥BC，所以∠ADB=∠CBD，所以∠ABD=∠ADB，即AB=AD，所以四边形ABCD为“和睦四边形”； (2)分别求出 AQ、AP、BQ、OP、OB的值，连接PQ ，因为，所以，所以，根据勾股定理求出PQ，再分类讨论t的值即可；（3）表示出点的坐标，由可得， 因为得出 所以，即，由①②的方程且解出a、b的值，求出抛物线的解析式为，因为P在抛物线上，将P代入抛物线得，，可得当，又因为，所以，即，得出m的最小值为；
【详解】解：
（1）
，
，
，
，
，
四边形ABCD为“和睦四边形”；
（2）由题意得：AQ=5 t ，AP=4 t ，BQ=10 - 5 t ，OP=8 - 4 t ，OB=6，连接PQ ，

，
，

综上：；
（3）由题意得：，

由①②，且，得，
，

【点睛】本题是二次函数的综合性题目，给了新型定义，解题的关键是审清题目的意思.
25、（1）3;(2) x1=,x2=；(3) x1＝1+，x2＝1−．
【解析】（1）先根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂和绝对值的意义逐项化简，再合并同类二次根式或同类项即可；
（2）用直接开平方法求解即可；
（3）先把-3移项，再把二次项系数化为1，两边都加1，把左边写成完全平方的形式，两边同时开平方即可.
【详解】解：（1）原式=4×-2 +1+2 =3；
（2）（2x-5）2= ，
2x-5=± ，
所以x1=,x2= ；
(3) 解：∵2x2-4x-3=0，
∴2x2-4x=3，
∴x2−2x＝，
∴x2−2x+1＝+1，
∴(x−1)2＝，
∴x-1=±，
∴x1＝1+，x2＝1−．
【点睛】
本题考查了实数的混合运算，一元二次方程的解法，熟练掌握二次方程的解法是解答本题的关键.
26、（1）A；（2）B
【分析】（1）作轴于点，则，,求得AD=1，根据勾股定理求得OD=，即可得出点A的坐标；
（2）连接BO，过点作轴于点，根据旋转角为75°，可得∠BOE＝30°，根据勾股定理可得，再根据Rt△BOD中，，，可得点B的坐标．
【详解】解：（1）如图1,作轴于点，则，
，
点的坐标为．

图1
（2）如图2，连接，过点作轴于点，则，
在中，
在中，，
点的坐标为．

图2
【点睛】
本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．