吉林省吉林市高三数学第二次模拟考试-理(2013吉林二模).doc

吉林市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期中复习检测
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴
在条形码区域内；
2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、
刮纸刀。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，,则=
A． B．
C． D．
2．已知为虚数单位，则复数＝
A． B．
C． D．
3．已知是上的奇函数，且当时，，那么 的值为
A．0 B． C． D．
4．下列命题错误的是
A．已知数列为等比数列，若，，则有
B．点为函数图像的一个对称中心
C．若，则
D．若，向量与向量的夹角为°，则在向量上的投影为；
5．设双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为
A． B． C． D．
6．若的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中项的系数为
A．6 B．7
C．8 D．9
7．如果执行如右图所示的程序框图，输出的S值为
A． B．
C．2 D．
8．函数的最小正周期为
A． B．
C． D．
9．不等式在时恒成立，则的取值范围是
A． B．
C． D．
10．过点且与曲线相切的切线方程为
A．，或 B．
C． D．，或
11．若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则
A．-1 B．-2 C．2 D．3
12．在平面直角坐标系中，定义为两点,
之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；
②到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；
③到两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是；
④到两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线.其中正确的命题有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
13．已知函数 则　　　　　．
14．已知抛物线方程，过点的直线交抛物线于，两
正视图
侧视图
俯视图
１
3
2
点，且，则的值　　　　　.
15．已知某三棱锥的三视图(单位: )如右图所示,则该三棱锥外
接球的表面积等于　　　　　．
16．设数列的各项均为正数，前项和为，对于任意的
，成等差数列，设数列的前项和为，
且，若对任意的实数（是自然对数的底）和任意正整数，总有．则的最小值为　　　　　.

三、解答题：本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，，，．
（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求的值．

18．（本小题满分12分）
近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男

5

女
10

合计

50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为．
（Ⅰ）请将上面的列联表补充完整；
（Ⅱ）是否有的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；
（Ⅲ）已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患胃病．现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其他方面的排查，记选出患胃病的女性人数为，求的分布列，数学期望以及方差；大气污染会引起各种疾病，试浅谈日常生活中如何减少大气污染．
下面的临界值表供参考：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

（参考公式 其中）

19．（本小题满分12分）
如图：四棱锥中，,,．∥，．．
（Ⅰ）证明: 平面；

A
B
C
D
（Ⅱ）在线段上是否存在一点，使直线与平面成角正弦值等于，若存在，指出点位置，若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）
椭圆中心是原点，长轴长，短轴长，焦点．直线与
轴交于点，，过点的直线与椭圆交于两点．
（Ⅰ）求椭圆方程及离心率；
（Ⅱ）若，求直线的方程；
（Ⅲ）若点与点关于轴对称，求证: 三点共线．

21．（本小题满分12分）
已知2013年2月10日春节．某蔬菜基地2013年2月2日有一批黄瓜进入市场销售，通过市场调查，预测黄瓜的价格(单位：元/kg)与时间(表示距2月10日的天数，单位：天，)的数据如下表：
时间x
8
6
2
价格
8
4
20
（Ⅰ）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述黄瓜价格与上市时间x的变化关系：，，，，其中；并求出此函数；
（Ⅱ）为了控制黄瓜的价格，不使黄瓜的价格过于偏高，经过市场调研，引入一控制函数．称为控制系数．
求证：当＞时，总有．

22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲
如图，是直角三角形，．以为直径的圆交于点，点是边的中点．连结交圆于点.
（Ⅰ）求证：、、、四点共圆；
（Ⅱ）求证：

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴．点的极坐标为，圆
以为圆心，4为半径；又直线的参数方程为（为参数）
（Ⅰ）求直线和圆的普通方程；
（Ⅱ）试判定直线和圆的位置关系．若相交，则求直线被圆截得的弦长．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式．
（Ⅰ）当时，求此不等式的解集；
（Ⅱ）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．

命题、校对：孙忠臣 赵玉楠 曹阳 马辉 王玉梅 孙长青

答案
1．选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
D
D
B
B
C
B
A
A
B
C
2．填空题
13． 14．1 15． 16．2
3．解答题
17．（Ⅰ）解：在 中，根据正弦定理：
所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分
根据余弦定理得：　　 ……4分
而，所以 ……5分
所以　　　　 ……6分　　　　　　　　　　
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知 ……10分
所以 ……12 分
18．（Ⅰ）解：列联表补充如下　　　　　　　　　 ………2分

患心肺疾病
不患心肺疾病
合计
男
20
5
25
女
10
15
25
合计
30
20
50
（Ⅱ）解：因为，所以　　　
又．
那么，我们有的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的． ……4分
（Ⅲ）解：　的所有可能取值：0，1，2，3
；
；
；
； ………7分
分布列如下： ………8分

0
1
2
3

则

的数学期望及方差分别为， ………10分
低碳生活，节能减排，控制污染源，控制排放．（回答基本正确就得分） …12分
19．（Ⅰ）证明：取线段中点，连结．
因为，所以 ……1分
因为∥，所以， ……2分
D
P
A
B
C
F
E
又因为，所以，而
所以． ……4分
因为，所以　即
因为，且
所以平面 ……6分
（Ⅱ）解：以为坐标原点，以
所在直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示：
则四点坐标分别为：
；；； ……8分
设；平面的法向量．
因为点在线段上，所以假设，所以
即，所以． ……9分
又因为平面的法向量．
所以，所以
所以 ……10分
因为直线与平面成角正弦值等于，所以．
所以　即．所以点是线段的中点． ……12分
20．（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为。
由已知得解得 ……2分
所以椭圆的方程为，离心率。 ……4分
（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）。
设直线PQ的方程为。由方程组
得，依题意，得 …5分
设，则，①。② ……6分
由直线PQ的方程得。于是
。 ③ ……7分
∵，∴。 ④ ……8分
由①②③④得，从而。
所以直线PQ的方程为或 ……9分
（Ⅲ）证明：因为三点共线，所以假设（）
所以。由已知得方程组

注意，解得 ……10分
因，故
。 ……11分
而，所以。
所以三点共线． ……12分
21．（Ⅰ）解：根据表中数据，表述黄瓜价格与上市时间x的变化关系的函数决不是单调函数，这与函数，，均具有单调性不符，所以，在的前提下，可选取二次函数进行描述． ……1分
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
解得，，． ……3分
所以，黄瓜价格与上市时间x的函数关系是
． ……4分
（Ⅱ）解：设函数，求导，结果见下表。
，继续对求导得 ……6分
表格如下: ……8分

减
极小值
增
由上表可知，而
，由＞知
＞，所以＞，即在区间上为增函数。 ……10分
于是有＞，而， ……11分
故＞，即当＞且＞时，＞。
即 ……12分
22．（本小题满分10分）选修1—4：几何证明选讲
（Ⅰ）证明：如图，连结、，则⊥
又∵D是的中点， ∴.
又∵，， ∴，
∴. ∴、、、四点共圆．
（Ⅱ）证明：延长交圆于点. 由(1)知为圆的切线，
∴，
∴， ∴．
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
（Ⅰ）解因为直线的参数方程为（为参数）
所以直线的普通方程： ……3分
如图，设圆上任意一点为，则在中，由余弦定理，
得，
∴．
化简得，即圆的极坐标方程为．（为参数）．
因为，所以，所以
即圆的普通方程为(亦可先求圆心直角坐标) ……6分
（Ⅱ）解：因为圆心M的直角坐标是，圆心M到直线l的距离， …8分
所以直线l和圆相交．直线被圆截得弦长 ……10分
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
（Ⅰ）解：当时， 不等式为.
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点到1，2的距离之和大于
于2.∴或 ∴不等式的解集为. ……5分
注 也可用零点分段法求解．
（Ⅱ）解：∵，
∴原不等式的解集为R等价于， ∴或，又，
∴. ……10分

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