广义严格对角占优矩阵的判定准则.pdf

第49 卷第4期2023年8 月文章编号：16 7 3-519 6(2 0 2 3)0 4-0 157-0 5兰州理工大学学报Journal of Lanzhou University of Technology广义严格对角占优矩阵的判定准则Vol.49No.4Aug.2023张劲松*（九江学院理学院，江西九江332 0 0 5）摘要：仅利用矩阵自身的元素，得到了广义严格对角占优矩阵的一些改进的判定准则，扩大了判别范围.给出了数值算例.关键词：矩阵；广义严格对角占优；不可约；非零元素链at中图分类号：0 151.2 1Criteria for generalized strictly diagonally dominant matricesAbstract:By using the elements of each matrix itself only,some improved criteria for generalized strictlydiagonally dominant matrices are obtained,which enlarge the identification range.Numerical examples arepresented.Key words:matrix;generalized strictly diagonally dominance;irreducibility;nonzero elements chain广义严格对角占优矩阵在计算数学、数学物理等领域有着重要的应用-2 ，但它的判定却是困难的文3-12 给出了一些判定准则，本文拟给出几个改进的判定准则.记Cx(R)为n 阶复(实)方阵集合,设A=(ai;)ECx,记A,(A)=2laij l,i,jEN=(1,2,n).若laiI,(A),ViEN,则称A为严格对角占优矩阵，记为AED;若存在正对角矩阵X使得AXED,则称A为广义严格对角占优矩阵，等价于非奇异H矩阵，记为AED.本文引人下列记号：Ni=(iEN:0Iai|0.定义11-2 设A=(a)ECx,A不可约,满足lail；（A)，Vi EN,并且至少有一个严格不等收稿日期：2 0 2 2-0 5-18基金项目：国家自然科学基金（1140 12 7 4)通讯作者：张劲松（19 7 0-），男，江西九江人，副教授.Email:文献标志码：AZHANG Jin-song(College of Science,Jiujiang University,Jiujiang 332005,China)式成立，则称A为不可约对角占优矩阵.定义2 3诊设A=(ai)Ecx,满足lail,（A)，Vi EN,并且至少有一个严格不等式成立，若对每一个等式成立的i存在非零元素链ai,aiti2ai0,使得la|（A),则称A为具有非零元素链对角占优矩阵.引理11设A=(a;)ECnx,且A为不可约对角占优矩阵,则AED.引理2 1设A=(ai）)EC,且A为具有非零元素链对角占优矩阵，则AED.2000年，孙玉祥5证明了如下主要结果：定理1 设A=(a;)ECx,若ViENI,有A(A)Iai II ai I+ZI al,(A)IaitatEN则AED.其中A;(A)=.aiI+IaittEN+iiENiN)=(i E N:0IaitTeN2记r=maxEN,1)ieNA;(A)一设A=(a;)ECx,若ViENI),有定理3al+rZI aA;(A)IiIatteNT,iaitEN2则AED.证明显然ViEN,0r1,并且A;(A)A;(A)/aTTa0,使得ViENI),有A,(A)IaiiI2lail+r2.lattENi1，iA,(A)ait+Zlai1(5)EN2at构造正对角阵X=diag(a1,2,a,),其中;=1A;(A)ai,(A)IaI则有B=AX=(bi;),并满足：1)ViEN(I,由式(5)得;(B)=Ia I+teNT,tiA;(A)Z.I ai1attTENI)兰州理工大学学报Iai,(A)0,使I.atA;(A)得0e1,ViEN;同时由N,的定laiil(2)atA;(A)Iaitatt,(A)aitatTatlaiA,(A)TatT,(A)atENSI)TEN1)iEN1)iENg)iEN2第49 卷义知A;(A)1,ViEN2,则laiiZ.I ai I+Z.I at;(B)=EN),(A)1aitl aiTEN2EN.)att;(A)-teN.+i有A(A)teN.+iatrN;(A)-Z.Iau I+Iat(EN1)则;(B)=Z.I ai I+EN1)TeN.tiA,(A)EN2atlaiI+Z.laiI+EN1)A(A)atttEN2A;(A)atA,(A)atA(A)aatA,(A)tEN2attA,(A)+第4期2laiEN2attIai I+rA(A)ClaiI+rZ.IailteN,tiLENS),(A)aitKEN2则AED.证明显然ViEN2,0r 0,使得ViENI),有A(A)Iai IteN.tiaitA,(A)tEN2atZ.lail+lailtEN2TENl)构造正对角阵X=diag(1,),其中;=1,A;(A)ai张劲松：广义严格对角占优矩阵的判定准则A,(A)A;(A)aattTEN.A;(A)att(6)A,(A)1aktatENSI)at(7)(8)atIEN)(9)iENIiENg)159;(A);+aii则有B=AX=(b;),并满足：1)ViENI),由式(9)得;(B)=I ai I+TEN,iA(A)Z.I ai 1attTENS)lailA,(A)TaT+0,使得A;(A)aii当Z、l a i I+Z、l a u|=0 时,有TEN1);(B)=Z.IaI+LENT)A;(A)aatTEN)A,(A)IaitIEN2+i.1auI+r2LaittEN2,itEN2,丰ie/ai|+rA,(A)=|bi l当ZlaiI+lai|0时，由TENT)Z.I ait I+Z.EN.1)ENS)A:(A)-2IaittEN2+i有A,(A)aittEN2+irA;(A)-Z.l au I+Z.I attENC)则(B)=Z,I i I+Z.I i ITENg)tEN2.+itENt1)iEN2A;(A)ViENg)aiat1aiA,(A)atattA;(A)atttENS1)1,(A)att,(A)attTENSI)A,(A)atA(A)aA(A)att160tEN2+ilaal+ZIaiI+tEN2.+iENI)A;(A)laitattTEN.)A,(A)aittEN2+i2.1a+rA;(A)0，使得,(A)ai当laiI+lait|=0时，有EN2EN.);(B)=Z.I ai I+TENE)aiteN.+iIait,(A)tEN2atTeN.+i|aiI+rA;(A)=|bil当lail+lai|0时，有tEN2TENE)(B)=Z.I i I+TEN.)Iail,(A)+TEN2IEN)A(A)aiTeN,i.Iaa I+rA(A)laiI+rZIaTeNA,iTEN1)rlaiA,(A)tEN2at且式(10)至少有一个严格不等式成立；2）Vi ENI),对式(10)所有等式成立的i有非ViEN2零元素链aiaiiai使得II+rZ.1akttEN,iTEN1)A,(A)IaktTEN22数值例子例1设10105A;(A)143010itA=318010att00 1 35Lo00110则 N()=(1,2),N)=(3,4),N,=(5),rA(A)l a1|=1|a12|+r/a13a33A(A)As(A)a14a15a44450-18十I 22/=4|21 I+r/23IiI+A(A)a2447则A满足本文定理3的条件，于是AED.但A(A)I an|=18故A无法用文5中定理1亦即本文定理1作出判定.例2 设10106.1704306A：3180103001LO00110则 NI)=(1),N)=(2,3),N2=(4,5),r58I a11 I=1 a14401X418则A满足本文定理5的条件，于是AED.但A(A)I a1=1rI a12a22A4(A)a14a444050-X1X418故A无法用本文定理3作出判定；A(A)I a/=1 10A(A)13a33As(A)a15a.5550+1X8故A无法用文6 中定理1亦即本文定理2 作出判定.当然也无法用文5中定理1亦即本文定理1作出判定.参考文献：1VARGA R S.On recurring theorems on diagonal dominanceJJ.Linear Algebra Appl,1976,13(1/2):1-9.2PLEMMONS R J,BERMAN A,Nonnegative matrices in themathematical sciences M.Philadelphia:SIAM Press,1994.3SHIVAKUMAR P N,CHEW K H.A sufficient conditions fornonvanishing of determinants JJ.Proc Amer Math Soc,1974,43:63-66.4GAN T B,HUANG T Z.Simple criteria for nonsingular H-matrices J.Linear Algebra Appl,2003,374(2):317-326.5孙玉祥.非奇异H-矩阵的判定J.工程数学学报，2 0 0 0,17(4):45-49.6度清，黎奇升.关于非奇H-矩阵的判定的注记J.南京大学学报数学半年刊，2 0 0 8,2 5（1)：10 1-10 7.10.991.225X6.18107冷春勇，李中恢.关于非奇H-矩阵的充分条件J.兰州理工大学学报，2 0 10,36(1)：143-145.8王健，徐仲,陆全，判定广义严格对角占优矩阵的一组新条件JJ.计算数学，2 0 11，33（3：2 2 5-2 32.9张劲松，李红.广义严格对角占优矩阵的几个判定条件J.数学的实践与认识，2 0 14，44（3)：18 1-18 5.10张俊丽.非奇异H-矩阵的新迭代判别法J.兰州理工大学学报，2 0 16,42(4)：159-16 1.11陈茜，度清.非奇异H矩阵的一组新判定法J.工程数学学报，2 0 2 0,37(3）：32 5-334.12石慧，度清，吴乐.广义严格对角占优矩阵的递进式判定新准则J.吉首大学学报（自然科学版），2 0 2 1，42（5）：12-19.18.058