13-第一章第三节(概率统计).ppt

,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,*,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,上页,下页,返回,上页,下页,返回,按一下以編輯母片標題樣式,按一下以編輯母片,第二層,第三層,第四層,第五層,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一章 随机事件与概率,1.3,频率与概率,第一章 随机事件与概率,1.3,频率与概率,内容简介,:,通过借助于熟悉的频率及其性质,引出概率的统计定义,建立概率的公理化定义,在此概念基础上,研究概率的有限可加性、差事件和对立事件的概率计算公式、概率加法公式等重要理论。,1.3.1,提出问题,1.,大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和刻画它？,2.,频率，我们比较熟悉。它和概率有关系吗,?,可以给我们哪些启示呢？,1.3.3,预备知识,1.,频数,频率,掷币试验的频率,.,我们观察一项随机试验所发生的各个事件,就其一次具体的试验而言,每一事件出现与否都带有很大的偶然性,似乎没有规律可言,.,但是在,大量的重复试验,后,就会发现,:,某些事件发生的可能性大些,另外一些事件发生的可能性小些,而有些事件发生的可能性大致相同,.,1.3.3,问题分析,比如,一个箱子中装有,100,只产品,其中,95,只是合格品,5,只是次品,.,从其中任意拿出一只,则拿到合格品的可能性就比拿到次品的可能性大,.,假如这,100,只产品中的合格品与次品都是,50,只,则拿到合格品与拿到次品的可能性就大致相同,.,所以,一个事件发生的可能性大小是它本身所固有的一种客观的度量,.,很自然,人们希望用一个数来描述事件发生的可能性大小,而且,事件发生可能性大的,这个数就大,;,事件发生可能性小的,这个数就小,.,为此,我们引入熟悉的,“,频率,”,的概念,它描述了事件在,多次,试验中发生的频繁程度,进而引出表征事件在,一次,试验中发生的可能性大小的数量指标,概率,.,定义,1,在相同的条件下，进行了,n,次试验,在这,n,次试验中，事件,A,发生的次数,n,A,称为事件,A,发生的,频数,；比值,称为事件,A,发生的,频率,并记为,f,n,(,A,).,1.,频率,引例,在同样条件下,多次抛一枚质地均匀的,硬币,考察,“,正面朝上,”,的次数,这个试验在,历史上曾经有多人做过,得到如表,1-2,所示的数据,.,表,1,-,2,掷硬币试验数据,频率,0.50,77,40961,80640,罗曼诺夫斯基,0.50,05,12012,24,000,皮尔逊,0.50,16,6019,12000,皮尔逊,0.5080,2048,4040,蒲 丰,出现正面次数,n,A,(,频数,),投掷次数,n,实验者,上例中频率在,0.5,附近摆动,n,增大时,逐渐,稳定于,0.5,.,实验者 资料,频率具有下列性质：,性质,1,非负性,:,0,f,n,(,A,)1,.,性质,2,规范性,:,设,为必然事件,则,f,n,(,)=1,.,经验表明：虽然,n,次试验中,事件,A,出现的次数,n,A,不确定,事件,A,的频率不确定,但当试验次数充分多时,事件,A,出现的,频率在一个常数附近摆动,.,用这个常数来表示事件,A,发生的可能性大小比较恰当,.,这是我们下面将给出概率统计定义的客观基础,.,性质,3,可加性,:,若,A,B,互不相容,则,f,n,(,A,B,)=,f,n,(,A,)+,f,n,(,B,).,2.,概率的统计定义,定义,2,在试验条件不变的情况下，重复作,n,次试验，事件,A,发生的频率稳定在某一常数,p,附近摆动，则称这个常数,p,为事件,A,在一次试验中发生的,概率,，记作,P,(,A,).,即,P,(,A,)=,p,.,数,P,(,A,),就是在,一次试验,中对事件,A,发生的可能性大小的一种数量描述,.,我们习惯称,定义,2,是概率的统计定义,.,例如,在引例中就可以用,0.5,来描述掷一枚匀质硬币,“,正面朝上,”,出现的,可能性大小,.,用概率的统计定义来估计概率的方法,在过去和现在解决了不少问题,但它们在理论上存在缺陷,在应用上也有局限性,.,例如,在实际问题中往往无法满足概率统计定义中要求的试验次数的,“,充分大,”,也不清楚试验次数应该大到什么程度,因此,概率的统计定义不能作为数学意义上的定义,.,讲评,“,频率,”,与,“,概率,”,的区别：,(1),事件的频率与概率有着本质区别,:,频率具有随机波动性,是一个变数,;,而概率是一个常数,具有客观性,.,(,2),概率的统计定义只是一种描述,它指出了事件的概率是客观存在的,随着试验次数的增加,频率在概率附近摆动,.,因此,在实际问题中,当试验的次数,n,很大时,频率通常作为概率的近似值,.,1.3.4,建立理论,定义,3,设,E,是随机试验,是,E,的样本空间,若对于,E,的每一随机事件,A,有确定的实数,P,(,A,),与之对应,如果集合函数,P,(),满足下列条件：,(1),非负性：,对于每一事件,A,有,0,P,(,A,),；,(,2),规范性：,对必然事件,有,P,(,)=1,；,(3),可列可加性：,对于两两互不相容的可列无穷多个事件,A,1,A,2,A,n,有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,+,P,(,A,n,)+,(1.,3.1,),则,实数,P,(,A,),称为事件,A,的,概率,.,1.,概率的公理化定,义,对上面讲过的,“,频率,”,定义、,“,概率统计,”,定义都满足这个定义中的条件要求,它们都是这个一般定义范围内的特殊情形,.,在第五章中将证明,当试验次数,n,时频率,f,n,(,A,),在一定的意义下接近于概率,P,(,A,).,因此,我们更,有理由将概率,P,(,A,),用来表征事件,A,在一次试验中发生的可能性的大小,.,令,A,n,=,n,=1,2,则,概率的一些重要性质,:,证,2.,概率重要性质,=,并且,A,i,A,j,=(,i,j,i,j,=1,2,).,由概率的可列可加性得,P,()=,由概率的非负性知,P,()0,因此,由上式得到,P,()=0,.,性质,4,P,()=0.,性质,5,(,加法公式,),对于两两互不相容的,n,个事件,A,1,A,2,A,n,则有,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,+,P,(,A,n,)(1.3.2),证,令,A,n,+1,=,A,n,+2,=,=,由假设即得,A,i,A,j,=(,i,j,i,j,=1,2,).,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,+,P,(,A,n,),(1.3.2),式得证,.,讲评,:,关键词是,两两互不相容,.,一般情形见,(1.3.10),式,.,由概率的可列可加性,(1.3.1),得,性质,6,(,差事件概率,),设,A,B,为两个事件,若,A,B,则有,P,(,B,A,)=,P,(,B,),P,(,A,).,(1.3.6),讲评,:,关键词是,A,B,.,否则不成立,.,这里隐含,P,(,A,),P,(,B,).,如若,P,(,A,),=,P,(,B,)=,则,P,(,B,),-,P,(,A,)=,一般情形,是,概率减法公式,P,(,A,-,B,)=,P,(,A,-,AB,)=,P,(,A,),-,P,(,AB,).,由,A B,知,B,=,A,(,B,A,),且,A,(,B,A,)=,由概率的有限可加性,(1.3.2),得到,P,(,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,A,),移项,(1.3.6),式得证,.,证,推论,1,(,保序性,),若,A B,则,P,(,A,),P,(,B,).,证,由概率的非负性,得,P,(,B,A,)0.,由,(1.3.6),式得到,P,(,A,),P,(,B,).,性质,7,对于任意事件,A,都有,P,(,A,)1.,证,因为对于任意事件,A,都有,A,由概率,的保序性和规范性,得,P,(,A,),P,(,)=,1.,可见,对于任意事件,A,概率的,有界关系,为,0,P,(,A,)1,.,讲评,:,在计算用,“,至少,”,或,“,至多,”,描述的事件,A,的概率,P,(,A,),时,常常考虑事件,A,的对立事件,利用公式,P,(,A,)=1,P,(),计算,P,(,A,).,推广至,P,(,A,1,A,2,A,n,)=,因为,A,=,由规范性和有限可加,性,(3.2),得到,1=,P,(,)=,P,(,A,)=,P,(,A,)+,P,().,移项,得到所证等式,.,性质,8,(,对立事件的概率,),设 是,A,的对立,事件,则有,P,()=1,P,(,A,).,(1.3.8),证,性质,9,(,概率加法公式,),对于任意的事件,A,B,有,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,).,(1.3.9),证,因为,A,B,=,A,(,B,AB,),且,A,(,B,AB,)=,及,AB B,由有限可加性,(1.3.3),和概率减法公式,(1.3.5),得到,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,AB,),=,P,(,A,)+,P,(,B,),P,(,AB,).,推论,2,对任意的,事件,A,B,有,P,(,A,B,),P,(,A,)+,P,(,B,).,证,注意,加法公式,在计算两个事件和的概率时经常使用,.,两个事件的加法公式面积解释,由性质,9,(1.3.9),式得证,.,对于,n,个事件,A,1,A,2,A,n,有关系式,P(A,1,A,2,A,3,A,n,),+,+(,-,1),n,+1,P,(,A,1,A,2,A,n,).(1.3.10),推广,：,n,个事件,A,1,A,2,A,n,有关系式,特别地,设,A,1,A,2,A,3,是三个,事件,P,(,A,1,A,2,A,3,),P,(,A,1,A,2,),P,(,A,1,A,3,),P,(,A,2,A,3,),+,P,(,A,1,A,2,A,3,),(1.3.11),式,(1.3.11),是三个事件和的,概率加法公式,.,则有,=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,3,),如果,A,1,A,2,A,3,两两互斥,则得到三个事件,和的,加法公式,P,(,A,1,A,2,A,3,)=,P,(,A,1,)+,P,(,A,2,)+,P,(,A,3,).,讲评,:,对于一般情形,当事件,A,1,A,2,A,n,两两互斥时,有,加法公式,(1.3.2),即,讲评,:,本题的作用是训练用概率的性质计算概率,.,常用公式有,:,(1),对立事件概率公式,(2),加法公式,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),-,P,(,AB,).,例,2,已知,P,(,AB,)=0.5,P,(,C,)=0.2,P,=0.4,求,解,=1-0.5+(1-0.2)-0.4=0.1.,1.3.5,方法应用,设,A,B,C,分别表示,居民订购,A,B,C,报,事件,由题设知,(1),P,(,只订,A,及,B,报的,),=,=,P,(,AB,-,C,)=,P,(,AB,-,ABC,),=,P,(,AB,),-,P,(,ABC,)=0.1,-,0.03=0.07.,例,1.3.1,某城市共发行,A,B,C,三种报纸,.,调查表明,居民家庭中订购,C,报的占,30%,同时订购,A,B,两报的占,10%,同时订购,A,报和,C,报或者,B,报和,C,报的各占,8%,5%,三种报纸都订的占,3%.,今在该城中任找一户,问,:(1),该户只订,A,和,B,两种报纸的概率是多少,?,(2),该户只订,C,报的概率为多少,?,解,讲评,:,易混点是,“,同时订购,A,报和,B,报”与“只订,A,报和,B,报,”,.,常用性质,P,(,A,-,B,)=,P,(,A,-,AB,)=,P,(,A,),-,P,(,AB,),而不是,P,(,A,-,B,)=,P,(,A,),-,P,(,B,).,(2),P,(,只订,C,报的,)=,=,P,(,C,-,(,A,B,)=,P,(,C,-,C,(,A,B,),=,P,(,C,),-,P,(,AC,BC,),=,P,(,C,),-,P,(,AC,)+,P,(,BC,),-,P,(,ABC,),=0.3,-,(0.08+0.05,-,0.03)=0.2.,1.3.6,内容小结,提出问题,1.,大量的重复试验后,事件发生的可能性有大有小,怎样来认识和描述它？,2.,频率,我们比较熟悉,.,它和概率有关系吗？可以为我们提示哪些启示呢？,解决问题,1.,用频率的稳定值，用概率来刻画,.,2.,频率是概率的实际来源，概率是频率的理论提升,.,概率是频率的稳定值，频率可以作为概率的近似值,.,1.3.7,习题布置,习题,1.3 2,、,3,、,5.,参考文献与联系方式,1,郑一,王玉敏,冯宝成,.,概率论与数理统计,.,大连理,工大学出版社，,201,5年8月,.,2,郑一,戚云松,王玉敏,.,概率论与数理统计学习指,导书,.,大连理工大学出版社，,201,5年8月,.,3,郑一,戚云松,陈倩华,陈健,.,光盘：概率论与数理 统计教案 作业与试卷及答案 数学实验视频,.,大 连理工大学出版社，,201,5年8月,.,4,王玉敏,郑一,林强,.,概率论与数理统计教学实验,教材,.,中国科学技术出版社，,20,07年7月,.,联系方式,：,zhengone,蒲丰,（G.L.L.Buffon,1707,1788），英国博物学家，著有自然史（1,36卷）；,皮尔逊,（K.Pearson,1857,1936），英国统计学家，现代统计学的创始人之一；,罗曼诺夫斯,（W.Y.Romanovski,1879,1954），乌兹别克统计学家.,柯尔莫戈洛夫,（.,1903,1987），,著名俄罗斯数学家，莫斯科大学教授，前苏联科学院院士，概率论和函数论一个学派的奠基人.,