77-第七章习题课(概率统计).ppt

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参数估计,习题课,参数估计是统计推断的基本问题之一,.,如果我们确定了总体的未知参数,或者接受了未知参数的的某个取值,我们就完全掌控了所研究的总体性质已知其分布类型,(,包含未知参数,),通过样本对总体中的未知参数进行估计的问题就是本章的参数估计问题,.,分三块讲解,:,一是“主要内容归纳”，二是“例题分类解析”，三是“学习与研究方法”总结,.,内容简介：,在“例题分类解析”部分，讲解了：,1.,参数的矩估计法；,2.,估计量的评判标准；,3,.,参数的最大似然估计法；,4.,参数的区间估计；,5.,区间估计方法的综合问题举例,.,本章重点：,2.,置信区间的基本概念,;,1.,矩估计法和最大似然估计法,估计量的,三个评选标准,;,3.,正态总体均值和方差在给定置信水平条件下的置信区间的求法,;,4.,单侧置信区间的概念,.,本章难点,：,1.,最大似然估计法的应用,;,2.,正态总体均值和方差的单侧置信区间的,求法,.,一、主要内容归纳,1.,参数的点估计,表,7-1,参数点估计的概念,点估计问题,总体,X,的分布函数的形式已知,有一个或多个未知参数,借助其样本估计总体未知参数的值,.,这类问题称为参数的点估计问题,.,估计量与,估计值,设总体,X,的分布函数,F,(,x,;,),的形式已知,其中,是未知参数,(,待估参数,),X,1,X,2,X,n,是,X,的一个样本,x,1,x,2,x,n,是相应的样本值,.,我们构造一个适当统计量,矩估计法,用相应的样本的,l,阶矩作为总体的,l,阶矩的估计量,这种估计方法称为矩估计法,.,为,的一个估计量,.,用它的观察值,作为未知,参数,的,估计值,.,称,最大似然原理,在多个随机事件中,实际发生的事件应该是概率最大的事件,此即为极大似然原理,(,又称大概率原理,).,最大似然,估计法,已知样本值,x,1,x,2,x,n,在,取值的可能范围,内挑选使似然函数,L,(,x,1,x,2,x,n,;,),达到最大的参数值,把,作为未知参数,的估计值,.,即取,这样得到的,(,x,1,x,2,x,n,),称,为参数,的最大似然估计值,而相应的统计量,(,X,1,X,2,X,n,),称为参数,的最大似然估计量,.,使,L,(,我们一定要注意区分,“,估计量,”,与,“,估计值,”,这两个作用不同的概念,.,同时要注意区分大小写字母,.,讲评,2.,矩估计法与最大似然估计法,常用的构造估计量的具体步骤,矩估计法的具体步骤,:,(1),写出总体的,l,阶矩,:,设,这是包含,k,个未知参数,的方程组,.,(2),写出样本的,l,阶矩,:,(3),令,(4),解由,(3),确定的方程组,解出上面的方程组,得到,并记为,这种估计量称为,矩估计量,.,矩估计量的观察值称为,矩估计值,.,记为,(5),确定矩估计量和矩估计值：,以,作为,的估计量,.,最大似然估计法的基本步骤,(1),由总体分布写出样本的似然函数,L,(,).,若总体,X,属于离散型,其分布律,P,X,=,x,=,p,(,x,),的形式为已知,为待估参数,是,可,能取值的范围,.,设,X,1,X,2,X,n,是来自,X,的一个样本,则,X,1,X,2,X,n,的联合分布律为,又设,x,1,x,2,x,n,是相应于样本,X,1,X,2,X,n,的一组样本值,则事件,X,1,=,x,1,X,2,=,x,2,X,n,=,x,n,发生的概率,即样本的似然函数为,若总体,X,属于连续型,其概率密度,f,(,x,;,),的形式已知,为待估参数,是,可能取值的范围,.,设,X,1,X,2,X,n,是来自,X,的样本,x,1,x,2,x,n,是相应于样本,X,1,X,2,X,n,的一组样本值,.,则样本的似然函数为其联合概率密度,(2),建立似然方程,即令,(,这个方程也称为对数似然方程,);,.,.,(3),解上面的似然方程或对数似然方程即得,.,.,.,(1),似然函数中的未知参数可以有 多个,.,若未知参数有两个或两个以上,则在第二步中就改为求偏导,.,在第二步中我们要求的是,L,(,),的最大值点,而,ln,L,(,),的最大值点与,L,(,),的最大值点是相同的,.,讲评,(2),关于“最大似然估计”的方法,我们一 定要注意,:,本质是求,L,(,),的最大值点,.,所以,如果似然函数没有导数为零的点,应分析,L,(,),或,ln,L,(,),的单调性质,得到最大值点,.,3,估计量的评判标准,(1),无偏性,的数学期望,则,有,对于,若估计量,是,的无偏估计,量,.,(2),有效性,使上式中,设,与,都是,的,无偏估计量,若对于任意,有,且至少对于某一个,的不等号成立,.,则称,较,有效,.,则称,是,的,一致估计量,.,一致估计量又称为,相合估计量,.,即,若对于任意的,满足,:,对于任意,有,设,为参数,的估计量,当,时,依概率收敛于,则称,是,的一致估计量,.,若对于任意,(3),一致性,(,相合性,),对于任意,满足,是,则称,随机区间,的置信水平为,(0,0,为待估参数,X,1,X,2,X,n,为来自,X,的,一组样本,求,a,的最大似然估计量,.,分析,本题是在连续型总体的假设下,涉,及最大似然估计量的求法,.,解,设,x,1,x,2,x,n,是样本,X,1,X,2,X,n,的,观察值,则似然函数为,取自然对数得到,求导,得似然方程,a,的最大似然估计量为,讲评,本题旨在加强学生对最大似然估计理论的理解,训练最大似然估计量的求法,关键在于似然函数的写出和其最大值点的求法,.,解上述对数似然方程,可得,a,的极大似然估计,值为,扩展,(1),用最大似然估计法求待定参数的 最大似然估计量,要先写出样本值,(,见本题,),得到最大似然估计值,再改写大写字母,得到最大似然估计量,.,(2),在实际应用中,通常样本值,x,1,x,2,x,n,是一组具体的数值,这样得到具体的 最大似然估计值,.,比如,x,1,=0.1,x,2,=0,x,3,=0.5,x,4,=0.8,x,5,=0.2,请读者求解这个问题,.,注意解答时正确书写解题过程,.,(3),关于离散型总体应用最大似然估计理论参见下例题,.,X,0,1,2,3,P,例,5,设总体,X,的概率分布为,其中,是未知参数,利用样本值,的矩估计值,求,和最大似然估计值,.,分析,本题目是在离散型总体条件下,考查读者掌握矩估计法和最大似然估计法 的应用能,力,.,解,因为总体一阶矩,而样本一阶矩,令,即,的矩估计量,故,所以,的矩估计值,对于给定的样本值,似然函数为,取对数得,令,解得,讲评,矩估计法和最大似然估计法是两种求未知参数点估计的方法,这两种方法求出的估计量或估计值可能是不一样的,见本例解法及答案,.,因 不合题意,所以的最大似 然估计值为,.,扩展,(1),如果要求,“,求,的最大似然估计,量,”,读者,考虑一下,怎样书写解答过程,?,(2),条件,可以去掉,解题时自己,挖掘出来,想一想为什么,?,4.,参数的区间估计,例,6,某自动包装机包装食用糖,其重量服从正态分布,N,(,2,).,今随机抽查,12,袋,测得重量,(,单位,:,克,),分别为,:1001,1004,1003,1000,997,999,1004,1000,996,1002,998,999.,(1),求总体平均袋重,的矩估计值,;(2),求总体 方差,2,的矩估计值,;(3),求,的置信水平 为,0.95,的置信区间,;(4),求,2,的置信水平为,0.95,的置信区间,;(5),若已知,2,=8,求,的置信水平为,0.95,的置信区间,.,分析,本题涉及比较全面的参数估计方法,包括点估计和区间估计,考查矩估计和区间估计的理论,.,解,(1),总体平均袋重,的矩估计值为,(2),总体方差,2,的矩估计值为,(3),由于,2,未知,的置信水平为,0.95,的置信区间 应为,由样本得,s,=2.6328,n,=12,查表得,则所求,的置信水平为,0.95,的置信区间为,(4),由于,未知,2,的置信水平为,0.95,的 置信区间应为,查表得,所以,2,的置信水平为,0.95,的置信区间为,由样本得,n,=12,查表得,则,所求,的置信水平为,0.95,置信区间为,(5),由于假设总体方差已知,2,=8,所以,的置信水平为,0.95,的置信区间应为,讲评,本题旨在训练矩估计量和置信区 间的求法,本题比较综合地考查了根据 样本全面估计、了解总体性质的具体方法和步骤,体现了通过样本深入挖掘总体信息的整体思路,.,扩展,(1),总体方差的矩估计量,但是样本方差,对此,读者应明,确些什么问题,?,(2),何时应该大写字母,还是应该小写字母,读者能区分开吗,?,考查本题的整个 解析过程,.,例,7,在测量人对某事件的反应时间时,某专家估计的标准差为,0.05,秒,.,为了以,0.95,的置信度使他对平均反应时间的估计误差不超过,0.01,秒,问应取多大的样本容量,n,?,分析,本题涉及到区间估计问题,考查区间估计方法的灵活应用,应从区间估计基本方法入手,.,解,以,X,表示反应时间,则,=,E,(,X,),为平,均反应时间,.,由条件知,样本标准差,s,=0.05,以样本均值,估计,.,当,n,充分大时统计量,近似服从标准正,态分布,N,(0,1).,根据条件,要求样本容量,n,满足,即,查表得,得到,即取样本容量,n,为,68,即可满足要求,讲评,本题说明根据区间估计的思想和方法可以求出所需的样本容量,这在设计对总体的估计时很重要,尤其是在总体分布参数未知时根据中心极限定理,大样本下可将总体视为正态总体,.,分析置信区间,的结构,可以理解,:,如果给定了其中的某些数据,就可以求得剩余变量的取值，如本例求样本容量,n,.,如果样本容量,n,已知,我们可以计算总体标准差,或置信区间长度,.,扩展,n,2,=50,的样本,且算得,Y,N,(,2,36),从,=,82,中分别抽取容量为,n,1,=75,与,例,8,设两总体,与,独立,X,N,(,1,60),=76.,在置信水平,0.95,下,试求,的置信区间,.,本题是在两正态总体方差已知的条,件下,求均值差的置信区间,可直接套用公式,.,分析,解,由公式知,所求置信区间为,查表可得,代入相应的数据,可得,置信度为,0.95,的置信区间为,讲评,此题旨在考查两个正态总体均值 差的置信区间,关键在于置信区间的理 论和公式要理解并掌握,.,扩展,考查总体均值差,本质上是在,考查两个,总体之间的均值相差多少,.,本题的实,即,际意义,:,.,假设性能指标服从正,.,在置信水平,0.90,下,求,两正态总体方,差比的置信区间,.,态分布,例,9,甲、乙两工厂生产同一种产品,.,为比较两种产品的性能,从甲乙两厂产品中 分别抽取了,8,件和,9,件,测得其性能指标,X,得到两组数据,.,计算得到：,分析,本题是求两正态总体方差比的置 信区间,可直接利用公式,.,解,因为,公式得,的置信水平为,的置信区间为,，则由,已知,查表并计算得,故,的置信水平为,0.90,的置信区间为,扩展,考查总体方差比,本质上是在考查两个总体之间的方差是否可以认为相等,或者相差多少,.,以本题为例,可以认为两总体的方差相等吗,?,讲评,此题旨在考查两个正态总体方差,比的置信区间,关键在于置信区间的理论,和公式,要理解并掌握,.,5.,区间估计方法的综合问题举例,例,10,假设,0.50,1.25,0.80,2.00,是 来自总体,X,的简单随机样本值,.,已知,Y,=,ln,X,服从正态分布,N,(,1).,(1),求总体,X,的数学期望,E,(,X,)(,记,E,(,X,),为,b,),；,(2),求总体均值,的置信度为,0.95,的置信,区间；,(3),利用上述结果,求总体数学期望,b,的置,信度为,0.95,的置信区间,.,分析,本题目涉及正态分布随机变量函 数的数学期望以及对数学期望进行区 间估计的方法,再利用函数的单调性求出随机变量函数的置信区间,.,解,(1),Y,的概率密度为,于是有,(2),当置信度,1,=0.95,时,标准正态分布,对应于,=0.05,的上分位点等于,1.96.,故由,可得,参数,的置信度为,0.95,的置信区间为,令,于是,其中,表示总体,Y,的样本均值，且有,将其代入上式,得,的置信度为,0.95,的置信区间为,(0.98,0.98).,(3),由指数函数,e,x,的严格单调性，知,b,的置信度为,0.95,的置信区间为,(e,0.48,e,1.48,).,讲评,解题关键步骤在于利用,X,与,Y,的函数关系,.,该题目旨在考查学生处理函数关系的两个随机变量的置信区间的能力,.,扩展,本题目涉及知识点比较多,考查了读者的综合分析问题和解决问题的能力,.,(1),可以不给方差,2,=1,求解同样问题,;,(2),将,E,(,X,),改为,D,(,X,),再求解同样问题,.,(1),求总体,X,的分布函数,F,(,x,);,例,11,设总体,X,的概率密度为,其中,为未知参数,又设,是,X,的一组,样本,记,(2),求统计量,的分布函数,(3),如果用,作为,的估计量,讨论它是否,具,有无偏性,.,解,(1),总体,X,的分布函数,(2),统计量,的分布函数,的分布函数,需要求出,求统计量,分析,本题目考查由概率密度求分布函数,的,数学期望,才好讨论是否,具有无偏性,.,即,(3),的概率密度为,因为,所以,作为,的估计量不具有无偏性,.,讲评,该题目意在加深对分布函数概念和估计量的无偏性的理解,训练求最小随机变量的分布函数的方法和估计量的无偏性的方法,是一道综合性很强的题目,.,扩展,题设条件可以改变为,其余不变,.,请读者解之,.,四、习题布置,总习题,:,1,、,3,、,4,.,参考文献与联系方式,1 郑一,王玉敏,冯宝成.概率论与数理统计.大连理,工大学出版社，2015年8月.,2 郑一,戚云松,王玉敏.概率论与数理统计学习指,导书.大连理工大学出版社，2015年8月.,3 郑一,戚云松,陈倩华,陈健.,光盘,：,概率论与数理,统计教,案 作业与试卷,及,答案 数学实验视频,.大,连理工大学出版社，2015年8月.,4 王玉敏,郑一,林强.概率论与数理统计教学实验,教材.中国科学技术出版社，2007年7月.,联系方式,：zhengone,