矩阵的广义迹.doc

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本科学生毕业设计（论文）

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年 月 日
数 学 系 制

四川民族学院本科学生毕业设计（论文）

承 诺 书

本人承诺：在即将开始的毕业论文（设计）过程中，严格遵守学术道德规范和学校纪律，在学院和指导教师的安排与指导下，独立完成毕业论文（设计）工作，不弄虚作假，不请人代做毕业论文（设计）或抄袭别人的成果。按照“四川民族学院毕业论文（设计）规定”的要求，完成毕业论文（设计）的撰写、答辩、装订整理等工作。

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摘要
摘 要
本文首先讨论了矩阵迹的若干重要性质，包括：可加性、齐次性、转置不变性、交换不变性等，并且证明了矩阵迹的唯一性。然后，利用分块矩阵的思想及辗转相除法（带余除法），引入了一般矩阵的广义迹的概念，它是方阵迹的一个自然推广，研究了这种广义迹的一系列重要性质。最后，给出了具体实例说明了一般矩阵广义迹的概念与计算方法，并对各条性质给予了验证。

关键词: 矩阵；广义迹；分块矩阵；带余除法

III
ABSTRACT
ABSTRACT
In this paper, a series of important properties of the usual trace of matrices are given, including: additivity, homogeneousness, transpose-invariance, commut- ative invariance, and the uniqueness of the usual trace is also proved. Next, by using block-decomposition of an matrix and the division algorithm, the concept of generalized trace of a matrix is introduced．Some important properties of this generalized trace are given. Finally, some examples are given in order to illustrate the concept, computation and properties of the generalized trace.

Key words: matrix; generalized trace; block-matrix; division algorithm

目录
目 录
第1章 引言 1
第2章 预备知识 2
2.1 矩阵的迹及其性质 2
2.2 广义矩阵的分块 6
2.2.1 矩阵分块的原则 6
2.2.2 分块矩阵的运算 7
3.1 矩阵广义迹的定义 9
3.2 矩阵的广义迹的性质 10
3.3 矩阵的广义迹的求解 14
参考文献 17
附录 18
致 谢 19

第1章 引言
第1章 引言
矩阵迹的概念是一个古老而基础的概念，它是阶矩阵的一个重要的数量特征。在普通高校的高等代数教科书中，只是给出了一个行列的矩阵算子迹（方阵对角线元素之和，其中,为方阵对角线上的元素）的定义及其某些重要的性质，参见文献[1-3]，文献[10,11,13]。文献[4]得到了关于实矩阵迹不等式的几个充要条件，并把所得结果推广到了复矩阵情形。文献[5-7]中，研究了Hilbert空间上的算子迹，给出了算子迹的一系列重要性质。特别地，文献[5]给出了迹类算子的若干不等式，并证明了Hilbert空间中的Bellman不等式对及任二正的迹类算子与成立。同时还证明了当时,对任一迹类算子,不等式也成立。文献[6]将Jan R. Magnus关于矩阵迹的一个命题推广到Hilbert空间上算子迹的相应命题，由此得到一个证明算子迹的Hölder不等式的方法，同时得到关于算子迹的Hölder不等式的几个等价命题，并最后给出了算子迹的Minkowski不等式的一个证明。文献[8,9]中，定义了在C*-代数上的矩阵迹是一个满足以下条件的正线性映射：
, ,
给出了矩阵算子迹的一些基本性质并证明了：如果是可交换的C*-代数，则映射是上的矩阵迹当且仅当中存在一个元素（）使得
,
其中。本文的目的是将矩阵算子迹的概念推广到一般地矩阵上，给出一般矩阵广义算子迹的概念，并证明矩阵广义迹的一系列重要性质。
19
第2章 预备知识
第2章 预备知识
2.1 矩阵的迹及其性质
在本文中，假定为数域上全体矩阵之集（特别的为数域上全体阶矩阵之集），则关于矩阵的运算，为数域上向量空间，表示所有自然数之集，表示矩阵的转置矩阵。
定义2.1.1 设，则称的所有主对角线元素之和为的迹，记为，即。
矩阵迹有下列基本性质（其中,为阶矩阵）：
定理2.1.1 设, 则
(1) ,其中为的特征值;
(2) ;
(3) ，;
(4) ;
(5) ;
(6) 若和为两个相似的方阵，则，即相似矩阵有相同的迹。
证明 (1) 设
,
则按照文献[2]中的定理知：A的特征方程是。在

的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积。展开式中其余各项,至多包含个主对角线上的元素，它对的次数最多是。因此，特征多项式中含的次与次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现，它们是。在特征多项式中令，即得常数项：。因此，如果只写出特征多项式得前两项与常数项,就有
。
由根与系数的关系可知，的全体特征值的和。
(2) 设
，
假定，则
．
(3) 设
，
则有。
(4) 设
,
则
．
因此有。
(5) 设，
;,
假定，则
,
　 ．
由求和的交换性即可证得：

(6) 由于相似矩阵有相同的特征多项式，特征多项式相同则特征值相同，则矩阵的各个多项式的和（重根按重数记）相同。因此根据性质1)，矩阵的迹等于它的各个特征值的和，则这两个矩阵的迹相同（即）。证毕。
下面的定理将以上的性质(5)推广到非方阵的情况。
定理2.1.2 设和分别为，矩阵，则。
证明 令为矩阵，为矩阵，设
，
其中
，.
所以

从而 。
通过以上的讨论，我们可知若定义数域F上阶矩阵集合到F的一个迹映射，则具有以上的诸多性质。
定理2.1.3 那么若定义是一个映射，而且满足下列条件：
(1) 对任意的阶矩阵,,；
(2) 对任意的阶矩阵,和F中数,；
(3) 对任意的阶矩阵,,；
(4) ；
则对一切上的阶矩阵成立。
证明 设为阶基础矩阵，因为，所以由条件1)和条件4)知：
。
又由条件3)知：
，
所以 。
另一方面。若，，则，得,与条件4)矛盾。
若。则由上知
。
2.2 广义矩阵的分块
用（矩阵行与行之间的）横线及（列与列之间的）竖线将一个矩阵分成若干块，这样得到的矩阵就称为分块矩阵。一个矩阵可以有各种各样的分块方法，究竟怎样分比较好，要根据具体情况及具体需要而定。
2.2.1 矩阵分块的原则
① 必须使分块后的矩阵的运算可行。
② 必须使分块后的矩阵的运算较不分块简便。
例2.2.1 考虑矩阵
．
根据它自身的特点，我们可以将如虚线所示的那样分块，若记
,,，
则
。
矩阵除了主对角线上的块外，其余各块都是零矩阵，这种分块成对角形状的矩阵，称为分块对角阵。
设

为了进行运算，我们对的分块必须与的分块完全一致，即如图中虚线所示。使与的各对应子块都是同型的。
设，为使的运算可行，的分块必须参照的分块来进行，即的列分与的行分一致，而的列分，则可视的具体情况来定，不受的分法的影响。如下所示：
。
2.2.2 分块矩阵的运算
视分块矩阵中的每一子块为一个元素，则分块矩阵的运算法则与普通矩阵的运算法则完全相同。
分块矩阵的转置：
。
例2.2.2 设
, ，
将，适当分块,并求。
解 根据,的特点及乘法运算的要求，可将,如虚线所示分块。
记
,，
其中，，，则

，

,
。
所以
。

第3章 广义矩阵的迹
第3章 广义矩阵的迹
3.1 矩阵广义迹的定义
引理3.1.1（辗转相除法，欧几里得Euclid除法） 对，其中，反复作带余除法，有
, (1)
, (2)
, (3)
…………………
, (n)
． (n+1)
由于每进行一次带余除法，余数至少减少1，而是有限的，所以至多进行次带余除法，就可以得到一个余数为零的等式。
定义3.1.1 设，，，则由引理3.1.1知，对反复作带余除法可以得到一个余数为零的等式，定义矩阵的迹等于矩阵的所有分块方阵的迹的和。
由(1)式可把矩阵分成块，
;
记
。在矩阵的分块矩阵中，最多只有矩阵不是方阵。若为方阵，则矩阵的迹可以求得；若不是方阵，则由2)式可把矩阵分成块，记为
；
在矩阵的分块矩阵

中，最多只有矩阵不是方阵。若为方阵，则矩阵的迹可以求得；若不是，则由3)式可把矩阵分成块。如此继续，最终，可把矩阵分成块。根据引理3.1.1可知广义矩阵一定可以被分成个方阵()，其中若方阵只包含一个数字它的迹即为那个数。因此
． (3.1)
3.2 矩阵的广义迹的性质
对广义矩阵先研究比较特殊的，即矩阵的行数与列数满足的情形，在此条件下根据(3.1)式有。
定理3.2.1 , 。
证明 设
，，
则有矩阵。

为矩阵和矩阵的和。因此可得，又由于，则

。
由此我们得出了与方阵算子迹的基本性质(2)相同，即。
定理3.2.2 ,,。
证明 依据矩阵与数的数量乘积的定义：用数乘矩阵就是把矩阵的每个元素都乘上。因此可得

得证。
定理3.2.3 , 。
证明 依据矩阵的转置的定义：
设
,
所谓矩阵的转置就是指矩阵
。
根据我们对矩阵分块的方法，也可以把矩阵分成个方阵，同时可以得到

得证。
定理3.2.4 , 。
证明 令，为矩阵，则为矩阵， 设
，,
其中
, 。
所以
，
，
从而 。
定理3.2.5 , 。
证明 给定矩阵和矩阵，由矩阵加法的定义可以得知，

为矩阵和矩阵的和。对矩阵作与定义3.1.1相同的分块。又由于矩阵和矩阵有相同的分块，则矩阵，矩阵和矩阵也有相同的分块，且对应分块方阵上的对角线元素的位置没有改变，因此可得。又有

。
由此得证 。
定理3.2.6 ,,。
证明 由定义知

定理3.2.7 , 。
证明 依据矩阵的转置的定义：
设

则
。
根据对矩阵分块的方法，可以把矩阵分成个(,)方阵，同时可以得到

定理3.2.8 ， 。
证明 令，为矩阵，则为矩阵， 设
，，
其中
，。
所以
，
，
从而 。
3.3 矩阵的广义迹的求解
例3.3.1 考虑例2.2.2所给的矩阵,
, ；
(1) 求矩阵,的广义迹； (2) 验证各个定理。
解 (1) 根据,的特点及矩阵广义迹的求法，可得：

(2) 验证定理3.2.5

验证定理3.2.6 ,有

同理可证对矩阵有。
验证定理3.2.7

同理可证对矩阵有。
验证定理3.2.8
,
,
则有。

参考文献
参考文献
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附录

致谢
致 谢
在大学四年的学习过程中，我得到了数学系各位领导、老师及班级同学的热心帮助和支持，使我能够在以优异的成绩完成学业之余，自身综合能力也得到了极大限度的提高。在此谨向他们表示我最衷心的感谢！
感谢我的指导老师刘家彬副教授，他严谨细致、一丝不苟的作风是我工作、学习的榜样；他循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪。
感谢和我一起走过大学四年的好朋友们，是她们一路的陪伴与爱护，才有了我现在的成绩。她们是我成长的见证，有着值得我永远珍惜的友情。她们的待人处事，治学态度将会影响我的一生。
在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的老师、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对指导老师表示最诚挚的谢意和祝福！