关于局中人两个子集的部分对称博弈.pdf

1672-6634(202)04-0014-14文章编号DOI10.1972872-6634.2022100012Aug.20232023年8 月Journal of Liaocheng University(Nat.Sci.)第4期第3 6 卷Vol.36No.4聊城大学学报（自然科学版）关于局中人两个子集的部分对称博奔朱建栋,王蕾（南京师范大学数学科学学院，江苏南京2 10 0 2 3）摘要研究了关于局中人两个子集的部分对称博奔。通过基于相邻对换的矩阵半张量积方法，首先得到了关于局中人两个子集的部分对称博奔的等价条件。利用该等价条件，计算出了该部分对称博奔子空间的维数并且构造出了它的一组基，进而导出了关于该部分对称博奔的方程数目最少的判别方程。关键词部分对称博奔；相邻对换；矩阵半张量积中图分类号0 2 2 5文献标识码A开放科学（资源服务）标识码（OSID）On Partially Symmetric Games with Respect toTwo Subsets of PlayersZHU Jiandong,WANG Lei(School of Mathematical Sciences,Nanjing Normal University,Nanjing 210023,China)Abstract This paper investigates partially symmetric games with respect to two subsets of players.Usingthe semi-tensor product method based on adjacent transpositions,the equivalent conditions of partiallysymmetric games with respect to two subsets of players are obtained.According to the obtained equivalentconditions,the dimension of the partially symmetric game subspace with respect to two subsets of playersis calculated,and a basis of the partially symmetric game subspace is constructed.Furthermore,the dis-criminant equations with the minimum number for the partially symmetric game with respect to two sub-sets of players are derived.Key wordspartially symmetric game;adjacent transposition;semi-tensor product of matrices1引言博奔论是研究理性个体（称为局中人)之间策略互动的数学模型。在约翰冯诺伊曼证明了博奔论的基本原理之后，现代博奔论被正式建立起来1.2 1。目前，博奔论已经被广泛地应用于许多领域，比如：经济学、生物学、金融学、计算机科学等。对称博奔的概念最早是由约翰冯诺伊曼提出的2 。对称博奔是一种特殊的博奔类型，其局中人有相同的策略集合以及公平的收益函数。例如：“囚徒困境”“石头-剪刀-布”都是典型的对称博奔。近年来，对称博奔的研究得到了广泛关注。例如，文3通过对称群的线性表示，给出了对称博奔的线性表示以及等价条件，并且研究了对称博奔的内部结构。文4和文5都是通过引入策略。收稿日期：2 0 2 2-10-2 2基金项目：国家自然科学基金项目（6 16 7 30 12）资助通讯作者：朱建栋，男，汉，博士，教授，博士研究生导师，研究方向：控制论和博奔论，E-mail：z h u j i a n d o n g n j n u.e d u.c n。15朱建栋，等：关子集的部分对称博奔众第4期多重向量的概念构造出对称博奔子空间的基。文6 定义了三种不同的对称博奔，并且给出了这三种博奔的等价条件或者必要条件。此外，文7 中证明了每一个对称的二策略博奔都有一个纯策略均衡点，文8 中证明了所有玩家的收益函数为凹出数的有限对称博奔都存在一个纯策略均衡。因此，一个博奔的对称性对于其纳什均衡的存在性是非常重要的。前面提到的对称博奔的对称性是关于所有的局中人而言的，也即完全对称博奔。如果一个博奔的对称性是关于一部分的局中人而言的，那么可称之为部分对称博奔9。在现实生活中，公平性往往是表现在部分群体内部，不同群体之间常常展现不同层次的公平性。所以，相对于完全对称博奔，部分对称博奔是更常见的一类博奔。目前，关于部分对称博奔的研究成果非常少。据我们所知，只有文9进行了部分对称博奔的相关研究并且证明了部分对称博奔可保证部分对称均衡点的存在。如何判断一个博奔是否是部分对称博奔是研究部分对称博奔的首要问题。因此，本文将主要研究关于局中人的两个子集的部分对称博奔的判别。2001年，中国科学院程代展研究员针对控制理论中的经典Morgen问题提出了一种强大的数学工具一矩阵半张量积10。目前，矩阵半张量积已被广泛应用于动力系统，布尔网络以及博奔论等多个领域。例如，通过矩阵半张量积的方法，有限博奔可被表示为线性代数的形式11，使得关于势博奔12，网络演化博奔13，对称博奔3.17 和博奔空间分解4等许多问题得到解决。近期，矩阵半张量积又被应用到了一个新的领域一信息物理融合系统18。利用矩阵半张量积，入侵估计器的可观测动态演化方程可被转化为代数形式，使得抽象的不透明性验证问题就转化成了结构矩阵计算的问题。此外，还可通过代数条件来验证带有不可观事件的信息物理融合系统的状态不透明性。因此，矩阵半张量积的引人为解决信息物理融合系统的相关问题提供了一个新思路，使得这些问题得到了理论上的解决。本文将采用基于相邻对换的矩阵半张量积方法来研究关于局中人两个子集的部分对称博奔。研究目标是得到关于局中人两个子集的部分对称博奔的判别方程，减小验证过程的计算复杂度。相邻对换的引人是本文研究方法的一个优势，使得这一问题得以顺利解决。首先给出关于局中人两个子集的部分对称博奔的等价条件。根据所得等价条件，计算出关于局中人两个子集的部分对称博奔子空间的维数并且构造出它的一组基。进而，导出了关于局中人两个子集的部分对称博奔的方程数目最少的判别方程。2预备知识本节将给出一些符号说明以及关于矩阵半张量积和博奔的一些基本概念和性质：D=(0，1)：逻辑变量的值的集合；：单位矩阵I的第i列；：=（8：i=1,2，,k）；,i 1i,：=8,2 8；M m所有mXn的矩阵的集合；Lmxn：=LEM mx|C o l(L）二）；X：矩阵的左半张量积；1n：元素全为1的n维列向量；0 mxn：元素全为0 的mXn的矩阵；S：n 阶对称群。定义110 设AEMmx，BEM p x g，=lcm(n，p）为n与p的最小公倍数。那么，A与B的半张量积定义为AB=(AI)(BI），(1)式中?是Kronecker积。当n=p时，矩阵半张量积与矩阵普通乘积一致。因此，矩阵半张量积是矩阵普通乘积的推广。我们可以直接将A?B写作AB。定义2 10 换位矩阵Wml=（w l）是一个mnmn 的矩阵，定义为：它的行和列采用双索引标注。其列用（I,J）=（1l,12,.,ln,.,m l,m 2,m n）标注，其行用（i,j）=（11,2 1,.,m l,.,ln,2 n,mn）标注，那么，它在位置（ij），（IJ）处的值为(1,I=i且J=j,1o，其他，则2是聊城大学学学报（自然科学版）16当m=n时，将Wnnl简记为Wnl。例如，设m=2，n=3，那么换位矩阵W2.3可可表示为(11)(12)(13)(21)(22)(23)(11)100O0(21)O0100(12)Wc2.31=1000。(22)000010001000(13)0001(23)引理 1 10 换位矩阵有如下性质：Wm.n=Wrm.nJ=Wrn.m;Wepg.r=(Wp.r)?I.)IWWmp（A B）W c g m=B?A，其中AEMmx，BEM p x；设x和x是mn维的列向量，并且它们的每个元素分别采用双索引Id（i，i 2;m,n）和Id（i 2，i i;n，m）标注。因此，x=Wmn。此外，对任意m维向量x和n维向量y，有yx=Wmnxy。根据引理1，我们很容易得到（IkCWE)(WckI）I kW)=(WIIkWCk)(WCkI(2)X定义314一个有限博奔G=（N,S,C）由三个部分组成，其中（1）N=(1,2，n）是n个局中人的集合；（2）S=SS，XS，是局势的集合，其中S=（s i，s 2，s）是第i个局中人的策略集，它表示第i个局中人有k；个策略可供选择；（3）C=（c 1，C 2，,cn），其中ci:SR是第i个局中人的收益函数。将上述所有博奔构成的集合记为Gk,，。如果对任意的i=1,2,n，|S；=k，可将博奔集合简记为Gn;。矩阵半张量积是研究博奔的一种有效工具。给定一个博奔GEGn，通过矩阵半张量积的方法，每个策略；都可以表示成一个向量x；E，并且每个局中人的收益函数c；可以表示为nc(x1,x2,.,xn)=Vsxxj,i=1,2,n,(3)=1式中x，E”被称为局势的矩阵半张量积形式，V被称为收益函数c：的结构向量。=1定义49 给定博奔GEGn次以及置换。ES，。如果c(xi,.,x,)=Ca(i)(x。-l(),.,x l(n),i=l,2,.,n,(4)那么称G是关于。对称的。定义59给定博奔GEGnk。如果对任意的置换ES,G都是关于。对称的，那么我们称G是对称博奔。3于局中人两个子集的部分对称博奔定义6考虑有限博奔GEGn；。设Ni，N是N的两个不相交的局中人子集。如果对任意满足N2;o(1)=l,VIEN(Ni UN2)（5)o(i)ENi,ViENi;o(j)EN2,VjEN2;的置换ES，G 都关于对称,则称G是关于（N，N）的部分对称博奔。引理215.16n阶对称群S，可由相邻对换生成，即可由相邻对换生成，即S,=,(6)下面我们将相邻对换（i，i 十1）记为i引理3设N=(1,2,n),N=(1,2,.,p),N2=(p+1,p+2,q),St-=(ce S,I VieNi,o(i)eNi;Vje N2,o(j)eN2;VIeni(Ni Un2),o(l)=l),(7)n证明1W式中T即得（8）。17朱建栋，等：关十后入网个子集的部分对称博奔第4期S.912,.,p-1p+1p+2，,q-1(8)证明因为和N是互不相交的,由引理2 得，S。对任意的lt-1,相邻对换满足,（i）N，iNi(j)=j，N。同样，对任意的+1tq-1,相邻对换满足(i）N2,iN2（j)=j,N N2。因此,对任意的ae,有o(i)e Ni,Vie Nt;o(j)e N2,VjeN2;(1)=l,Vl E N(N,U N2),故。E S。从而,S。因此,Sp912,.,p-1p+1p+2,.,g-172注1引理3的另一个证明思路是分别计算如证明思路是分别计算如下各个集合，然后再求交集(eS,I Vie Ni,o(i)e N)=i,p-p+,-I,(oe S,.I Vj eN2.o(j)e N2)=,(ES,I VIEN(N,UN2),(I)=1，引理417 考虑有限博奔GEGn。对任意的1,2 ES,，如果G关于1和2都是对称的，那么G关于6 2 1也是对称的。定理1考虑有限博奔GGn;。设N=(1,2,），N=（十1,+2,q），则G是关于（N1，N2）的部分对称博奔当且仅当V.)T.,ViEN,r E(l,2,p-l,p+l,p+2,q-l),（9)必要性。对任意的rE（1,2，一1,十1,十2，,q一1，相邻对换，都满足（5)式，故ci(x1x2,.,x,)=C,()(x,(),X,(2),.,X,(n),i=1,2,.,n。(10)由（3）式可得，C,(i)(x,(1),x,(2),x,(n)VIe,(i)X,(1)Xp,(2)X,(n)=Vs,()(x1.xr-1)(xr+1 x,)(xr+2*x,)(11)Vs,()(x1*.xr-1)(W)x,Xr+1)(xr+2 x,)Vi,iT,XiXno因此,V=V,T,ViEN,rE(1,2,p-1,p+1,p+2,q-1)。充分性。由（3）式和（11)式可得，对任意的iEN,rE（1,2,p一1,p+1,p+2,q一1)，c;(x1,x2,x,）=C p,()(x,1),x,(2)xp,(n)。根据引理3和引理4得,对任意的。E Ss,有 c;(x1,.,x,）=C a()（x。l()，,x。1(n)），Vi EN。因此，G是关于（Ni,N2）的部分对称博奔。定理2 考虑有限博奔GGn。设N=(1,2,），N=（+1,+2，,q）,则G是关于（N1，N2）的部分对称博奔当且仅当UU2VT=O,(12)B式中TIkT,Hp+1IkTIk2+2UU2(13)Ik一TITBB力918聊城大学学报（自然科学版）IA-T1I-TAI-TaIk-T2I-T2I-Ta2Tp-2IA-T,I-Tn“p-1力一1B=,B。,B(14)I-T,q+1I-T,I-T,P+1力+1+1I-T,-TP+2力+2Ik一TnVG=VV.Ve.T.W(15)77Vc=VIV2.V,T,=Ir-1WCLkn一r-1。(15)证明因为,（r）=r 十1，（r 十1）=r以及对任意的ir，r 十1,有（i）=i。故条件（9)可以表述为V,=V+T,VrE(1,2,.,p-1,p+1,p+2,.,q-1);(16)V=VT,ViEN,rE(1,2,.,p-l,p+l,p+2,q-1)且ri-l,i。上述方程可表示成R1R2(Vc)T=0,(17)InBn式中ITIkT2IR=B1,R2=Bp+1(18)B2B力+2B3Bp+3BBI-TAIk-T m2I-T3I-TrI-Tr4IIT,-Tp-1-Tp-1Pr+1nB1=,B2,B,(3rp-2)，I一T+1I-T,p+1I-T-1I-Tpp+2-Tp+2I-T,+1In19朱建栋，等：关十后中人两个子集的部分对称博奔第4期I-TM1I-TuI-TuI-T2Ik-T2Ik-T2T,TBp-1,Bp+1,B p+2 I一TIT,Ik一Tp+1P+2P+3I-Tpp+3I一TP+4I-TI-T2I-TI-T2TZnI一Tp+1B,=(p+3sq-2),B-1=T+p+1I-TI-Trp+25-2IT,Ms+17汇对方程（17）的系数矩阵进行初等行变换，可得到方程（17）的等价方程RR2(Vc)T=O,(19)B式中一T，1T7RIkTI2+2R=R2=(20)1T1TBPB9BpBB,Tu,T21B1T0B2Tu。TTu23B2IkB,=-0Bp-2TBBp-IT,p-120聊城大学学报（自然科学版）Bp+1T0Bp-IT,TP+1BB,+2T,TTB,=一P+2P+2p+30BIB。TF1=Iq-3（TT=Ig-4（TT),V2rp-1,Fi=Ig-3（TTT,),F,=I-4（TTT,),V2rp-1,X(21)F p+1=Ig-3（TT),F,=Iq-4（TTT),Vp+2sq-1。+2力-1+1对B，B。进行初等行变换，得F,BTu,Ta.Tpp.T力一1+2F2B2T,Ta.TpF p+2 B p+2 p-TT+3一1B=,B。(22)Fp-2 Bp-2 Tp-2F。-2 Ba 2 T,TF,-I B,-I TF1 Be1T,9-1由交换矩阵W的性质得,对任意的1i，j的性质得,对任意的1 i,in一l,且i十2TT,=(Ii-1?W?I-i-l)(Ikj-1WC?I-i-1)=Iki-1(W12W一j-1=(Ik-1WIk-j-1)(Ik;-1W?I-i-1)=T,TA对任意的1in一2，T,T+T,=(Iki-1X?I-i-1)(Iki?I-i-2)(Iki-1?WIk-i-1)=Ik-1（W?I)?W）(W?I)I k -j-iX一1X（IWEK)(WE I）（W）?Ik-j-1XWIk-i-2)(Iki-1W?I-i-1)(IkWCKIn-1-2)=T T,T,因此，对任意的lir一2 或s十1in，TTTHTTTT.T1+1r+11TuTuT=T，对任意的r+1is-1，从+1TTTTT+1TTT.T,T,T.T)T-.Pr+1u-21TTTuT,TS-1TTTTTT.T一+12+1TTV1ir-2或s+1in,T.V1ir-2或s+1in,故 T.T T,T,T,Tr.T(23)ITr-Vr+1is-1。因此，方程（19）等价于方程（12）。给定两个不相交的局中人子集N1，N2，将关于（N1，N2）的部分对称博奔子空间记为S(2）。如何确定S(2）的维数和基是我们将要解决的问题。由方程（12)可知，解决这个问题的关键是求解如下三个齐次线性方程组B0.BY=0.B一0.其中线性方程组B,x=0,B,x=0,B+1x=0，其中21朱建栋，等：关子集的部分对称博奔第4期I-TM1Ik-WC9-2I-T2I一IkXWq一3TIk9-Ikp-3W门力+B,=(24)Ikn一TWHp+19一力一2I一TIk9-Ik力+1WX2Ik9-I9-2I一TIk-Wk1Xq一2I-T2I-I?WX:9-3THp-1Ik9-Ikp-2B(25)IknTIk-IkpXWk9-p-2p+1一TIk-Ikp+1XWK9-3+2I9I9-3WI-TuIk-W92I-T,2Ik9一IWk9-3Ik9-Ikp-2XWBQ+1(26)IIk9-IkpXW9-2P+1b一TIk9-Ikb+1WIk9-p-3X力+2I9-2一XIk9-WI9一WI9-WaJIk9-IkWCkl019-3I9一IkW1i9-3Ik9-IkW1;9-3I9Ikp-31p-2A：,B=(27)Ik9-IkpIk9p-2Ik9-IkpWI9p-2Ik4-IkpWKXI92I9-Ip+1XWIk9-Ikp+1CWk9p-3I9-1Ip+1Wk9p3Ik9-Ik92I;9-3W那么B=AI-1,B.=BIk-1,Ba+1=C(28)理5线性方程组Cx=0的解空间的维数为C+引理5线性方程组Cx=0的解空间的维数为Ch+p-1C-p-1。对每个可重复的组合C1C2，（1C 1c2csk,令P为c1C2c，的所有可重复的排列的集合。定义k维的向量1(29)2C禾记人，式口组基。0的解空间Xp.g的-k，1是线性方程组CxP+1力+2其中聊城大学学学报（自然科学版）22(1,lil2lpEP且 lp+1lp+2l.EP则(m12|1cc2c其它证明根据换位矩阵的性质，向量x是Cx=0的解当且仅当(i2.),Vr=1,2,.,p-1,+1,q-1,Vl,l2,.,l,k。(30)显然，（30）等价于a(lal),VtES,Vlli,l2,.,l,k。(31)因此，Cx=0的所有的自由变量为2g,1lil2.,1p+p+2.l。(32)自由变量的总个数为Ch+-1C1-p-1。因此，线性方程组Cx=0的解空间的维数为Ch+p-1C-p-1，并且12c1c1c2ck,1cp+1cp+2ck】是齐次线性方程组Cx=0的解空间的一组基。由引理5，可以直接得到如下两个引理。引理6线性方程组Ax=0的解空间的维数为kC-2C-。定义维的向量1(33)1,li 2 p-1 E Pe2-11,lp=cp,lp+1lp+2lgEP则(512/1cic20，其它，cp-1,lc，1p+1p+2 c）是线性方程组A=0的解空间Yp的组基。引理7线性方程组Bx=0的解空间的维数为kC+p-1C-一2。定义k维的向量(34)1,i/,E,p+.E P.p+2cq-1，g=则(512 caI1C1c2式中2/2 l0，其它，p，1c p+1c p+2 c-11ck）是线性方程组Bx=0的解空间Zp的一组基1w为以子空间W的一组基作为列所构成的矩阵。引理8对任意满足1cc2c,1cp+1cp+2c并且c1=C2=和C+1不同时成立的排列c1C2c。，我们定义PP一1个向量力+2=x(l1l2lpEP,lp+1lp+2.l,E P,lil2l。C 1c 2 c）,其中1,tit2.tg=CiC2.Ca1t2g=-1,tit2ta=lil.lg,0,其它。那么所有构成了Xp的正交补空间X。的一组基。此外，线性系统Cx=0等价于Mx。=0。证明根据等价条件(31)以及自由变量(32)，m12c。|1c l c 2 ck,1cp+1cp+2ck）是X的一组基。根据的构造方法，可直接得到每个都正交于X。此外，。的总数为P（PI-1)=k-Ch+p-1Cff-p-1=k-dim(Xp.g)。-211C因此，所有的格构成了 Xt。的一组基。由引理8，可以直接得到如下两个引理。引理9对任意满足1c2c-1,1,1p+1p+2c并且W23朱建栋，等：关于局中人两个子集的部分对称博奔第4期C1=C=Cp-1 和 Cp+1=Cp+2=C。不同时成立的排列c1C2。，定义|P。PCp+1p+2c,/1个向量gg=y(2,1 E P.1C2-1,lp=cp,lp+1lp+2.l,E P2，l 1l 2 l。c 1c 2 c。）,其中l,tit2t.=Cic2C-l,tit2t=lil2.lg,0，其它，那么所有的=构成了Yp.。的正交补空间Yt。的一组基。此外，线性系统Ax=0等价于M。=0。引理10 对任意满足1cc2c,1cp+1cp+2c-1k,1c。并且C1=C=c,和 p=p+2=C-不同时成立的排列c1C2C。，定义|P.P“p+1 p+21/1个向量lg=(l2lpEP。,lp+1p+2.lg-1 E P，l。=c g，l i l 2.l。C i c 2 c a）,其中(1,tit2.ta=CiC2CaZtit2t-l,tit2t=lil2l.0，其它，那么所有的格构成了Zp的正交补空间Z+。的一组基。此外,线性系统Bx=0等价于MZt。=0。定理3考虑有限博奔GEGn。设N=(1,2,），N2=+1,+2,q）。则S）的维数为 k-g+1C+-2C1-p-1+k-+1C+p-1C1+-2+(n-q)k-Ch+p-1C-p-1。数为 k-+1Cp-2C-p-1+k-+1Ch+p-1C-=-2+(n-q)k-Ch+p-1C2-p-1。如下nkX（k -q+1CCP（n-g)kn-9Cp+p-1C1-1）矩阵如下 nkX(k-g+1C-2C-p-1(WaI)(My,?I)Pq(I?Wea?I)(MyI)(I2?Wex?I)(M,?Iq(Ikp2?WI)（MP4My(Wc-?Ip)(MX?ICIp)(MyIknPA(IkPP?Wk-kI）(Mz（35）q(Ip+?Wkp-2?I)(MzPq(Ip+2?WL3?Ir)(Mz,?I)Pq(I92WkCI)(MzPqMz,M7的列构成了S2的一组基。此外，关于（Ni,N2）的部分对称博奔的方程数目最少的判别方程为W2Vt=0,(36)MPqR式中TTp一Ik12Wi=,W2=(37)1MMznP.聊城大学学丝报（自然科学版）24证明根据定理2 的（12）式，S(NN2）白的一组基可以通过解如下三个方程B,x=0,(38)B,x=0,(39)Ba+1x=0,(40)得到。由引理5以及（2 4)式可得，方程（40）的解空间的维数为k-C+p-1C-。-1。同理可得，方程（38）和（39)的解空间的维数分别为k-+C行C-1，k -+1C h+-1C+-P-2。因此，由（12)式可得，S2）的维数为k-+1C+-2C-p-1+k-+C+-1C1-2+（n q)k -C t+-1C-p-1。此外，矩阵TTT(MyY力TTT(M2H3YP-1P，qTuTT(MY34P-1PqT(MPMYPqTT(M(41)P.qTTT(MP+2“p+3PqTT(Mp+3Hp+4Pq(MPqMz，9的列是S(好2）的一组基。根据引理1,知道（41)即是（35）。再由引理8-10，得（36)等价于（12）。由于（36）的系数矩阵是行满秩的，故（36)式是关于（N1，N2）的部分对称博奔的方程数目最少的判别方程。注1在定义6 中，N1，N是N的任意两个互不相交的子集。然而，在定理2 和定理3中，我们不失一般性地假设N=(1,2,），N2=(+1,+2,q）。事实上，设N,=(l,2,l,），N2=(Lp+1,p+2,la），N(N，U Nz）=(t 1,t 2,tu-），我们可以构造一个置换矩阵H=8,lil2.latit2.tn-。那么，ViV?.VH=VcH。(42)令c(1,2,n)=Viia2=Va,ir。根据矩阵半张量积的性质，存在置换矩阵Q使得aia2a=Qxai。因此,V=VQ。QT(Vi)TQT(V)THHT=HT(I,?QT)(V)T。1(43)QT(V)T。VT000(2222)10000(2221)000000000(2212)00000000000000(2211)0000000000(2122)00O000(2121)000000(2112)0000000(2111),Mx2Mx22.4(47)00000(1222)0000000000(1221)00000000(1212)0000000000(1211)0000000(1122)O000000(1121)000000000(1112)00000000000(1111)1W81324,(46)矩阵朱建栋，等：关子集的部分对称博奔第4期25因此，用HT（I,Q T）(Vc）T 替换定理2 和定理3中的（Vc）T 即可得到关于（N,N，）的部分对称博奔的结论。将（35)式的矩阵记为矩阵D，那么（I，?Q)H D 的列构成S）的的一组基。4例子例子考虑关于（N1，N2）的部分对称博奔子空间S(2iN2），其中N,=（1,2），N=（3,4）。根据定理3，(W2)I:)(My,XMy,I24（I4WI2）（M22.4MZ2.4(44)Mx2.44的列为SC2iN2的一组基。此外，方程组132一W2I：MY122.4MT,Y2.4132(Vc)T=0(45)MZ122.4MX2.4是关于（N1，N2）的部分对称博奔的方程数目最少的判别方程，其中26聊城大学学学报（自然科学版）100 000 0 000000000(1111)0100000000001000(1112)0100 0000O0001000(1121)0 010 000000000000(1122)001000O000000(1211)00001000O0 0O0100(1212)00001000 000 00一100(1221)0000 010 000 000000(1222)My,MYt.(48)2.402.4000 0 010 00000000(2111)0O00000 10OO00O10(2112)0000000 100 0 000-10(2121)000 000 0010000000(2122)000 00000 01O00000(2211)00000000 00100001(2212)00000 0000010000一1(2221)LO0 00000000 010000(2222)000000 00000000(1111)0100000 0 000 00000(1112)0010 00000000000(1121)0001000000000000(1122)000010000001000(1211)00000100 00000100(1212)00 0000 10O0 000010(1221)O000 000100 000001(1222)Mz,Mz.(49)2.4.4000100100(2111)O000 000000001 00O000100(2112)000000100 000010(2121)一0000 0001O00 00001(2122)0000000010000000(2211)0000 0000 01000000(2212)00000000O0100000(2221)LO0 0000000 0010000(2222)假设N,=(2,3)，N=(1,5）。令H=8,23154，Q=W e 4.2（I。?W r 2）。矩阵(W?I：)(MYI2）2,4M(W?I)(MyI2）MY22.4(Is CQ)H(I4Wc2?I2)(Mz(50)2.4(Mz2.4(Mx22,4（责任编辑：刘庆松）朱建栋，等：关子集的部分对称博奔后人网两个27第4期的列为S(N2）白的一组基。32W2IMY2.4132I4HT(Is?Q)(Vc)T=0(51)Mz122.4MXX.4是关于（N1,N,）的部分对称博奔的方程数目最少的判别方程。5结语针对关于局中人两个子集的部分对称博奔，利用基于相邻对换的矩阵半张量积的方法，得到了该部分对称博奔的等价条件以及方程数目最小的判别方程，求出了关于局中人两个子集的部分对称博奔子空间的维数和基。今后将对一般性的部分对称博奔及相关有限博奔空间分解问题展开研究。参考文献1KUHN H W,TUCKER A W.John von Neumanns work in the theory of games and mathematical economics JJ.Bulletin of the Amer-ican Mathematical Society,1958,64(3):100-122.2NEUMANN J V.Zur theorie der gesellschaftsspiele JJ.Mathematische Annalen,1928,100(1):295-320.3CHENG D Z,LIU T.Linear representation of symmetric games JJ.IET Control Theory&Applications,2017,11(18):3278-3287.4LIC X,HE F H,LIU T,et al.Symmetry-based decomposition of finite games JJ.Science China Information Sciences,2019,62(1):1-13.5HAO Y Q,CHENG D Z.On skew-symmetric games JJ.Journal of The Franklin Institute-engineering and 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