1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,模糊,/,随机时滞系统稳定性分析与设计的研究,*,第二章 一阶微分方程的初等解法,2.4,一阶隐方程与参数表示,2.3,恰当方程与积分因子,2.2,线性方程与常数变易法,2.1,变量分离方程与变量变换,1,2024/12/4 周三,2.2,线性方程与常数变易法,一、一阶线性方程,二、贝努里方程,2,2024/12/4 周三,一、一
2、阶线性方程,形如,的方程称为一阶,线性方程。,当 时，上面方程可变为,(2.1),其中函数,P,(,x,),、,Q,(,x,),连续。,若,，系统,(2.1),变为,(2.2),3,2024/12/4 周三,我们称系统,(2.1),为一阶非齐次线性方程，称系统,(2.2),是一,阶齐次线性方程。,其中,c,为任意常数。为了求解方程,(2.1),的解，我们可以设想将方,程,(2.2),的通解中的任意常数,c,看成是,x,的函数，它作为待定函数，,来试图找出方程,(2.1),的,JIE7,，即令,由于系统,(2.2),是可分离变量方程，容易求的通解为,4,2024/12/4 周三,代入系统,(2.
3、1),，有,则有,两边积分，可得,于是可知系统,(2.1),的通解是,5,2024/12/4 周三,求解一阶线性方程的小结：,常数变易法，有,6,2024/12/4 周三,例,1,求如下微分方程的通解。,解：由于,容易求得对应的齐次方程的通解为,利用常数变易法，有,代入方程可得,7,2024/12/4 周三,经过整理，有,两边积分，得,于是所求方程的通解为,8,2024/12/4 周三,例,2,求如下微分方程的通解。,解,:,由于方程不是线性的方程，我们交换自变量和函数，有,这是一阶线性方程，其对应的齐次方程为,分离变量，得,9,2024/12/4 周三,代入方程可得,所求方程的通解是,利用常
4、数变易法，有,10,2024/12/4 周三,例,3,求如下微分方程的通解。,解：方程变形为,作变换，令,方程变为,11,2024/12/4 周三,代入方程可得,利用常数变易法，有,所求方程的通解是,的通解，容易得到解为,先求对应齐次方程,12,2024/12/4 周三,上连续，且 存在，并,例,4,设,(,t,),在,满足关系式,(,t+s,),=,(,t,),(,s,),，,求,(,t,),。,解：因为,(0),=,(0+0),=,(0),(0)=,2,(0),故有,(0),=,0,或,(0)=1,。,(1),若,(0)=1,时，有,13,2024/12/4 周三,容易求解为,由,(0),
5、=,1,可求得,c=,1,，于是有,（,2,）,若,(0),=,0,时，有,因此在,(1),中，取,c=,0,即得到这个解。,14,2024/12/4 周三,例,5,求如下微分方程的解,解：,整理，可得,先求齐次方程,的解，分离变量，有,15,2024/12/4 周三,两边积分，有,利用常数变易法，有,(1),当,时，有,16,2024/12/4 周三,(2),当,时，有,综合可得,17,2024/12/4 周三,二、贝努里方程,形如,的方程,称为贝努里方程。,其贝努里方程的求解方法为,故令,z=y,1,-n,，则有,这是一阶线性方程。此外，当,n,0,时，还有解,y=,0,。,18,2024
6、/12/4 周三,例,6,求如下微分方程的通解。,解：令,z=y,1,，则方程变为,容易求得对应的齐次方程的通解为,z=c x,。,利用常数变易法，有,z=c,(,x,),x,，代如方程有,19,2024/12/4 周三,于是有,故所求微分方程的通解是,20,2024/12/4 周三,例,7,求如下微分方程的解,解：整理，可得,令 ，有,21,2024/12/4 周三,再令 ，则有,先求对应齐次方程,的解，分离变量，容易求得,利用常数变易法，有,22,2024/12/4 周三,所求方程的通解为,或,23,2024/12/4 周三,作业：第,3739,页,1:(3),、,(7),、,(10),、,(15),、,(16),24,2024/12/4 周三,
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