线性代数临考复习讲义.doc

目 录

第一章
行列式 """"""""""""""""""""""""
3
第二章
矩 阵 """"""""""""""""""""""""
24
第三章
n 维向量和线性方程组 """""""""""""""""
41
第四章
向量空间 """""""""""""""""""""""
73
第五章
特征值、特征向量，实对称阵的对角化 """"""""""
82
第六章
二次型 """"""""""""""""""""""""
93

第一章 行列式

一、基本要求:

1.理解 n 阶行列式的概念

2.掌握行列式的性质,会应用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理熟练计算 3、4 阶行列式,会计算较简单的 n 阶行列式。

二、基本概念与要点揭示
1、行列式概念 (i) n 阶行列式

a11
D = a21
a12
a22
" a1n
" a2 n

" " " "

an1
an 2
" ann

等于 n!项的代数和,每项都是取自不同行不同列的 n 个元素的乘积; a1 p , a2 p
1 2
,", an p ,这
n

里 p1 , p2 ,", pn 是 1,2,⋯,n 的一个 n 元排列,当 p1 p2 " pn 为偶排列时,该项带正号;当
p1 p2 " pn 为奇排列时,该项带负号,记为

1 p1
D = ∑ (−1)τ ( p1 p2 " pn ) a
a2 p2
" anp n

p1 p2 " pn
其中 ∑ 表示对 1,2, ⋯,n 的 n!个全排列求和,上式右端称为 n 阶行列式的展开式。
p1 p2 " pn

(ii) 转置行列式:若记

a11
D = a21
a12
a22
" a1n
" a2 n


, D T
a11
= a12
a21
a22
" an1
" an 2

" " " "
" " " "

an1
an 2
" ann
a1n
a2 n
" ann

则称行列式 D T 为行列式 D 的转置行列式。
(iii) 代数余子式: 在 n 阶行列式中,把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来
i + j

的 n-1 阶行列式称为元素 aij 的余子式,记作 M ij 。余子式 M ij 连同符号 (−1)
i + j
的乘积

Aij
= (−1)
M ij

称为元素 aij 的代数余子式。元素 aij 的代数余子式 Aij 与 aij 的位置有关,而与 aij 本身数值无

关。

2. 行列式的性质

(i) 行列式与它的转置行列式相等。

(ii) 互换行列式的任意两行(列),行列式变号。

(iii)行列式中某一行(列)元素的公因子可以提到行列式外,或者说,用一个数乘行列 式等于用该数乘行列式的某一行(列)。
(iV) 若行列式中的某两行(列)对应元素成比例,或有一行(列)元素全为零,行列式的 值为零。
(V) 若行列式的某一行(列)元素都是两个数之和,则此行列式等于两个行列式之和,即

a11
a12
" a1n
a11
a12
" a1n
a11
a12
" a1n

" " " "
" " " "
" " " "

ai1 + bi1
ai 2 + bi 2
" ain + bin
= ai1
ai 2
" ain
+ bi1
bi 2
" bin

" " " "
" " " "
" " " "

an1
an 2
" ann
an1
an 2
" ann
an1
an 2
" ann

(vi) 将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数加到另一行(列)对应的元素上去,行 列式的值不变。
3. 行列式按行(列)展开
(i) n 阶行列式 D 中的任意一行(列)的各元素 aij 与其对应的代数余子式 Aij 的乘积之和 等于 D 的值;而任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于
零,即
n ⎧D, i = j ;

ai1 A j1 + ai 2 A j 2 +"+ain A jn = ∑ aik A jk
= Dδ ij
= ⎨
, i ≠ j
(1)

k =1
n
⎩0
⎧D, i = j ;

或 a1i A1 j + a2i A2 j +"+ani Anj
= ∑ aki Akj
k =1
= Dδ ij
 ⎨
⎩0, i ≠ j
(2)

⎧1,i = j;

其中 δ ij
= ⎨
⎩0,i ≠
称(1)式为按行展开,(2)式为按列展开。
j

(ii)* 行列式的拉普拉斯(Laplace)展开
k 阶子式定义: n 阶行列式 D 中,任取 k 行 k 列 (1 ≤ k ≤ n) ,位于这些行和列的交点上 k 2
个元素按原来次序所构成的 k 阶行列式 N,称为 n 阶行列式 D 的一个 k 阶子式。
k 阶子式的代数余子式定义:在 n 阶行列式 D 中划去某 k 阶子式 N 所在的 k 行 k 列后剩 下的元素按原来次序所构成的 n-k 阶行列式 M,称为 k 阶子式 N 的余子式。假如 k 阶子式 N

所 在 行 的 序 号 是 i1 ,i2 ,",ik
, 所 在 列 的 序 号 是 j1 , j2 ,", jk
, 那 么

(−1) i1 +i2 +"+ ik + j1 + j2 +"+ jk M = A ,称为 k 阶子式 N 的代数余子式。
拉普拉斯(Laplace)定理: 设在 n 阶行列式 D 中任意取定了 k 个行 (1 ≤ k ≤ n − 1) ,由
这 k 个行元素所构成的一切 k 阶子式与它们所对应的代数余子式乘积的和等于行列式 D 的

值。
即 若在 D 中取定 k 行后得到的一切 k 阶子式为 N1 , N 2 ,", N t ,它们所对应的代数余 子式依次为 A1 , A2 ," At ,则

D = N1 A1 + N 2 A2 +"+ N t At
t
= ∑ N i Ai
i =1

n
其中 t = C k
= n(n − 1)"(n − k + 1) =
k !
n!
k !(n − k )!

拉普拉斯展开的两个特殊情况:

a11
" a1n
0 " 0

" " " " " "

a11

" a1n

b11

" b1m

an1
c11
" ann
" c1n
0
b11
" 0
" b1m
= " " "

" " " ,

" " " " " "
an1
" ann
bm1
" bmm

cm1
0
"
0 b11 "
bm1
" cmn " 0 " " " 0 " b1m
" "
" bmm
bm1 a11 " an1
c11
"
cm1
" bmm " a1n " " " ann
" c1n
" "
" cmn


a11
= (−1) mn "
an1


" a1n " " " ann


b11 " bm1


" b1m
" " 。
" bmm

4.一些特殊行列式

(i)
a11
0
a12
a 22
" a1n
" a 2 n
= a a " a

" " " "
11 22 nn

0 0 "
a nn

注 主对角线以上元素全为零的行列式结论同上。

a11
a12
" a1n

(ii)
a21 a22 "
0
= (−1)
n ( n −1)
2
a1n a2 ,n −1"an1

" " " "

an1
0 " 0

注 次对角线以上元素全为零的行列式结论同上。

(iii) 范德蒙 (Vandermonde)行列式
1 1 " 1

a1 a2
2
2
a1 a2
" an
2
a
" an
= ∏ (a
i − a j )

" " " "
1≤ j 展开定理,把高阶行列式的计算转化为低阶行列
式的计算。在计算时,总是先结合行列式的性质,把行列式的某行(列)的元素变换成尽可能 多的零,然后再展开。这是计算行列式最常用最有效的方法之一。
3
5
1
0
2
1
4
5
1
7
4
2
−3
5
1
1

例 1 计算
D =

0
0
1
0
−10
−19
4
5
−11
−13
4
2
−6
0
1
1

解 将第三列乘以-3 和-5 分别加到第一列、第二列,然后按第一行展开,得

−10
D = = (−1)1+ 3 −11
−19 5
−13 2

−6 0 1

再将第三列乘以 6 加到第一列;按第三行展开,得

20 −19 5
20 −19

D = 1
−13 2 = (−1) 3+ 3
1
−13
= −241。

0 0 1

3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3
2
2
2
2
3

由以上演算过程可知,对于任意 n 阶行列式 D,皆可用行列式性质变为等值的 n-1 阶行 列式。
例 2. 求 D =

解法一: 可想办法在某一行或某一列中化出尽可能多的零,然后降价,同时运算过程中尽量

避免出现分式。

1 − 1 0 0
1 0 0 0

2
等一行减去第二行
D 2
2
5 2 2
3 2 2
2 3 2
2 2 3
1

第一列加到第二列

−1 0
2 5 2 2
2 4 3 2
2 4 2 3

= 4 3 2 第一行减去第二行 4 3 2

4 2 3


1 0 0
4 2 3

7 2
第一列加到第二列 4 7 2 = = 9
6 3
4 6 3

解法二: 该行列式结构比较特殊,可以有更好的方法。

9

2
第2,3,4行加到第1行
D 2
2
9 9 9
3 2 2
2 3 2
2 2 3


提取公因子 9
1 1 1 1
2 3 2 2
2 2 3 2
2 2 2 3

1
0
第2,3,4行每一行减去第1行的2倍
9 0
0
1 1 1
1 0 0
0 1 0 = 9
0 0 1

2.利用化三角形法计算行列式 利用行列式性质将所给行列式化为上(下)三角行列式,然后可利用有关三角形行列式
的结论,迅速求出该行列式的值。
a − b − c 2a 2a

例 3 计算 D =
2b b − c − a 2b

2c 2c c − a − b

解: 将第二行与第三行都加到第一行上,再提出公因子(a+b+c),得
a + b + c a + b + c a + b + c
D = 2b b − c − a 2b
2c 2c c − a − b

1 1 1
= (a + b + c) 2b b − c − a 2b
2c 2c c − a − b

再将第一行乘以(-2b)和(-2c)分别加到第二行与第三行,得
1 1 1

D = (a + b + c) 0
−(a + b + c)

0 = (a + b + c) 3 。

0 0 −(a + b + c)

例 4 计算
a1 − λ
a1
a1


a2
a2 − λ
a2


a3 "
a3 "
a3 − λ "

an −1 an
an −1 an
an −1 an

D =
" " " " " "

a1 a2
a1 a2
a3 "
a3 "
an −1 − λ
an −1
an
an − λ

解法一: 将第一行乘以-1 后加到后面的各行上,得

a1 − λ a2
a3 "
an −1 an

λ −λ
λ 0
D =
0 " 0 0
−λ " 0 0

" " " " " "

λ 0 0
λ 0 0
" −λ 0
" 0 −λ

再将上式的第二列起,每列都加到第一列上,得
n

∑ ai − λ a2
i =1
a3 "
an −1 an

0 −λ 0 " 0 0

D = 0 0
−λ " 0 0

" " " " " "

0 0 0
0 0 0

n
" −λ 0
" 0 −λ
n n

⎜ ∑
⎟
i
= (−λ ) n −1 ⎛ a

⎝ i =1
− λ⎞ = (−λ ) n + (−λ ) n −1
⎠
∑ ai
i =1
= (−λ ) n −1 (
∑ ai
i =1
− λ ) 。

解法二 考虑到各行元素之和相等,因此我们可以把每一列加到第一列上去,然后提取公因

子,再来化简行列式。
n

∑ ai − λ
i =1
n
∑ ai − λ
i =1
D = n
∑ ai − λ
i =1
a2
a2 − λ
a2
a3 " an

ae " an
a3 − λ " an

" " " " "
n

∑ ai − λ
i =1
a2

1 a2
a3 "

a3
an − λ
" an

1
⎛ n ⎞
a2 − λ
a3 " an

= ⎜ ∑ ai − λ ⎟ 1
a2 a3 − λ " an

⎝ i =1
⎠ " "
1 a2
" "
a3 "
"
an − λ

再将上式中第 2 列起,每一列减去第 1 列的 ai 倍,得:
1 0 0 " 0

1 −λ
⎛ n ⎞
0 " 0
⎛ n ⎞

D = ⎜ ∑ ai − λ⎟ 1 0
−λ "
0 = (−λ )
n −1
⎜ ∑ ai
− λ ⎟

⎝ i =1
⎠
" " " " "
⎝ i =1 ⎠

1 0 0
" −λ

例 5 计算
x
−1 0

" 0 0 0

0 x −1
" 0 0 0

0 0 x
" 0 0 0

D = " " " " " " "

0 0 0
" x −1 0

0 0 0
" 0 x −1

an an −1
an −2
" a3 a2 a1

解法一: 考察行列式,最后一行虽然每个元素均不为零,但它们对应的余子式均可化为 上(下)三角形行列式,这样,可按最后一行展开,得

−1 0 0 " 0 0

x 0 0 " 0 0

x −1 0 " 0 0
0 −1 0 " 0 0

n −1 0
x −1 " 0 0
n + 2 0
x −1 " 0 0

D = a n (−1)
+ a (−1)
" " " " " " n −1

" " " " " "

0 0 0
" −1 0
0 0 0
" −1 0

0 0 0 " x −1
0 0 0 " x −1

x −1 0 " 0 0
x −1 0

" 0 0

0 x 0 " 0 0
0 x −1 " 0 0

3
a (−1) n + n −2 0 0
−1 "
0 0 0 0
+ a (−1) n + n −1
x " 0 0

" " " " " " 2
" " " " " "

0 0 0
" −1 0
0 0 0 " x 0

0 0 0 " x −1
0 0 0 " 0 −1

x −1 0
" 0 0

0 x −1 " 0 0

+a1 (
−1)
n + n 0 0
x " 0 0

" " " " " "
0 0 0 " x −1
0 0 0 " 0 x

上式中每个行列式中均有一行仅有一个非零元，按该行展开得

n
D = a (−1) n +1 (−1)
n −1
+ an −1 (−1)
n + 2
+ an − 2 (−1)
n + 3 x 2
(−1)
n − 3
+"+a3 (−1)
2 n − 2

1
2
+ x n −3 (−1) 2 + a
(−1) 2 n −1 x n − 2 (−1) + a (−1) 2 n x n −1

2
= an + an −1 x + an − 2 x
+"+a3 x
n − 3
+ a2 x
n −2
+ a1 x
n −1 。

解法二: 按下列方法消元,再按第一列展开降阶可化 n-1 阶行列式为下三角形行列式。

x −1 0
" 0 0 0

0 x −1
" 0 0 0

0 0 x
" 0 0 0

D = " " " " " " "

0 0 0
" x −1 0

0 0 0
" 0 x −1

an an −1
an − 2
" a3 a2 a1

×( x )

× ( x 2 )
⋯⋯ × ( x n −1 )

=

0
−1
0
"
0
0
0
0
x
−1
"
0
0
0
0
0
x
"
0
0
0
"
"
"
"
"
"
"
0
0
0
"
x
−1
0
0
0
0
"
0
x
−1

n
n −i
∑ a x an −
an −

" a a a

i
i =1
1 2 3 2 1

−1 0 0 " 0 0
x −1 0 " 0 0

n 0
(−1) n +1 ∑ a x n −i
x −1 " 0 0

i
i =1
" " " " " "

0 0 0
" −1 0

0 0 0 " x −1
n

∑ a I X a1 x a2 x a3 x
" an −1 x an

= (−1) n +1 (−1) n −1
i =1
n −i =
n−1 +
n− 2 +
n− 3 + + +

显然,该例也可按下列方法消元,先把第 n 列乘以 x 加到第 n-1 列上去,把 n-1 列上的 x 化为零。再把变换后的第 n-1 列乘 x 加到 n-2 列上去,⋯⋯直到第 2 列的元素乘 x 加到第 1 列上去,然后,依第 1 列展开,即

x −1 0
" 0 0 0

0 x −1
" 0 0 0

0 0 x
" 0 0 0

D = " " " " " " "

0 0 0
" x −1 0

0 0 0 " 0
x −1

an an −1
an −2
" a3 a2 a1

⋯⋯⋯⋯

x( x )
x( x )
x( x )

=

0

− 1

0
"
0
0
0

0

− 1
"
0
0
0

0

0
"
0
0
"

"

"
"
"
"
0

0

0
"
0
− 1
n

n−1

n− 2

∑
i =1
n−i
a x
i
∑
i =1
n −i −1
a x
i
∑
i =1
n −i −2
a x
i
" a1 x + a2 a1

−1 0 " 0 0

0 −1 " 0 0
n

i


( 1) n 1 (


1) n 1

n
i
∑ a x i 1

n
i
∑ a x n i

i =1
0 0 "
−1 0
i =1
i =1

0 0 " 0 −1
= a x n −1 + a x n − 2 + a x n − 3 +"+a x + a

1 2 3
n −1 n

3.利用升阶法计算行列式
有时为了便于计算行列式,特意在原 n 阶行列式的旁边再添加上一行一列,使阶数增加 一阶 (可添在第一行、第一列,也可添在第 n+1 行、n+1 列)成为 n+1 阶行列式。在合理 地选择添加的行、列的元素后,使得升阶后的行列式更便于“消零”。这种计算行列式的方 法称为升阶法。
λ a1 a1 a1
a λ a a

例 6 计算 D =
2 2 2

a3 a3 λ a3
a4 a4 a4 λ
解 将 D 加边升阶得

1 0
− a1 λ
D = − a2 a2
− a3 a3
− a4 a4
a
0 0
a1 a1
λ a2
a3 a
a4 a4
a
0 1
a1 − a1
a2 = − a2
a3 − a3
λ − a4
1
λ − a1
0
0
0
a
1
0
λ − a2
0

0
1
0
0
λ − a3
0
a
1
0
0
0
λ − a4

第 2 列 1 倍、第 3 列 2 倍、第 4 列 3 倍、第 5 列 4 倍加到第一列上,

λ − a1
λ − a2
λ − a3
λ − a4

4
1 + ∑ ai


1 1 1 1

i =1 λ − ai
0
λ − a1

0 0 0

得 D =
0 0 λ − a2 0 0

0 0 0
λ − a3 0

0 0 0 0
4 4
λ − a4

= ∏
i =1
(λ − ai )(1 + ∑
λ
i =1
ai
− ai
) 。这里设 ai ≠ λ (i = 1,2,3,4)

这个结论可以推广到 n 阶行列式的情况,即

λ a1
a2 λ
a3 a3
a1 "
a2 "
λ "
a1
2
a
n
a3 = ∏


a
n
i
(λ − ai )(1 + ∑ )

例 7 设

" "
an an

a11
A = a21

"
an

a12
a22

" "
" λ
" a1n
" a2 n
i =1
i =1 λ − ai

" " " "

an1
an 2
" ann

a11 + x a12 + x
a21 + x a22 + x
" a1n + x
" a2 n + x n n

证明 B =
" " " "
= A + x∑ ∑ Aij ,这里 Aij 是 A 中元素

aij 的代数余子式
an1 + x xn 2 + x
" ann + x
i =1
j =1

证法一: 将行列式 B 加边升阶,得

1
0
B = 0
"
0
x

a11 + x a21 + x
"
an1 + x
x "
a12 + x "
a22 + x "
" "
an 2 + x "
x
a1n + x
a2 n + x
"
ann + x n+1

将第一行乘以-1 加到各行上,得

1
− 1
B = − 1
"
− 1

x a11 a21
"
an1

x a12 a22
"
an 2

" x " a1n " a2 n
" "
" ann n +1

按第一行展开
a11
a21
a12
a22
" a1n
" a2 n
+ x(−1)
−1
1+ 2 −1
a12
a22
" a1n
" a2 n

" " " "
" " " "

an1
− 1 a11
an 2
"
"

a1n
ann
−1 an 2
− 1 a11
" ann
" a1n −1

− 1
+ x(−1)1+3
"
− 1
a21
"
an1
" a2 n
" "
" ann n
− 1
+ " + x(−1)1+ n
"
− 1
a21
"
an1
" a2 n −1
" "
" ann −1 n

从第二项开始,每项均按第 1 列展开,得
B = A + x( A11 + A21 +"+ An1 ) + x( A12 + A22 +"+ An 2 )+"
n n
+ x( A1n + A2 n +"+ Ann ) = A + x∑ ∑ Aij

i =1
j =1

证法二: B =
a11
a21

a12 + x a22 + x
" a1n + x
" a2 n + x +
x a12 + x
x a22 + x
" a1n + x
" a2 n + x


(*)

" " " "
" " " "

an1
an 2 + x
" ann + x
x an 2 + x
" ann + x

上式中右边第二式中,以第一列的-1 倍加到后面每一列上去,然后按第一列展开,即有

x a12 + x
x a22 + x
" a1n + x
" a2 n + x =
x a12
x a22
" a1n
" a2 n


n
= x∑A

" " " "
" " " "
i1
i=1

x an 2 + x
" ann + x
x an 2
" ann

再对(*)式右边第 1 个行列式的第 2 列利用性质,得

a11
a12 + x "
a1n + x
a11
a12
a13 + x "
a1n + x

a21
a22 + x
" a2 n + x = a21
a22
a23 + x
" a2 n + x

"
an1
" "
an 2 + x "
"
ann + x
"
an1
"
an 2
" "
an3 + x "
"
ann + x

an x a13 + x "
a1n + x

a x a + x "
a + x

+ 21 23 2 n
" " " " "

an1
x an 3 + x "
ann + x

对上式右边第 2 个行列式,从第 3 列开始,每列减去第 2 列,得到

a11
a21
x a13
x a23
" a1n
" a2 n n

按第2列展开
" " " " "
x ⋅ ∑ Ai 2
i =1

an1
x an 3
" ann

∴B =
a11 a21 "
an1
a12 a22 "
an 2
a13 + x "
a23 + x "
" "
an3 + x "
a1n + x
a2 n + x
"
ann + x


n
+ x∑ ( Ai1 + Ai 2 )
i =1

依次类推即可得

a11
a21
a12
a22
a13
a23
" a1n
" a2 n n

B =
" " " " "
+ x∑ ( Ai1 + Ai 2 +"+ Ain )
i =1

an1
an 2
n n
an 3
" ann

= A + x∑ ∑ Aij

i =1
j =1

以上第 2 个证法,即是利用分裂法来计算行列式。

4.利用分裂法计算行列式 所谓分裂法,就是根据行列式的性质,把原行列式分解成若干个同阶行列式之和,然后计
算出每个行列式的值,即可得到原行列式之值。

例 8 计算

a1 + b1
D = a2 + b1
a1 + b2
a2 + b2
" a1 + bn
" a2 + bn

" " " "

an + b1
an + b2
" an + bn

解 由于行列式的每一个元素均为两数之和,故可用分裂法来计算此行列式。从第一列 开始逐列进行分裂,并利用行列式性质,有
当 n=1 时, D = a1 + b1 ;

a + b a + b
a a + b
b a + b

当 n=2 时, D =
1 1 1 2 =
1 1 2 +
1 1 2

a2 + b1
a2 + b2
a2 a2 + b2
b1 a2 + b2

= a1 a1
+ a1 b2
1
+ b1
a1 + b1 b2
a1
= b2
1 1 a1
+ b1

a2 a2
a2 b2
1 a2
b1 b2
a2 1
1 a2

当 n > 2 时,
= (a1 − a2 )(b2 − b1 )

a1
D = a2
a1 + b2
a2 + b2
" a1 + bn
" a2 + bn
b1
+ b1
a1 + b2
a2 + b2
" a1 + bn
" a2 + bn

" " " "
" " " "

an an + b2
" an + bn
b1 an + b2
" an + bn

a1 a1
a1 + b3
" a1 + bn
a1 b2
a1 + b3
" a1 + bn

a a a + b
" a + b

a b a + b
" a + b

= 2 2 2 3 2 n
" " " " "
+ 2 2 2 3 2 n
" " " " "

an an b1 a1 b1 a2
an + b3
a1 + b3
a2 + b3
" an + bn an b2
" a1 + bn b1 b2
" a2 + bn + b1 b2
an + b3
a1 + b3
a2 + b3
" an + bn
" a1 + bn
" a2 + bn

" " " " "
" " " " "

b1 an
an + b3
" an + bn
b1 b2
an + b3
" an + bn

a1 1 " 1
a 1 " 1
1 a1
1 a
" a1
" a

=" = b b "b 2
+ b 2 2 = 0

2 3 n " " " "
1 " " " "

an 1 "
⎧0
⎪
1 1 an
, n > 2;
" an

综合上述,所求行列式 D = ⎨(a1 − a2 )(b2 − b1 ), n = 2;
⎪

⎩a1 + b1
, n = 1

注: 此题也可不用分裂法,而利用行列式性质(vi)化简。计算将会更简单。

例 9 计算

a1 + 1
a2 + 1
a3 + 1 1

b + 1
b + 1
b + 1 1

D = 1 2 3

c1 + 1
c2 + 1
c3 + 1 1

b b b a

解 将最后一列改写为两项之和,即

a1 + 1
a2 + 1
a3 + 1 0 + 1

b + 1
b + 1
b + 1 0 + 1

D = 1 2 3

c1 + 1
c2 + 1
c3 + 1 0 + 1

b b b

再将最后一列分裂为两个行列式之和,得
(a − b) + b

a1 + 1
a2 + 1
a3 + 1 0
a1 + 1
a2 + 1
a3 + 1 1

b + 1
b + 1
b + 1 0
b + 1
b + 1
b + 1 1

D = 1 2 3
+ 1 2 3

c1 + 1
c2 + 1
c3 + 1 0
c1 + 1
c2 + 1
c3 + 1 1

b b b a − b
b b b b

a1 + 1
a2 + 1
a3 + 1