2022年福建省仙游县联考数学九上期末学业质量监测试题含解析.doc

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使，连接DE，若，则∠E的度数是（ ）

A．65° B．60° C．50° D．40°
2．如图钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'长度是（　　）

A．3m B． m C． m D．4m
3．以下、、、四个三角形中，与左图中的三角形相似的是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，平行四边形ABCD中，AC⊥AB，点E为BC边中点，AD=6，则AE的长为（ ）

A．2 B．3 C．4 D． 5
5．已知2x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图是某货站传送货物的机器的侧面示意图.，原传送带与地面的夹角为，为了缩短货物传送距离，工人师傅欲增大传送带与地面的夹角，使其由改为，原传送带长为.则新传送带的长度为（ ）

A． B． C． D．无法计算
7．下列各点中，在函数y=－图象上的是（ ）
A．（﹣2，4） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（8，1）
8．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，直线分别与⊙相切于，且∥，连接，若，则梯形的面积等于（　 　）

A．64 B．48 C．36 D．24
10．抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（　 　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，分析下列五个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF，其中正确的结论有_____个．

12．高为7米的旗杆在水平地面上的影子长为5米，同一时刻测得附近一个建筑物的影子长30米，则此建筑物的高度为_____米．
13．已知是方程的根，则代数式的值为__________.
14．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为______．

15．如图，点在反比例函数的图象上，轴，垂足为，且，则___

16．一个盒子中装有个红球，个白球和个蓝球，这些球除了颜色外都相同，从中随机摸出两个球，能配成紫色的概率为_____．
17．在等腰中，，点是所在平面内一点，且，则的取值范围是______．
18．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是_________．

三、解答题(共66分)
19．（10分）一位同学想利用树影测量树高，他在某一时间测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不完全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，测算一下这棵树的高时多少？

20．（6分）如图，已知在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM，请用尺规作图法，在AM上求作一点P，使得△DPA∽△ABM（不写做法保留作图痕迹）

21．（6分）已知如图AB ∥EF∥ CD，

（1）△CFG∽△CBA吗？为什么？
（2）求 的值．
22．（8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）若是方程的一个解，写出、满足的关系式；
（2）当时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（3）若方程有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的、的值，并求出此时方程的根．
23．（8分）如图，在中，，点是中点.连接.作，垂足为，的外接圆交于点，连接.

（1）求证：；
（2）过点作圆的切线，交于点.若，求的值；
（3）在（2）的条件下，当时，求的长.
24．（8分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷(每人必选且只选一种)，在全校范围内随机调查了部分学生，将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）在扇统计图中，表示“QQ”的扇形圆心角的度数为_____；根据这次统计数据了解到最受学生欢迎的沟通方式是______．
（2）将条形统计图补充完整；
（3）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“QQ”、“电话”三种沟通方式中选一种方式与对方联系，用列表或画树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
25．（10分）中华鲟是国家一级保护动物，它是大型洄游性鱼类，生在长江，长在海洋，受生态环境的影响，数量逐年下降。中华鲟研究所每年定期通过人工养殖放流来增加中华鲟的数量，每年放流的中华鲟中有少数体内安装了长效声呐标记，便于检测它们从长江到海洋的适应情况，这部分中华鲟简称为“声呐鲟”，研究所收集了它们到达下游监测点A的时间t（h）的相关数据，并制作如下不完整统计图和统计表．
已知：今年和去年分别有20尾“声呐鲟”在放流的96小时内到达监测点A，今年落在242）中华鲟到达海洋的时间越快，说明它从长江到海洋的适应情况就越好，请根据上述信息，选择一个统计量说明去年和今年中哪一年中华鲟从长江到海洋的适应情况更好；
（3）去年和今年该放流点共放流1300尾中华鲟，其中“声呐鲟”共有50尾，请估计今年和去年在放流72小时内共有多少尾中华鲟通过监测站A．
26．（10分）已知关于的一元二次方程.
（1） 求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根.

参考答案

一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】连接BD，与AC相交于点O，则BD=AC=BE，得△BDE是等腰三角形，由OB=OC，得∠OBC=50°，即可求出∠E的度数.
【详解】解：如图，连接BD，与AC相交于点O，

∴BD=AC=BE，OB=OC，
∴△BDE是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，
∵，∠ABC=90°，
∴∠OBC=，
∴；
故选择：A.
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.
2、B
【解析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，求出∠CAB，进而得出∠C′AB′的度数，然后可以求出鱼线B'C'长度．
【详解】解：∵sin∠CAB＝
∴∠CAB＝45°．
∵∠C′AC＝15°，
∴∠C′AB′＝60°．
∴sin60°＝，
解得：B′C′＝3．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，解本题的关键是把实际问题转化为数学问题．
3、B
【分析】由于已知三角形和选择项的三角形都放在小正方形的网格中，设正方形的边长为1，所以每一个三角形的边长都是可以表示出，然后根据三角形的对应边成比例即可判定选择项．
【详解】设小正方形的边长为1，根据勾股定理，所给图形的边分别为，，，
所以三边之比为
A、三角形的三边分别为、、，三边之比为::，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为、、，三边之比为，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的直角三角形的特点是解题的关键．
4、B
【解析】由平行四边形得AD=BC，在Rt△BAC中，点E为BC边中点，根据直角三角形的中线等于斜边的一半即可求出AE.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，
∵AC⊥AB，∴△BAC为Rt△BAC，
∵点E为BC边中点，
∴AE=BC=.
故选B.
5、A
【解析】试题解析：A、两边都除以2y，得，故A符合题意；
B、两边除以不同的整式，故B不符合题意；
C、两边都除以2y，得，故C不符合题意；
D、两边除以不同的整式，故D不符合题意；
故选A．
6、B
【分析】根据已知条件，在中，求出AD的长，再在中求出AC的值.
【详解】，，=8

即

即

故选B.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.
7、A
【分析】所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．本题只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上
【详解】解:-2×4=-8
故选:A
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数性质是本题的解题关键．
8、B
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念即可得出答案.
【详解】根据中心对称图形和轴对称图形的概念，可以判定既是中心对称图形又是轴对称图形的有第3第4个共2个.
故选B．
考点：1.中心对称图形；2.轴对称图形.
9、B
【分析】先根据切线长定理得出，然后利用面积求出OF的长度，即可得到圆的半径，最后利用梯形的面积公式 即可求出梯形的面积．
【详解】连接OF，

∵直线分别与⊙相切于，
∴ ．
在 和 中，
∴,
∴．
在 和 中，
∴，
∴．
∵ ，
．
∵，
．
，
∴ ，
，
∴梯形的面积为
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查切线的性质，切线长定理，梯形的面积公式，掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键．
10、A
【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】：∵y=（x﹣2）2﹣3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-3）．
故选A.．
【点睛】
本题考查了将解析式化为顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．

二、填空题(每小题3分,共24分)
11、1
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC＝∠AFB＝90°，又∠BAF＝∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE＝AD＝BC，又AD∥BC，所以＝＝，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM＝DE＝BC，得到CN＝NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④根据△AEF∽△CBF得到，求出S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCDS四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，即可得到S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确．
【详解】解：过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∵AE＝AD＝BC，
∴＝，
∴CF＝2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM＝DE＝BC，
∴BM＝CM，
∴CN＝NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF＝DC，故③正确；
∵△AEF∽△CBF，
∴，
∴S△AEF＝S△ABF，S△ABF＝S矩形ABCD
∴S△AEF＝S矩形ABCD，
又∵S四边形CDEF＝S△ACD﹣S△AEF＝S矩形ABCD﹣S矩形ABCD＝S矩形ABCD，
∴S四边形CDEF＝S△ABF，故④正确；
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线，根据相似三角形表示出图形面积之间关系是解题的关键．
12、1
【分析】根据同一时刻物体的高度与影长成比例解答即可．
【详解】解：设此建筑物的高度为x米，根据题意得：，解得：x=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了平行投影，属于基础题型，明确同一时刻物体的高度与影长成比例是解题的关键．
13、1
【分析】把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，
所以．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题时运用整体代入思想．
14、x<−1或x>5.
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1，0），然后写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】抛物线的对称轴为直线x=2，
而抛物线与x轴的一个交点坐标为(5,0)，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，
所以不等式−x2+bx+c<0的解集为x<−1或x>5.
故答案为x<−1或x>5.
考点：二次函数图象的性质
15、6
【分析】根据三角形的面积等于即可求出k的值.
【详解】∵由题意得：=3，
解得，
∵反比例函数图象的一个分支在第一象限，
∴k=6，
故答案为：6.
【点睛】
此题考查反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握三角形的特点与k的关系是解题的关键.
16、
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：

∵共有种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有种情况
∴两次摸到的求的颜色能配成紫色的概率为：．
故答案是：
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17、
【分析】根据题意可知点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的上，然后画出图形，找到P点离C点距离最近的点和最远的点，然后通过勾股定理求出OC的长度，则答案可求．
【详解】
∴点P在以AB为直径，AB的中点O为圆心的上
如图，连接CO交于点，并延长CO交于点

当点P位于点时，PC的长度最小，此时

当点P位于点时，PC的长度最大，此时

故答案为：．
【点睛】
本题主要考查线段的取值范围，能够找到P点的运动轨迹是圆是解题的关键．
18、2或
【分析】设BF=，根据折叠的性质用x表示出B′F和FC，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC∽△ABC和△B′FC∽△BAC，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．
【详解】设BF=，则由折叠的性质可知：B′F=，FC=，
（1）当△B′FC∽△ABC时，有，
即：，解得：；
（2）当△B′FC∽△BAC时，有，
即：，解得：；
综上所述，可知：若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是2或
故答案为2或．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC和△ABC相似时顶点的对应关系，所以根据∠C是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC∽△ABC；（2）△B′FC∽△BAC；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．

三、解答题(共66分)
19、树高为7.45米
【分析】先求出墙上的影高CD落在地面上时的长度，再设树高为h，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．
【详解】设墙上的影高CD落在地面上时的长度为xm，树高为hm，
∵某一时刻测得长为1m的竹竿影长为0.8m，墙上的影高CD为1.2m，
∴，
解得x=0.96，
∴树的影长为：0.96+5=5.96（m），
∴，
解得h=7.45（m）．
∴树高为7.45米．
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是正确求出树的影长，这是此题的易错点．
20、作图见解析.
【解析】根据尺规作图的方法过点D作AM的垂线即可得
【详解】如图所示，点P即为所求作的点.

【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，熟练掌握作图的方法是解题的关键.
21、（1）△CFG∽△CBA，见解析；（2）
【分析】（1）由题意利用相似三角形的判定定理-平行模型进行分析证明即可；
（2）根据题意平行线分线段成比例定理进行分析求值.
【详解】解：（1）△CFG∽△CBA，理由如下，
∵AB ∥EF，
∴FG∥AB，
∴△CFG∽△CBA．
（2）∵AB∥EF∥CD，
∴,
∴,
∵△CFG∽△CBA，
∴.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质以及判定．
22、（1）；（2）原方程有两个不相等的实数根；（3），，（答案不唯一）.
【分析】（1）把方程的解代入即可；
（2）根据根的判别式及b=a+1计算即可；
（3）根据方程根的情况得到根的判别式，从而得到a、b的值，再代入方程解方程即可.
【详解】解：（1把代入方程可得 ，
故a、b满足的关系式为；
（2）△，
∵，
∴△，
∴原方程有两个不相等的实数根；
（3）∵方程有两个相等的实数根，
∴△=，即，
取，（取值不唯一），
则方程为，
解得.
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解法，及根的判别式，熟记根的判别式，掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
23、（1）详见解析；（2）2；（3）5.
【分析】（1）根据等腰三角形的判定即可求解；
（2）根据切线的性质证明，根据得到，再得到，故 ，表示出，再根据中，利用的定义即可求解；
（3）根据，利用三角函数的定义即可求解.
【详解】（1）证明：∵，为中点，
∴，∴.
又∵，∴，
∴.
∵，∴，∴，∴.
（2）解：∵是的外接圆，且，
∴是直径.
∵是切线，∴，∵，∴，∴，
∵，∴，
∴设，，∴.
∵，，
∴，∴，∴，∴，
∴在中，.
（3）∵，∴，
∴，.
∴，.
∴，
由（1）得
∴,∴AG=BG
故G为BC中点，
∴.

【点睛】
.此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知圆切线的判定、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质.
24、（1）108°，微信；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出使用QQ的百分比即可求出QQ的扇形圆心角度数，根据总人数及所占百分比即可求出使用短信的人数，总人数减去除微信之外的四种方式的人数即可得到使用微信的人数．
（2）根据短信与微信的人数即可补全条形统计图．
（3）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【详解】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%＝100人
喜欢用QQ沟通所占比例为：，
∴“QQ”的扇形圆心角的度数为：360°×＝108°，
喜欢用短信的人数为：100×5%＝5（人）
喜欢用微信的人数为：100−20−5−30−5＝40（人），
∴最受学生欢迎的沟通方式是：微信，
故答案为：108°，微信；
（2）补全条形图如下：

（3）列出树状图，如图所示

所有情况共有9种情况，其中两人恰好选中同一种沟通方式共有3种情况，
甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：．
【点睛】
本题考查统计与概率，解题的关键是熟练运用统计与概率的相关公式，本题属于中等题型．
25、（1）2；（2）见详解；（3）1560
【分析】（1）先求出去年落在48＜t≤72内的数据个数，从而根据“今年落在24＜t≤48内的“声呐鲟”比去年多1尾”得到今年落在48＜t≤72内的数据个数，继而根据各时间段的数据和为20求出24＜t≤48内的数据个数，从而补全图形，最后根据中位数的概念求解可得；
（2）从平均数上看去年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为2.2小时，而今年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为56.2小时，缩短了8小时，答案不唯一，合理即可；
（3）用总数量乘以放流72小时内通过监测站A的对应的百分比求出去年、今年的数量，求和即可得．
【详解】解：（1）去年落在48＜t≤72内的数据有20×（个），
∴今年落在48＜t≤72内的数据为5，
则今年24＜t≤48内的“声呐鲟”数量为20-（5+5+7）=3，
补全图形如下：

∵今年“声呐鲟”到达下游监测点时间的第10、11个数据为60、68，
∴a=，
故答案为：2．
（2）选择平均数，
由表可知，去年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为2.2小时，而今年“声呐鲟”到达下游监测点的平均时间为56.2小时，缩短了8小时，
所以今年“声呐鲟”从长江到海洋的适应情况更好（答案不唯一，合理即可）．
（3）去年和今年在放流72小时内中华鲟通过监测站A的数量为
1300×（1-45%）+1300×=15+845=1560（尾）．
【点睛】
此题考查了频数分布直方图、条形统计图，平均数，中位数，众数，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
26、（1）见解析；（2），
【分析】（1）将方程转化为一般式，然后得出根的判别式，得出判别式为非负数得出答案；
（2）将代入方程求出的值，然后根据解方程的方法得出另一个根.
【详解】解：（1）

∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当时，

，
∴
【点睛】
本题考查了解一元二次的方程以及判别式.