基本不等式(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基本不等式,1,这是,2002,年在北京召开的第,24,届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,2,思考：这会标中含有怎样的几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究,1,3,a,b,1,、正方形,ABCD,的,面积,S=,、四个直角三角形的,面积和,S,=,、,S,与,S,有什么,样的不等关系？,探究：,S,_,S,问：那么它们有相等的情况吗？,4,5,A,D,B,C,E,F,G,H,b,a,重要不等式一般地，对于任意实数,a,、,b,，我们有,当且仅当,a=b,时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,6,思考：,你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,7,结论：一般地，对于任意实数,a,、,b,，总有,当且仅当,a=b,时，等号成立,文字叙述为,:,两数的平方和,不小于,它们积的,2,倍,.,适用范围：,a,b,R,问题一,8,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？,问题二,9,证明：要证,只要证,要证，只要证,要证，只要证,显然,是成立的,.,当且仅当,a,=,b,时,中的等号成立,.,分析法,问题二,证明不等式：,10,特别地，若,a,0,，,b,0,，则,通常我们把上式写作：,当且仅当,a,=,b,时取等号，这个不等式就叫做基本不等式,.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数,a,，,b,的算术平均数，,叫做正数,a,，,b,的几何平均数；,文字叙述为：,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,.,适用范围：,a,0,b,0,11,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,问题三,RtACDRtDCB,，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,如何用,ab,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,12,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,问题三,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,OD,与,CD,的大小关系怎样,?OD_CD,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,几何意义：半径不小于弦长的一半,A,D,B,E,O,C,a,b,13,例,1,：,(1),如图,用篱笆围成一个面积为,100m,2,的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解：如图设,BC=,x,，,CD=,y,，,则,xy,=100,，篱笆的长为,2(,x,+,y,)m.,当且仅当 时，,等号,成立,因此，这个矩形的长、宽都为,10m,时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是,40m.,此时,x,=,y,=,10.,x,=,y,A,B,D,C,14,例,1,：,(2),如图，用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设,BC=,x,，,CD=,y,，,则,2(,x,+,y,)=36,x,+,y,=18,矩形菜园的面积为,xy,m,2,得,xy,81,当且仅当,x,=,y,时等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为,9m,时，,菜园面积最大，最大面积是,81m,2,即,x,=,y,=9,A,B,D,C,15,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设,BC=,x,，,CD=,y,，,则篱笆的长为,矩形花园的面积为,xy,m,2,A,B,D,C,得,144,2,xy,当且仅当,时，等号成立,因此，这个矩形的长为,12m,、宽为,6m,时，,花园面积最大，最大面积是,72m,2,即,xy,72,即,x,=12,，,y,=6,x,+2,y,=24,x,=2,y,16,变式如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设,BC=,x,，,CD=,y,，,则篱笆的长为,矩形花园的面积为,xy,m,2,A,B,D,C,x,+,y,不是,定值,.,2,=24,为,得,2,xy,144,当且仅当,时，等号成立,因此，这个矩形的长为,12m,、宽为,6m,时，,花园面积最大，最大面积是,72m,2,即,xy,72,即,x,=12,，,y,=6,x,+2,y,=24,x,=2,y,17,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,分析：设,AB=,x,，,BC=24,2,x,，,A,B,D,C,18,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：设,AB=,x,，,BC=24,2,x,，,矩形花园的面积为,x,(24,2,x,),m,2,当且仅当,2,x,=24,2,x,即,x,=6,时，等号成立,因此，这个矩形的长为,12m,、宽为,6m,时，,花园面积最大，最大面积是,72m,2,(,其中,2,x,+(24,-,2,x,)=,24,是定值,),19,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：设,AB=,x,，,BC=24,2,x,，,矩形花园的面积为,x,(24,2,x,),m,2,因此，这个矩形的长为,12m,、宽为,6m,时，,花园面积最大，最大面积是,72m,2,当,x,=6,时，函数,y,取得最小值为,72,20,小结：,求最值时注意把握“一正，二定，三相等”,已知,x,y,都是正数,P,S,是常数,.,(1),xy,=,P,x,+,y,2,P,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,(2),x,+,y,=,S,xy,S,2,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,1,4,2.,利用基本不等式求最值,1.,两个重要的不等式,21,作 业,课本,P100,练习题,习题,3.4 A,组 第,2,、,3,题,22,思考题,1.,求函数,f,(,x,)=,x,+,(,x,-,1),的最小值,.,1,x,+1,2.,若,0,x,0.,1.,求函数,f,(,x,)=,x,+,(,x,-1),的最小值,.,1,x,+1,24,配凑系数,分析,:,x,+(1,-,2,x,),不是,常数,.,2,=1,为,解,:,0,x,0.,1,2,y,=,x,(1,-,2,x,)=2,x,(1,-,2,x,),1,2,2,2,x,+(1,-,2,x,),2,1,2,1,8,=.,当且仅当,时,取“,=”,号,.,2,x,=(1,-,2,x,),即,x,=,1,4,当,x,=,时,函数,y,=,x,(1,-,2,x,),的最大值是,.,1,4,1,8,2.,若,0,x,求函数,y,=,x,(1,-,2,x,),的最大值,.,1,2,25,