数学人教版A必修1同步训练：3．11方程的根与函数的零点附答案 .doc

第三章　函数的应用3．1　函数与方程
3．1.1　方程的根与函数的零点
1．已知某函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)有零点的区间大致是 …(　　)
A．(0,0.5)
B．(0.5,1)
C．(1,1.5)
D．(1.5,2)
2．函数f(x)＝x5－x－1的一个零点所在的区间可能是(　　)
A．[0,1] B．[1,2] C．[2,3] D．[3,4]
3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下列命题错误的是(　　)
A．函数f(x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B．函数f(x)在(3,5)内无零点
C．函数f(x)在(2,5)内有零点
D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点
4．已知y＝x2＋ax＋3有一个零点为2，则a的值是__________．
课堂巩固
1．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
C．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
D．若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c中ac<0，则函数的零点个数是(　　)
A．1 B．2
C．0 D．无法确定
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)
A．0，－ B．0， C．0,2 D．2，－
4．方程()x＝x有解x0，则x0在下列哪个区间(　　)
A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
5．(2009福建泉州毕业班质检，理11)函数f(x)＝log2x＋2x－1的零点必落在区间(　　)
A．(，) B．(，) C．(，1) D．(12)
6．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则对于f(x)＝0的解叙述正确的序号为__________．
①有三个实根
②当x>1时恰有一实根
③当00，f(1)>0，f(2)<0，则增加下列哪个条件可确定f(x)有唯一零点．(　　)
A．f(3)<0
B．f(－1)>0
C．函数在定义域内为增函数
D．函数在定义域内为减函数
2．设函数y＝x3与y＝()x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
3．设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
4．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 006x＋log2 006x，则在R上方程f(x)＝0的零点个数为　　)
A．1 B．2 C．3 D．2 006
5．(2008辽宁高考，理12)设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f()的所有x之和为(　　)
A．－3 B．3 C．－8 D．8
6．函数f(x)＝lnx－x＋2的零点个数为__________．
7．(2008湖北高考，理13)已知函数f(x)＝x2＋2x＋a，f(bx)＝9x2－6x＋2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f(ax＋b)＝0的解集为__________．
8．判断方程＋1＝0在[－，]内是否有实数解，并说明理由．
9．证明方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
10．判定方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.
11．已知函数y＝2x2＋bx＋c在(－∞，－)上是减函数，在(－，＋∞)上是增函数，且两个零点x1、x2满足|x1－x2|＝2，求这个二次函数的解析式．
答案与解析
第三章　函数的应用
3．1　函数与方程
3．1.1　方程的根与函数的零点
课前预习
1．B
2．B　因为f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，
所以存在一个零点x∈[1,2]．
3．C
4．－　由题意可知x＝2是方程x2＋ax＋3＝0的一个根，代入可得a＝－.
课堂巩固
1．C　对于选项A，可能存在偶数个根；对于选项B，必存在但不一定唯一；选项D显然不成立．
2．B　∵ac<0，∴a≠0，于是判别式Δ＝b2－4ac>0，即二次函数图象与x轴相交，有2个零点．
3．A　∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，＝－.
令bx2－ax＝0，得x＝0，x＝＝－.
4．B　令f(x)＝()x－x.
∵f(－1)＝2＋1>0，f(0)＝1－0>0，f(1)＝－1<0，
∴该函数在(0,1)内有解．
5．C　该函数是单调增函数，
∵f()＝－1＋1－1＝－1<0，f(1)＝0＋2－1＝1>0，
∴其零点必落在(，1)内．
6.①⑤　将原函数图象向上平移0.01个单位就可得到f(x)的图象．由f(x)的图象知f(x)＝0的解有三个．一个小于－1，另外两个都在(0,1)内．所以正确序号为①⑤.
7．解：方程f1(x)＝0，f2(x)＝0有解．理由是观察fi(x)的图象在(－∞，0)内只有f1(x)、f2(x)与x轴有交点，
所以f1(x)＝0，f2(x)＝0在(－∞，0)内有解．
点评：对于任意函数y＝f(x)，如果它的图象是连续不间断的，那么它通过零点(不是二重零点)时的函数值必然变号．函数的零点分为变号零点和不变号零点两类．函数图象在变号零点处与x轴相交，在不变号零点处与x轴相切．
8．解：因为f(－1)＝3－1－(－1)2＝－<0，
f(0)＝30－(0)2＝1>0，
函数f(x)＝3x－x2的图象是连续曲线，所以f(x)在区间[－1,0]内有零点，即f(x)＝0在区间[－1,0]内有实数解．
课后检测
1．D　根据f(0)>0，f(1)>0，f(2)<0，可画出函数f(x)的图象草图，由图可知f(x)在区间(1,2)上必有一零点，而题中要求f(x)只有唯一零点，因此函数在定义域内可以单调递减．
2．B　令g(x)＝x3－22－x，可求得g(0)<0，g(1)<0，g(2)>0，易知x0∈(1,2)．
3．C　由已知条件求出f(x)的解析式，再解方程确定根的情况．
由已知
得
∴f(x)＝
当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，
即x2＋3x＋2＝0，
∴x＝－1或x＝－2；
当x>0时，方程为x＝2，
∴方程f(x)＝x有3个解．
4．C　∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0.
∵x>0时f(x)是增函数，且x趋于0时f(x)<0，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上有1个零点．
又∵其图象关于原点对称，
∴在(－∞，0)上也有1个零点．
5．C　因为f(x)是连续的偶函数，且x>0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f(x)＝f()，只有两种情况：①x＝；②x＋＝0.
由①知x2＋3x－3＝0，故两根之和为x1＋x2＝－3.
由②知x2＋5x＋3＝0，故其两根之和为x3＋x4＝－5.
因此满足条件的所有x之和为－8.
6．2　该函数零点的个数就是函数y＝lnx与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝lnx与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝lnx－x＋2有2个零点．
7．∅　∵f(x)＝x2＋2x＋a，
∴f(bx)＝(bx)2＋2bx＋a＝b2x2＋2bx＋a＝9x2－6x＋2.
则有即
∴f(2x－3)＝(2x－3)2＋2(2x－3)＋2＝4x2－8x＋5＝0.
∵Δ＝64－80<0，
∴方程f(ax＋b)＝0无实根．
8．解：设函数f(x)＝＋1是定义在非零实数集上的函数，且在(－∞，0)内是减函数，在(0，＋∞)内也是减函数．而f(－)＝－1<0，所以方程＋1＝0在区间(－，0)内没有实数解；又f()＝3>0，所以方程＋1＝0在区间(0，)内也没有实数解．
9．证明：设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0，f(0)＝－2<0，
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
10．解：设函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1，
有f(5)＝(5－2)(5－5)－1＝－1，
f(2)＝(2－2)(2－5)－1＝－1.
又因为f(x)的图象是开口向上的抛物线(如图所示)，所以抛物线与横轴在(5，＋∞)内有一个交点，在(－∞，2)内也有一个交点．
所以方程(x－2)(x－5)＝1有两个相异的实数解，且一个大于5，一个小于2.
点评：对于一元二次方程根的判断，通常借助于判别式、对称轴和区间端点值的符号来判断．
11．解：由题意x＝－＝－，∴b＝6.
故y＝2x21＋x2＝－3，x1x2＝，
∴|x1－x2|＝＝＝2.
∴c＝.经检验Δ＝62－4×2×>0，符合题意．
∴所求二次函数为y＝2x2＋6x＋.