1、
几 何 概 型 的 常 见 题 型
李凌奇2017-06-26
1．与长度有关的几何概型
例1．在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为( ).
A. B. C. D.
分析：在区间上随机取任何一个数都是一个基本事件.所取的数是区间的任意一个数，基本事件是无限多个，而且每一个基本事件的发生都是等可能的，因此事件的发生的概率只与自变量的取值范围的区间长度有关，符合几何概型的条件.
解：在区间上随机取一个数,即时,要使的值介于0到之间,
需使或
∴或，区间长度为，
由几何概型知使的值介于0到之间的概率为
. 故选A
2、
2．与面积有关的几何概型
例2．为长方形，，为的中点，在长方形内随机取一点，取到的点到的距离大于1的概率为（ ）
A． B. C. D.
分析：由于是随机的取点，点落在长方形内每一个点的机会是等可能的，基本事件是无限多个，所以符合几何概型.
解：长方形面积为2,以为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为
因此取到的点到的距离大于1的面积为，
则取到的点到的距离大于1的概率为
.
故选B.
3．与角度有关的几何概型
例3．在圆心角为90°的扇形中，以圆心为起点做射线，求使得和都不小于30°的概率
3、
分析：此题关键是搞清过作射线可以在扇形的任意位置，而且是等可能的，因此基本事件的发生是等可能的.
解：记事件是“做射线，使得和都不小于30°”，，则符合条件的射线应落在扇形中，
所以
4．与体积有关的几何概型
例4．在5升水中有一个病毒，现从中随机地取出1升水，含有病毒的概率是多大？
分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的，取得的1升水可以看作构成事件的区域，5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域，因此可以用体积比公式计算其概率.
解：“取出1升水，其中含有病毒”这一事件记作事件A，
则
从而所求的概率为0.2.
5．与线性规划有关的几何概型
例5．小明家的晚
4、报在下午5：30～6：30之间的任何一个时间随机地被送到，小明一家在下午6：00～7：00之间的任何一个时间随机地开始晚餐.那么晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少？
分析：该题题意明确，但如何转化为数学模型需要从实际问题中分析出存在的两个变量.由于晚报送到和晚饭开始都是随机的，设晚报送到和晚饭开始的时间分别为，然后把这两个变量所满足的条件写成集合的形式，把问题转化为线性规划问题进行求解.
解：设晚报送到和晚饭开始的时间分别为.用表示每次试验的结果，则所有可能结果为：，
即为图3中正方形的面积；记晚报在晚餐开始之前被送到为事件，则事件的结果为：，即为图2中阴影部分区域. ，.
所以所求概率为：.
故晚报在晚餐开始之前被送到的概率是.
反思：此类问题常会涉及两个随机变量的相互关系，其求解的步骤为：
（1）找设变量.从问题中找出两个随机变量，设为；
（2）集合表示.用表示每次试验结果，则可用相应的集合分别表示出全部结果和事件所包含的试验结果.一般来说，两个集合都是几个二元一次不等式的交集.
（3）作出区域.把上面的集合所表示的平面区域作出，并求出集合对应的区域的面积.
（4）计算求解.由几何概型公式求出概率.
3
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