1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,1.,单元的几何和节点描述,(4-50),(4-51),1,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,2.,单元位移场的表达,单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示,从图可以看出，节点条件共有,8,个，即,x,方向,4,个，,y,方向,4,个，因此，,x,和,y,方向的位移场可以各有,4,个待定系数，即取以下多项式作为单元的位移场模式,(4-52),2,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单
2、元,2.,单元位移场的表达,单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示,(4-53),(4-54),3,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,2.,单元位移场的表达,单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示,(4-55),4,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,2.,单元位移场的表达,单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的插值函数来表示,将式,(4-54),写成矩阵形式，有,(4-57),5,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,3.,单元应变场的表达,单元的所有力学参量用节点位移列阵及相关的
3、插值函数来表示,(4-58),(4-59),6,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,3.,单元应变场的表达,将式,(4-59),写成子矩阵形式，有,(4-60),(4-61),7,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,4.,单元应力场的表达,由弹性力学中平面问题的物理方程，可得到单元的应力表达式,(4-61),8,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,5.,单元势能的表达,(4-62),(4-63),9,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,6.,4,节点矩形单元的线性应变和应力,由单元的位移表达
4、式可知，,4,节点矩形单元的位移在,x,，,y,方向呈线性变化，所以称为双线性位移模式，正因为在单元的边界,x=a,和,y=b,上，位移是按线性变化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的位移模式是完备,(completeness),和协调,(compatibility),的，它的应变和应力为一次线性变化，因而比,3,节点常应变单元精度高。,10,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,7.,采用无量纲坐标（自然坐标）,11,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,7.,采用无量纲坐标（自
5、然坐标）,12,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,7.,采用无量纲坐标（自然坐标）,13,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,8.,基于,4,节点四边形单元的矩形薄板分析,14,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,9.,三角形单元与矩形单元计算精度的比较,15,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,9.,三角形单元与矩形单元计算精度的比较,16,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,(1),建模方案,1,的有限元分析列式,17,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题
6、的,4,节点矩形单元,位移场、应变场及应力场的分布如图所示,(1),建模方案,1,的有限元分析列式,18,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,(1),建模方案,1,的有限元分析列式,(4-72),19,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,(2),建模方案,2,的有限元分析列式,20,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,(2),建模方案,2,的有限元分析列式,位移场、应变场及应力场的分布如图所示,21,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,(2),建模方案,2,的有限元分析列式,(4-77),22,基本概念,连续体结构有限元分析,平面问题的,4,节点矩形单元,9.,三角形单元与矩形单元计算精度的比较,从以上计算可以看出，用三角形单元计算时，由于形函数是完全一次式，因而其应变场和应力场在单元内均为常数；而四边形单元其形函数带有二次式，计算得到的应变场和应力场都是坐标的一次函数，但不是完全的一次函数，对提高计算精度有一定作用；根据最小势能原理，势能越小，则整体计算精度越高，从式,(4-72),与式,(4-77),比较两种单元计算得到的系统势能，可以看出，在相同的节点自由度情况下，矩形单元的计算精度要比三角形单元高。,23,
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