量子力学PPT文档.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 力学量随时间的演化与对称性,5.1 力学量随时间的演化,1、守恒量,量子力学中力学量的取值问题与经典不同。,在一个给定的态,（一般为力学量的非本征,态）中，力学量的取值有一定的几率分布，从,而有平均值的概念。,由于波函数随时间变化，力学量的平均值也,是随时间变化的。我们下面就研究这个问题。,1,其随时间的变化可以用对时间求导给出：,利用,Schrdinger,方程,利用算符的厄米性质,2,从而有,故若,则有,即,此时，力学量在任何态中的平均值均不随,时间变化,。,即,3,由此容易证明：此时力学量取值的几率也,不随时间变化。,则有,其中,证明如下：,4,下面我们看这个几率分布是否随时间变化。,将,a,k,代入,利用含时方程,厄米算符性质,5,可见,A,的取值几率分布是不随时间变化的。,故,A,称为,守恒量,。,按照上述定义，,量子力学中的守恒量,A,是指,：,并有两个重要性质:,平均值不随时间变化,测值几率分布不随时间变化,6,例1,例2,对于自由粒子,例3,中心力场中,因为,7,而,所以,可见,但是由于,即,8,2、量子力学中的守恒量与经典守恒量,的区别,守恒量不一定取确定值,9,守恒量是否处于某本征态由,初始条件,确定:,a.,若,初始,时为,A,的本征态，则体系保持本征态；,本征态对应的量子数称为,好量子数,b.,若,初始,时没有处于,A,的本征态，则以后任意,时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随,时间变化。,?,测值几率分布不随时间变化,假设力学量,A,是守恒量：,10,如中心力场中，,因而此时它们同时有确定值,0,。,量子力学各守恒量不一定都可同时取确,定值，,除非在同一个守恒量完全集中。,11,守恒量与定态的异同,（1）概念不一样,a.,定态是能量取确定值的状态能量本征态,b.,守恒量是特殊的力学量，要满足一定条件,（2）性质不一样,a.,在定,态,下，一切不含,t,的力学量，不管是否,守恒量，其平均值、几率分布都不随,t,改变。,b.,守恒,量,对一切状态不管是否定态，其平,均值、几率分布都不随,t,改变。,12,不管是定态问题还是力学量问题，都存在,力学量的平均值和取值的几率分布不随时间,变化问题。,所以，只有当体系即非定态，而所研究,的力学量又不是守恒量时，才讨论力学量,的平均值和取值几率分布随时间的变化问,题。,（3）相似处,13,3、能级简并与守恒量的关系,分析守恒量，便于确定能级是否简并，并设法标记简并态。,定理：,体系有两个彼此不对易的守恒量,即,则体系的能级一般是简并的。,方法一 证明：,14,15,16,证明：,设,据,可知,同理，由于,方法二（反证法）,17,这样,即若能级不简并，则,18,设,所有能级都不简并,，则对任意态 有,所以，不可能所有能级都不简并，即至少有一,些能级是简并的。一般来说能级是简并的（不,简并的只是个别能级）,19,推论1,非简并能量本征态必为某一守恒量本征态,用公式表示为,20,证明：,但能级,E,不简并,21,例,22,推论2,则体系所有能级都简并，而且简并度为无穷大,证明：,（用反证法）,但由题意知,这是相互矛盾的，,即所有能级都简并。,23,24,比较以上两式，可以发现求和没有发生 变化。,而,即,25,由于两式都是对矩阵乘积求迹，,如果,f,n,有限,，,则求迹与两矩阵乘积的次序无关。即,即：,而,矛盾,问题出来,f,n,有限！,所以,f,n,必为无穷度简并！,26,4、位力（,Virial,）定理,由定态性质得出的一个有用定理,27,而,但,28,所以：,或,这就是所谓的位力（,Virial,）定理。它描述,处于,定态的系统,，其动能平均值与势能平均值之间,的关系。,29,例1,证明：,这里显然要用位力定理来证。,30,作业：,P162 1,2,另：试利用位力定理证明，对于一维线性谐振子,体系，有,后面的例子自己看一看，特别注意库仑势。,31,32,特例,（在热统中有所介绍）,33,写成矢量的形式为,对此式两边求平均值，利用前面所给出的定理,即得,将此式用于几个特殊情况，有,（1）谐振子势,将,34,（2）,Coulomb,势,（3）,势,即有,35,例2,一质量,m,为的粒子在对数势场中运动，,试证明：,a),所有本征态具有相同的均方速度；,b),任何两能级间的间距与,m,无关；,分析：,a),均方速度与动能的平均值有关，这显然可,由位力定理给出。,b)主要,看能级是如何随质量变化的，这可以由,Hamiltonian,的平均值的计算给出。,36,证明：,a),为能量本征态。由位力定理,但,所以,或,由此得,且,37,b),由,得,但,所以,38,积分得,所以,这是与,m,无关的常数量。,39,