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关于勾股定理在折叠问题中的应用探究张浩(广西壮族自治区百色市凌云县第二中学 5 3 3 1 9 9)【摘要】勾股定理广泛应用于折叠问题中,求解时需要根据题干信息理解折叠过程,提取或构建直角三角形,利用勾股定理来推导其中的线段长.本文结合实例探究三种类型问题,剖析解题过程,总结方法策略.【关键词】勾股定理;折叠;最值折叠问题是初中数学的重点问题,该类问题求解时需要理解折叠过程,利用折叠特性解析.同时勾股定理也常用于线段长的推导中,思路构建时,需要提取其中的直角三角形,再结合勾股定理来开展线段推导或构建线段方程求解.下面结合实例,分情形进行应用探究.类型1 图形翻折求最值例1 如图1-(a),在边长为4的菱形A B C D中,A=6 0,M是AD边 上 的 一 点,且AM=14AD,N是A B边上的一动点,将AMN沿MN所在直线翻折得到A MN,连接A C,则A C长度的最小值是.图1解析 过点M作MHC D交C D延长线于点H,连接CM,在菱形A B C D中,AD=C D=4,C DA B.已知AM=14AD,则AM=1,MD=3.由于C DA B,则HDM=A=6 0,可推知DMH=3 0,则HD=12MD=32,所以HM=3 32,CH=DH+C D=1 12.在R t MCH中,由 勾 股 定 理 可 得MC=MH2+CH2=3 7.由题干可知将AMN沿MN所在直线翻折得到A MN,所以AM=A M=1,则点A 在以M为圆心,AM为半径的圆上,分析可知:当点A 在线段MC上时,A C长度取最小值,可求得最小值为A Cm i n=M C-MA=3 7-1.评析 上述为图形折叠求线段最值问题,求解时提取其中的R t MCH,利用勾股定理求解线段MC的长度.后续确定动点A 的运动轨迹,结合圆的性质和共线定理求解.其中应用勾股定理时,有两个关键点:一是作辅助线构建直角三角形;二是确定线段对应长度.类型2 双折叠求面积例2 如图2所示,将梯形A B C D(纸片)折叠,使点B与AD边上的点G重合,直线A E为折痕;点C也与AD边上的点G重合,直线D F为折痕.已知A E B=7 5,C F D=6 7.5,C F=4,则E F G的面积是.图2解析 根据折叠的性质可得B E=G E,C F=4 数理天地 初中版基础精讲2 0 2 3年9月上F G=4,A E B=A E G=7 5,C F D=G F D=6 7.5,所以F E G=3 0,E F G=4 5 .过点G作GHE F于点H,如图2所示.由于FHG=EHG=9 0,E F G=4 5,所以F GH是等腰直角三角形,结合勾股定理可得FH=GH=22F G=2 2.由于G EH=3 0,则EH=3GH=2 6,从而可求得E F G的面积=12E FHG=4 3+4.评析 上述为双折叠求面积问题,涉及两个三角形折叠,需要分别理解其中的折叠过程,再结合特性求解.而使用勾股定理时,涉及了特殊情形,即对于等腰直角三角形,可灵活运用勾股定理直接获得线段关系,即三角形的腰长为斜边长度的22.类型3 折叠中的多情形讨论例3 如图3,将长为4,宽为3的矩形纸片A B C D进行折叠,折痕为MN,点M,N分别在边AD,B C上,点A,B的对应点分别为E,F,当点E为C D的三等分点时,MN的长为.图3解析 如图3所示,设E F,B C交于点T,过点M作HMB C于点H,则四边形A BHM,C DMH均为矩形,则HM=A B=3,BH=AM.由折叠的性质可知AM=ME,F=B=A=ME F=9 0,BN=FN.情形1 当点E是C D靠近点D的三等分点时,D E=13C D=1,C E=23C D=2.设AM=ME=x,则DM=AD-AM=4-x.在R t DME中,D=9 0,由勾股定理得ME2=D E2+DM2,则x2=4-x 2+12,解得x=1 78,所以BH=AM=1 78,CH=DM=1 58.角度推导可得t a n DME=t a n C E T=D EMD=81 5,c o s DME=c o s C E T=DMME=1 51 7,所以C T=C Et a n C E T=1 61 5.设BN=NF=y,则NT=B C-BN-C T=4 41 5-y,已知F=C,F TN=C T E,则FNT=C E T,则有c o s FNT=c o s C E T,所以NF=NTc o s FNT=1 51 74 41 5-y =y,可解得y=1 18,则BN=1 18,所以NH=34,由勾股定理可得MN=MH2+NH2=3 1 74;情形2 同理可知:当E为C D靠近点C的三等分点时,MN=3 52;综上所述,MN=3 1 74或MN=3 52.评析 上述为图形折叠中的多情形讨论问题,讨论的关键是根据点E的位置分两种情形进行讨论.而在使用勾股定理时,需要注意两点:一是根据矩形及折叠性质提取其中的直角三角形;二是合理设定参数,结合勾股定理构建关于参数的方程.结语综上可知,上述对勾股定理在折叠问题中的应用进行了具体探究,分为了三种情形,涉及了折叠求最值、双折叠求面积、折叠中的多情形讨论.问题的综合性较强,探究解析时需要理解折叠过程,提取其中的直角三角形,灵活运用勾股定理或变形式直接求线段或构建关于线段的参数方程.52 0 2 3年9月上基础精讲 数理天地 初中版