离散型随机变量的均值和方差(课堂PPT).ppt

思考：,例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数,X,1,，,X,2,的分布列如下：,X,1,8,9,10,P,0.2,0.6,0.2,X,2,8,9,10,P,0.4,0.2,0.4,谁的水平高些？,1,复习引入,对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看,平均分,；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的,方差,。,我们还常常希望,直接通过数字,来反映随机变量的某个方面的特征，最常用的有,期望与方差,.,2,2.3,离散型随机变量的均值和方差,高二数学 选修,2-3,3,1,、某人射击,10,次，所得环数分别是：,1,，,1,，,1,，,1,，,2,，,2,，,2,，,3,，,3,，,4,；则所得的平均环数是多少？,把环数看成随机变量的概率分布列：,X,1,2,3,4,P,权数,加权平均,二、具体问题,4,2,、某商场要将单价分别为,18,元,/kg,，,24,元,/kg,，,36,元,/kg,的,3,种糖果按,3,：,2,：,1,的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？,X,18,24,36,P,把,3,种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：,5,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,一般地，若离散型随机变量,X,的概率分布为：,则称,为随机变量,X,的均值或数学期望。,它反映了离散型随机变量取值的平均水平。是一个常数。,6,设,Y,aX,b,，其中,a,，,b,为常数，则,Y,也是随机变量,（,1,）,Y,的分布列是什么？,（,2,）,EY=,？,思考：,7,8,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,二、数学期望的性质,9,三、基础训练,1,、随机变量,的分布列是,1,3,5,P,0.5,0.3,0.2,(1),则,E=,.,2,、随机变量,的分布列是,2.4,(2),若,=2+1,，则,E=,.,5.8,4,7,9,10,P,0.3,a,b,0.2,E=7.5,则,a=,b,=,.,0.4,0.1,10,例,1.,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知某运动员罚球命中的概率为,0.7,，则他罚球,1,次的得分,X,的均值是多少？,一般地，如果随机变量,X,服从两点分布，,X,1,0,P,p,1,p,则,四、例题讲解,小结：,11,例,2.,篮球运动员在比赛中每次罚球命中得,1,分，罚不中得,0,分已知某运动员罚球命中的概率为,0.7,，他连续罚球,3,次；,（,1,）求他得到的分数,X,的分布列；,（,2,）求,X,的期望。,X,0,1,2,3,P,解,：,(1)X,B,（,3,，,0.7,）,(2),12,一般地，如果随机变量,X,服从二项分布，即,X,B,（,n,p,），则,小结：,基础训练：,一个袋子里装有大小相同的,3,个红球和,2,个黄球，从中有放回地取,5,次，则取到红球次数的数学期望是,.,3,13,14,离散型随机变量取值的方差,一般地，若离散型随机变量,X,的概率分布为：,则称,为随机变量,X,的,方差,。,称,为随机变量,X,的,标准差,。,它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。,15,三、基础训练,1,、已知随机变量,X,的分布列,X,0,1,2,3,4,P,0.1,0.2,0.4,0.2,0.1,求,DX,和,X,。解：,16,2,、若随机变量,X,满足,P,（,X,c,）,1,，其中,c,为常数，求,EX,和,DX,。,解：,X,c,P,1,离散型随机变量,X,的分布列为：,EX,c1,c,DX,（,c,c,）,2,1,0,17,四、方差的应用,例：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数,X,1,，,X,2,分布列如下：,用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。,X,1,8,9,10,P,0.2,0.6,0.2,X,2,8,9,10,P,0.4,0.2,0.4,解：,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在,9,环，而乙得分比较分散，近似平均分布在,8,10,环。,18,问题,1,：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？,问题,2,：如果其他对手的射击成绩都在,8,环左右，应派哪一名选手参赛？,问题,3,：如果其他对手的射击成绩都在,9,环左右，应派哪一名选手参赛？,X,1,8,9,10,P,0.2,0.6,0.2,X,2,8,9,10,P,0.4,0.2,0.4,19,练习：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,甲单位不同职位月工资,X,1,/,元,1200,1400,1600,1800,获得相应职位的概,率,P,1,0.4,0.3,0.2,0.1,乙单位不同职位月工资,X,2,/,元,1000,1400,1800,2200,获得相应职位的概,率,P,2,0.4,0.3,0.2,0.1,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,20,解：,在两个单位工资的数学期望相等的情况下，如果认为自己能力很强，应选择工资方差大的单位，即乙单位；如果认为自己能力不强，就应选择工资方差小的单位，即甲单位。,21,五、几个常用公式：,22,相关练习：,3,、有一批数量很大的商品，其中次品占,1,，现从中任意地连续取出,200,件商品，设其次品数为,X,，求,EX,和,DX,。,117,10,0.8,2,，,1.98,23,课堂小结,一、离散型随机变量的期望和方差,二、性质,三、如果随机变量,X,服从两点分布，,四、如果随机变量,X,服从二项分布，即,X,B,（,n,p,）,24,25,26,27,1.,一次英语单元测验由,20,个选择题构成，每个选择题有,4,个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得,5,分，不作出选择或选错不得分，满分,100,分，学生甲选对任一题的概率为,0.9,，学生乙则在测验中对每题都从,4,个选项中随机地选择一个。求学生甲和乙在这次英语单元测验中的,成绩,的期望。,五、巩固应用,28,2.,决策问题：,根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为,0.25,，有大洪水的概率为,0.01,，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失,60000,元，遇到小洪水时要损失,10000,元。为保护设备，有以下种方案：,方案,1,：运走设备，搬运费为,3800,元。,方案,2,：建保护围墙，建设费为,2000,元，但围墙只能,挡住小洪水。,方案,3,：不采取措施，希望不发生洪水。,试比较哪一种方案好。,29,3.,某商场的促销决策：,统计资料表明，每年国庆节商场内促销活动可获利,2,万元；商场外促销活动如不遇下雨可获利,10,万元；如遇下雨则损失,4,万元。,9,月,30,日气象预报国庆节下雨的概率为,40%,，商场应选择哪种促销方式？,30,4.,（,07,全国）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的分起付款期数 的分布列为：,1,2,3,45,P,0.4,0.2,0.2,0.1,0.1,商场经销一件该商品，采用,1,期付款，其利润为,200,元，分,2,期或,3,期付款，其利润为,250,元，分,4,期或,5,期付款，其利润为,300,元，表示经销一件该商品的利润。,（,1,）求事件,A,：”购买该商品的,3,位顾客中，至少有一位采用,1,期付款”的概率,P(A),；,（,2,）求 的分布列及期望,E,。,31,0.03,0.97,P,1000,a,1000,E =1000,0.03a0.07a,得,a10000,故最大定为,10000,元。,练习：,1,、若保险公司的赔偿金为,a,（,a,1000,）元，为使保险公司收益的期望值不低于,a,的百分之七，则保险公司应将最大赔偿金定为多少元？,32,2,、射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是,0.7,若枪内只有,5,颗子弹,求射击次数的期望。,(,保留三个有效数字,),0.3,4,0.3,3,0.7,0.3,2,0.7,0.3,0.7,0.7,p,5,4,3,2,1,E =,1.43,33,六、课堂小结,一、离散型随机变量取值的平均值,数学期望,二、数学期望的性质,34,三、如果随机变量,X,服从两点分布，,X,1,0,P,p,1,p,则,四、如果随机变量,X,服从二项分布，即,X,B,（,n,p,），则,35,证明：,所以,若,B(n,，,p),，则,E,np,证明：若,B(n,，,p),，则,E,np,36,