1、返回,后页,前页,2,隐 函 数 组,隐函数组存在性、连续性与可微性,是函数方程组求解问题理论基础.利用隐函数组思想,又可进而讨论反函数组与坐标变换等特殊问题,.,一、隐函数组概念,二、隐函数组定理,三、反函数组与坐标变换,第1页,第1页,一、隐函数组概念,设有一组方程,使得对于任给,足方程组(1),则称由(1)拟定了隐函数组,有惟一 与之相应,且使,满,其中函数 定义在区域 若存在区域,第2页,第2页,并有,关于隐函数组普通情形(含有,m,+,n,个变量,m,个方程所拟定,n,个隐函数)，将在第二十三,章采用向量函数形式作进一步讨论,第3页,第3页,首先来看看,若由方程组(1)能拟定两个可微
2、隐,函数 ,则函数,应满,足何种条件呢?,不妨先设 都可微,由复合求导法,通过对(1),分别求关于,x,与,y,偏导数,得到,第4页,第4页,能由(2)与(3)惟一解出 充要,条件是雅可比(Jacobi)行列式不等于零，即,由此可见，只要 含有连续一阶偏导数，且,其中 是满足(1)某一,初始点,则由保号性定理，使得在此邻域,内(4)式成立,依据以上分析,便有下述隐函数组定理.,第5页,第5页,雅可比（,Jacobi,C.G.J.,1804-1851,德国,）,第6页,第6页,定理 18.4,(隐函数组定理),设方程组(1)中函数,F,与,G,满足下列条件：,(i)在以点 为内点某区域,上连续；
3、ii)(初始条件);,(iii)在,V,内存在连续一阶偏导数；,(iv),二、隐函数组定理,第7页,第7页,即有,则有下列结论成立：,且满足,必定存在邻域,其中,使得,第8页,第8页,在 上连续.,在 上存在一阶连续偏导,数,且有,本定理详细证实从略(第二十三章有普通隐函,数定理及其证实),下面只作一粗略解释:,第9页,第9页,由方程组(1)第一式 拟定隐,函数,将 代入方程组(1)第二式,得,再由此方程拟定隐函数 并代回至,这样就得到了一组隐函数,第10页,第10页,通过详细计算,又可得出下列一些结果:,第11页,第11页,例1,设有方程组,试讨论在点 近旁能拟定如何隐函,数组？并计算各
4、隐函数在点 处导数.,解,易知点 满足方程组(5).设,第12页,第12页,它们在 上有连续各阶偏导数.再考察,在点 关于所有变量雅可比矩阵,由于,第13页,第13页,因此由隐函数组定理可知,在点 近旁能够惟一,地拟定隐函数组:,但不能必定,y,z,可否作为,x,两个隐函数.,第14页,第14页,利用定理 18.4 结论 ,可求得隐函数在点 处,导数值:,第15页,第15页,*注,通过详细计算,还能求得,这阐明 处取极大值,从而知道,在点 任意小邻域内,对每一个,x,值,会有,多个,y,值与之相应.类似地,对每一个,x,值,也会有多个,z,值与之相应.因此方程组(5)在点,近旁不能惟一拟定以,
5、x,作为自变量隐函数组.,第16页,第16页,例 2,设函数 含有连续偏导数,是由方程组,所拟定隐函数组.试求,解,设 则有,第17页,第17页,由此计算所需之雅可比行列式:,于是求得,第18页,第18页,注,计算隐函数组偏导数(或导数)比较繁琐,要学懂前两例所演示办法(利用雅可比矩阵和,雅可比行列式),掌握其中规律.这里尤其需要,“,精心,细心,耐心,”.,第19页,第19页,三、反函数组与坐标变换,设有一函数组,它拟定了一个映射(或变换):,写成点函数形式,即为 并记,象集为 现在问题是:函数组(6)满足,何种条件时,存在逆变换 即存在,第20页,第20页,亦即存在一个函数组,使得满足,这
6、样函数组(7)称为函数组(6),反函数组,.它,存在性问题可化为隐函数组相应问题来处理.,第21页,第21页,为此,首先把方程组(6)改写为,然后将定理 18.4 应用于(8),即得下述定理.,定理 18.5,(反函数组定理),设(6)中函数在某区域,上含有连续一阶偏导数,是,内点,且,第22页,第22页,则在点 某邻域 内,存在惟一,另外,反函数组(7)在 内存在连续一阶,一组反函数(7),使得,偏导数;若记,第23页,第23页,则有,同理又有,第24页,第24页,由(9)式进一步看到:,此式表示:互为反函数组(6)与(7),它们雅,可比行列式互为倒数.这和以前熟知反函数求,导公式相类似,亦
7、即一元函数导数和函数组(6),雅可比行列式互为相应物.,第25页,第25页,例3,平面上点直角坐标 与极坐标 之,间坐标变换为,试讨论它逆变换.,解,由于,因此除原点(,r,=0)外,在其余一切点处,T,存在,逆变换,第26页,第26页,第27页,第27页,例4,空间直角坐标 与球坐标 之间,坐标变换为(见右图),由于,第28页,第28页,因此在 (即除去,Oz,轴上一切点)时,存在逆变换,例5,设有一微分方程(弦振动方程):,其中 含有二阶连续偏导数.试问此方程在,坐标变换,之下,将变成何,种形式?,第29页,第29页,解,据题意,是要把方程(10)变换成以,u,v,作为自,变量形式.现在按此目的计算下列:首先有,故,T,逆变换存在,并且又有,依据一阶微分形式不变性,得到,并由此推知,第30页,第30页,继续求以,u,v,为自变量 与 表示式:,最后得到以,u,v,为自变量,微分方程为,第31页,第31页,复习思考题,1.,验证:定理 18.4 结论 能够写成,2.,验证:由定理 18.5 (9)式(书本中为(13)式),能够推得,第32页,第32页,
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