二元复变函数的解析性.pdf

第52 卷第3期2023年6 月D0I:10.3969/J.ISSN.1000-5137.2023.03.006上海师范大学学报（自然科学版）Journal of Shanghai Normal University(Natural Sciences)二元复变函数的解析性Vol.52,No.3Jun.,2 0 2 3耿永才，陈玲（上海应用技术大学理学院，上海2 0 1418）摘要：由于复变函数的复杂性，很多有关复变函数的教材都重点介绍了一元复变函数的性质，简单地提及了多元复变函数，但是对多元函数的解析性，比如二元复变函数的柯西-黎曼条件，没有具体的推导.本文利用数学分析和一元复变函数的研究方法，对二元复变函数的解析性进行了讨论。关键词：二元复变函数；解析函数；柯西-黎曼条件中图分类号：0 17 4.5文献标志码：A文章编号：10 0 0-5137(2 0 2 3)0 3-0 32 3-0 4The analyticity of double complex variables functionsGENG Yongcai,CHEN Ling(College of Sciences,Shanghai Institute of Technology,Shanghai 201418,China)Abstract:Due to the complexity of complex functions,many textbooks focus on the nature of univariate variable complexfunctions,but just simply mention multi-complex variables functions.However,there is no specific derivation for the analyticityof multivariate functions,such as the Cauchy Riemann condition.We will consider the analyticity of the double complexvariables function.The methods of mathematical analysis and univariate variable complex functions will be applied to study theaforementioned question.Key words:double complex variables function;analytic function;Cauchy-Riemann condition0引言复变函数是自变量为复数的函数.众所周知，实数范围内一元二次方程求解时，如果判别式小于零，就会出现负数开平方的问题.16 世纪中叶，意大利的卡尔丹首先提出了复数开平方的思想，这就是复数的雏形11.17 7 7 年，欧拉系统地建立了复数理论，发现了指数函数和三角函数的关系2 1.19世纪,经过数学家柯西、黎曼、维尔斯特拉斯的努力，非常系统的复数理论已经形成，其在热力学、电磁学和流体力学方面有很多的应用3-4.收稿日期：2 0 2 3-0 2-12基金项目：上海应用技术大学中青年发展基金项目（10 12 0 K219045-A06)ZQ2021-20；上海应用技术大学校级重点建设课程（10 110 M230056-A22)作者简介：耿永才（197 9一），女，副教授，主要从事偏微分方程理论方面的研究.E-mail：y c g e n g j s i t.e d u.c n引用格式：耿永才，陈玲二元复变函数的解析性J.上海师范大学学报（自然科学版）,2 0 2 3，52（3）：32 3-32 6.Citation format:GENG Y C,CHEN L.The analyticity of double complex variables functions J.Journal of ShanghaiNormal University(Natural Sciences),2023,52(3):323-326.(2)324对于一元复变函数而言，每个自变量都对应着独立的两个部分：实部和虚部；因变量也对应着两个独立的部分：实部和虚部.一元复变函数其实相当于两个独立的实变元作为自变量，而因变量又相当于两个独立的二元函数.所以与一元实变函数不同的是，一元复变函数的自变量变化的范围不是区间而是区域，极限没有左右极限，积分不是定积分而是两个独立的第二类曲线积分.由于因变量也是二元的，在研究可微性时，实部和虚部两个二元函数不但要可微，同时也要满足柯西-黎曼条件.在求解解析函数的积分时，两个柯西-黎曼条件相当于两个格林公式,因此自然得到了解析函数的柯西定理.通过上面分析可知，当复变函数的自变量有两个时，其实相当于有4个独立的实变量，通过对应法则后，因变量仍然有实部和虚部，并且这两部分都相当于以4个独立实变量作为自变量的四元函数.所以要研究该函数的极限、连续性、可微性和可积性具有一定的难度和创新性.基于此，本文作者主要研究二元复变函数的解析性和可积性，导出解析函数的柯西-黎曼条件和积分运算.1二元复变函数的性质1.1二元复变函数的极限与连续定义1设复数集合Z,对于任意两个独立的复数z=x,+iy,Z,j=1,2,有唯一确定的复数w=u(z1,z2)+iv(z1,z2)与之对应,则称在D=ZZ上确定了一个单值函数w=f(z1,z2),xj,y,R,j=1,2.其u(z1,z2)=u(x1,X2,2),v(z1,z2)=v(x,X2,1,2)为两个四元实变函数.1.1.1二元复变函数的极限定义2 设函数w=f(zi,z)在D上确定,P.是D的聚点.A=+ib,a,bR是一个常复数.如果对任意给定的0,可以找到一个与有关的正数=8(a)0,使得当PU(P；)n D 时,都有If(P)-A,则称在D上当PP。时以A为极限，记作(1)PP。PeD若用(z1,z2),(zi,z2)分别表示P,P。时,式(1)写为：(21.22)(21,29)lim f(z1,z2)=A1.1.2二元复变函数的连续性定义3 设w=f(zi,z2)=u(x1,x2,J1,2)+iv(xi,X2,1,y2)在D的聚点P。D.如果有则w=f(z1,z2)在点P(对于集合D)上连续.如果w=f(z1,z2)在D上的每一个聚点连续,则w=f(z1,z2)在集合D上连续.对于复变函数w=f(z,zz)=u(x1,x2,1,2)+iv(x,2,)来说,(z)在点(zi,z)(其中z=+iy且z2=x+iy9)连续的条件等价于：(4)1.2二元复变函数的解析性定理（柯西-黎曼条件）让(z,z2)在点(z,z2)D可微的必要与充分条件是：在点(z1,z2)u(x,x2,J1,2)及v(x1,x2,J1,2)都可微，并上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）limu(z1,z2)=a,且 lim(21,z2)=b.(2i,22)(2i,2)lim(z1,z2)=f(zi,z2),(zi.22)(2i.22)limlim设二元复变函数w=f(z1,z2)=u(zi,z2)+iv(z,z2)在区域D内确定,则w=2023年lim f(P)=A.(21,z2)(2i,29)u(xi,x2,yi,y2)=u(xi,x2,yi,y9),v(x1,x2,y1,y2)=v(xi,x2,yi,y2).(3)第3期证明先证必要性：设w=f(z1,z2)在点(z1,z)有f对z,的偏导数i,=a+ib1,有f对z,的偏导数2,z=az+ib2,这里ai,b1,a2,b,均为实数.根据导数定义,当(zi+z1,zz+zz)D时(z,0),(6)在这里，z=Axi+iyi,z,=Ax+iy2,然后引入虚部和实部可以得到：u(x+Axi,X2,y1+Ay1,y2)-u(xi,X2,y1,y2)+iv(XI+Axi,X2,Ji+Ay1,y2)-v(xi,X2,y1,y2)=u(x1,X2+Ax2,y1,y2+Ay2)-u(xX1,X2,Y1,y2)+iv(X,X2+Ax2,1,y2+Ay2)-v(x1,X2,y1,y2)=当忽略高阶无穷小项时，式(7)变为：根据中值定理，有Qu0 xAxxyux 2+x2y20 x2y2Ay2=azAy2+b,Ax2,对比式(9)两边，可以得到：ua1，oyva12Qua2，Ou=-b2,x2y2a2，=b2,ay20 x2即：QuyyouQu0 x2ay2ay2所以可微的必要性得证.再证充分性：耿永才，陈玲：二元复变函数的解析性ouvouaxOyyiaxx2oy2ay2f(z)+z 1,z 2 +z 2 )-f(z 1,z,)=,z+2z,+(p),(a,+ib,)(Ax;+iAy.)+o(z,D,(a2+ib,)(Ax2+iAy2)+o(z 2 D.u(xi+Axi,x2,yi+Ay1,y2)-u(xi,X2,y1,y2)=a,Ax,-b,Ay1,v(xi+Axi,X2,yi+Ayi,y2)-v(x1,X2,y1,y2)=a,Ayi+b,Ax1,u(x1,X2+Ax2,y1,y2+Ay2)-u(xi,X2,y1,y2)=a,Ax2-b,Ay2,v(x1,X2+Ax2,y1,y2+Ay2)-v(xi,X2,Ji,y2)=a2Ay22+b,Ax2.325ouuax2uAyi=a,Axi-b,Ayi,y1Ayi=a,Ayi+b,Axi,Ay2=a,Ax2-b,Ay2,ou-b1,=b1,ou0 x2(5)(7)(8)(9)(10)(11)326因为u(x1,X2,1,2)及v(x1,X2,J1,2)在点(z1,z)上都可微,并且ovouayiayiOxox2-0y2y2成立,又因为u(x+Axi,X2,I+Ayi,y2)-u(x1,X2,y1,y2)=a,Ax,-b,Ayi+o(z,D,V(x)+Ax1,X2,yi+Ay1,y2)-v(x1,X2,J1,y2)=a,Ay1+b,Axi+o(Az,D,u(x1,X2+Ax2,y1,y2+Ay2)-u(x1,X2,y1,y2)=a,Ax2-b,Ay2+o(AzD,v(xX1,X2+Ax2,y1,y2+Ay2)-v(x1,X2,1,y2)=a,Ay2+b,Ax2+o(Az2D,且z/0,z2/0,其中,(zI+z1,z2+z2)D(z1,z2 0).将式(13)的第二和第四方程分别乘i,再分别和第一、第三方程相加,得到：f(z,+z1,Z2+z,)-f(z1,z2)=,z,+2z2+(p),所以,w=f(z1,z2)在点(z1,z2)处可微,有偏导数,=a+ibi,2=az+ib2.2结语本文主要讨论了二元复变函数的解析性，通过具体的证明，得到了二元复变函数解析的充分必要条件，从数学本质上得到了和一元解析函数黎曼-柯西条件的异同.上海师范大学学报（自然科学版）J.ShanghaiNormalUniv.（Na t.Sc i.）ouOvOu2023年u-(12)0 x2(13)(14)参考文献：1WU H F.Introduction to History of Mathematics in China D.Haikou:Hainan Normal University,2014.2WU H M.Reflection on the teaching of mathematical concepts:discovering the“beauty of mathematical culture JJ.New Curriculum(Middle School),2013,12:134-135.3CAI S H.Q&A on teaching the“Plural chapter of mathematics in senior three J.Reference for Middle SchoolMathematics Teaching,2002(12):1-3.4KONG F H.An example of teaching design based on the history of mathematics:plural(lesson one)J.Middle SchoolMathematics Monthly,2012(7):26-28.5YU J R.Complex Functions M.3rd ed.Beijing:Higher Education Press,2000.（责任编辑：冯珍珍）