1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,定积分的换元法,上一节我们建立了积分学两类基本问题之间的联系,微积分基本公式，利用这个公式计算定积分的关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分的两种基本方法，如果能把这两种方法直接应用到定积分的计算，相信定能使得定积分的计算简化，下面我们就来建立定积分的换元积分公式和分部积分公式。,1,先来看一个例子,例,1,换元求不定积分,令,则,故,2,为去掉根号,令,则,当,x,从,0,连续地增加到,4,时，,t,相应地从,1,连续地增加到,3,于是,尝试一下直接换元求定积分,3,将上例一般化就得到定积分
2、的换元积分公式,由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量,4,一、换元公式,5,证,6,7,应用换元公式时应注意,:,（,1,）,（,2,）,8,计算,解,1,由定积分的几何意义,等于圆周的第一象限部分的面积,解,2,故,o,例,2,9,令,解,4,令,仍可得到上述结果,解,3,10,解,令,例,3,计算,11,定积分的换元积分公式也可以反过来使用,为方便计,将换元公式的左、右两边对调,同时把,x,换成,t,，,t,换成,x,这说明可用,引入新变量,但须注意如明
3、确引入新变量，则必须换限,如没有明确引入新变量，而只是把,整体视为新变量，则不必换限,注,12,例,4,计算,解,13,例,5,计算,解,原式,14,例,6,计算,解一,令,原式,15,解二,接解一,对,令,则,16,证,17,即：奇函数在对称区间上的积分等于,0,偶函数在对称区间上的积分等于对称的,部分区间上积分的两倍,由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的,18,例,8,计算,解,原式,偶函数,奇函数,四分之一单位圆的面积,19,20,（,1,）设,（,2,）设,证,21,22,另证,将上式改写为,奇函数,23,例,10,设,f,(,x,),是以,L,为周期的连续函数，证明,证明,与,a,的值无关,24,例,11,设,f,(,x,),连续，常数,a,0,证明,证明,比较等式两边的被积函数知，,25,26,例,12,设,f,(,x,),连续,解,27,28,29,定积分的换元法,几个特殊积分、定积分的几个等式,二、小结,30,思考题,解,令,31,思考题解答,计算中第二步是错误的,.,正确解法是,32,练 习 题,33,34,35,36,练习题答案,37,
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