“数”的属性运算,“形”的特征推理——2023年高考数学全国甲卷理科第16题探究.pdf

解三角形问题的创设可以巧妙融合初高中阶段中的不同知识与思想方法，以及高中阶段中的不同知识模块，形成良好的知识交汇与综合应用，一直是高考中比较常见的一类考查形式.结合一道高考真题的呈现与解析，剖析思维方法，发散思维方式，归纳解题技巧，构建知识体系与提升数学能力，引领并指导解题研究.关键词：解三角形；高考题；解题研究解三角形问题有机“串联”起初中与高中的数学基础知识,构建初中与高中阶段不同知识模块之间的联系，合理交汇与融合平面几何、函数与方程、三角函数、平面向量、不等式等相关知识，充分落实新课标中“在知识交汇点处命题”的命题指导思想，是高考命题中的一个基本考点,在小题（选择题或填空题)与解答题中均有出现,倍受各方关注.1真题呈现高考真题：（2 0 2 3 年高考数学全国甲卷理科16)在ABC中,AB=2,ZBAC=60,BC=/6,D为BC 上一点,AD 为ZBAC的平分线,则AD=2真题剖析此题以三角形中的两边与其中一边的对角给出相应数据,结合该角的角平分线来创设问题场景，确定该角平分线在顶点与边之间的线段长度问题.问题简捷清晰,有“数”的属性,有“形”的特征.通过“数”与“形”的融合，可以通过解三角形思维从“数”的视角来数学运算，也可以通过平面几何思维从“形”的视角来直观想象，不同的思维视角切人，都可以很好达到解题的目的.3真题破解3.1解三角形思维方法1：（解三角形法1）解析：依题在ABC中,AB=2，Z BA C=6 0，BC=/6,利用余弦定理可得BC=AB+AC-2ABACcos ZBAC,则有 6=4+AC?-2AC,即AC-2AC-2=0,解得AC=1+/3（负值舍去），90_数学之友又AD为BAC的平分线,且ZBAC=60,结合SAABD+S ACD=SABC，可得ABADsin30+1-ACADsin30=221+则有24故填答案：2.方法2：（解三角形法2)解析：依题在ABC中,AB=2，Z BA C=6 0，BC=/6,利用余弦定理可得 BC=AB+AC-2ABACcos Z BAC,则有 6=4+AC?-2AC,即AC-2AC-2=0,解得AC=1+/3（负值舍去)，而AD为ZBAC的平分线，则有则有AC-CD2BD解得BD=/6-/2,1+/3/6-BD在ABD 中,AB=2,ZBAD=30,BD=/6-/2,利用余弦定理可得BD=AB+AD-2ABADcos Z BAD,则有 8-4/3 =4+AD-2/3AD,即AD-2/3AD+4/3-4=0,解得AD=2(负值舍去），故填答案：2.解后反思：涉及解三角形问题，最常用的解题思维就是利用解三角形思维来分析与转化.借助解三角形中的正弦定理、余弦定理进行边与角的相互转化，以及三角形的面积公式、三角形的几何性质等加以综合应用.以上两种方法中，在确定三角形第三边长的基础上,可以进一步利用三角形的面积法或余弦定理法，从不同思维视角来分析与求解.1-AB ACsin 60,(1+/3),解得AD=2,2AB_ BD数学之友3.2综合思维方法3：（解三角形+平面几何法1）解析：依题在ABC中，AB=2，Z BA C=6 0,BC=/6,利用正弦定理可得sin ZBACsin CABsinZBAC2V2sin C=BC又 Z BAC=60,则有 C=45,可得 B=180-45-60=75,又AD为ZBAC的平分线，且ZBAC=60,如图所示,可得ZBAD=30，结合B=75,可得LADB=180-30-A75=75,所以AD=AB=2,故填答案:2.方法4：（解三角形+平面几何法2）解析：依题在ABC中，AB=2，Z BA C=6 0，BC=/6,利用正弦定理可得sinZBACsin CV32xABsin BAC2V2sin C=BC又 Z BAC=60,则有 C=45,过点A作BC的垂线，垂足分别为H,则知Z HAC=C=45,可得ZBAH=ZDAH=15,所以 AD=AB=2,故填答案：2.解后反思：涉及解三角形问题，经常是融合解三角形知识与平面几何知识加以综合应用,通过解三角形转化相应的边或角，而结合平面几何加以直观分析或逻辑推理，综合起来达到巧妙解决解三角形问题.解三角形与平面几何知识相交渗透与交汇,是解决解三角形问题中比较常见的一种技巧方法.方法5：（解三角形+平面向量法）解析：依题在ABC中，AB=2，Z BA C=6 0,BC=/6,利用余弦定理可得BC=AB+AC-2ABACcos Z BAC,则有 6=4+AC?-2AC,即AC-2AC-2=0,解得AC=1+/3（负值舍去)，2023年第1 5 期AB而AD为ZBAC 的平分线，则知ADAC+AC+ABACAC+AC+AB3BCAB则有23C2/3-2(1+/3)=4,3D所以AD=IADI=2,故填答案:2.解后反思：涉及解三角形问题,从另外一个视角可以融合解三角形知识与平面向量知识加以综合应用,通B过解三角形转化相应的边或角，而结合平面向量加以直观分析或数学运算,综合起来达到巧妙解决解三角形问题.解三角形与平面向量知识相交渗透与交汇,也是解决解三角形问题中比较常见的另外一种技巧方法.3.3平面几何思维方法6：（纯平面几何法）BCAB则有垂足分别为E,F,在 Rt A BE 中,AB=2,ZBAC=60,可得 AE=1,BE=/3,V623又AC.AB=IACIIABIcos LBAC=1+/3,3-/34-2/3所以IADI?=ABAC34-2/3X（33解析：如图所示，分别过点B,D作AC的垂线，在 RtBEC 中,BC=/6,BE=/3，利用勾股定理可得CE=/6-3=/3,则知 C=45,又AD为ZBAC的平分线，且ZBAC=60,可得ZDAC=30,设AD=x,在 RtA D F 中,AF=1所以AC=AF+CF:=AE+CE=1+/3,解22得x=2,所以AD=2,故填答案：2.解后反思：涉及解三角形问题，回归解三角形中的平面几何本质，借助平面几何图形的直观分析，通过平面几何中的相关性质加以直观分析与逻辑推理,并结合数学运算来分析与求解.回归平面几何本质,回归初中平面几何知识，有时可以非常巧妙地解决一些相关的解三角形问题(下转第9 4 页）333CF=DF22V3IACI2+3+一4+3BDEF12023.15_91数学之友2023年第1 5 期（x）a2ln(1+a)0,所以函数g（)在（0,+）上单调递增,可得g(x)g(0)=ln a+ln(1+a)0,即ln(1+a)0,亦即a(1+a)1,/5-1结合E(0,1),解得)1,即的取值范25-1围是2解后反思：根据题设条件，结合函数在给定区间上单调递增其对应的导函数恒大于等于0,并结合导函数所对应的新函数的构建,进一步加以求导,确定其是给定区间上的单调递增,利用端点效应法，进而得到其端点处的导函数值恒非负，通过不等式的求解来确定参数的取值范围.借助关系式的不同变形与转化,通过不同函数的构建，为端点效应法的应用提供不同的思维方向与解题场景。3变式拓展借助指数型函数的应用，合理类比到对数型函数中去,从另一个侧面来理解与掌握函数与导数的综合应用，得到以下相应的变式问题.变式：（原创题）设E（0,1）,若函数f(）=logax+log(1+a）x 在（0,+）上单调递增，则a的取值范围是答案：4教学启示4.1总结常规方法，归纳常见思维解答一些解析式中带有参数的函数的单调性、极值或最值等综合应用问题，主要是借助函数的求导,通过导函数的构建,从函数的图象或不等式恒成，故填答案立等方面数形直观或逻辑推理，借助方程的恒等变形以及不等式性质，合理采取参变分离、主元分离、端点效应等思维方式，做到一“变”一“常”，一“静”一“动”,结合相关的技巧方法来分析与处理。4.2倡导“一题多解”,实现“一题多得”选取一些经典的高考导数真题，在问题解决的前提下,要适当停下来，合情合理适时地反思，领悟其中蕴含地数学思想，不同视角、不同层面进行深层次探究与剖析，以期达到触类旁通，举一反三，全面运用“一题多思”“一题多解”“一题多变”手段,真正达到“一题多得”的学习效果.借助“一题多解”，可以使得我们更加熟练和牢固地掌握数学知识，更加完善地建立知识体系，获得更开阔地解题思路，解题效益从而真正提高，发散思维能力进一步提升，我们学习的主动性、积极性和趣味性有了进一步激发,从而我们的知识水平和思维能力有了全面提高。.(上接第9 1 页）段中的不同数学基础知识，自然融人数学思想方法4变式拓展与技巧策略等，借助“数”的内涵，进行数学运算，回在原高考真题的基础上，可以进一步探究与相关边有关的几何图形问题，借助三角形的面积来合理设置相应的变式问题.变式1:在ABC 中,AB=2,ZBAC=60,BC=V6,D为BC上一点，AD为ZBAC的平分线，则A BD 面积为解析：由高考真题可得AD=2，1所以S AABD=-ABADsin30=1,故填答案:1.25考教学启示5.1“数”与“形”的融合，化归与转化应用解三角形问题的情境应用,巧妙创设初高中阶归“形”的实质,巧妙直观想象.通过“数”与“形”的融合形成完美统一的数形结合的综合体，栩棚如生，生动形象，借助“数”与“形”的技巧策略来应用，完成高中阶段中此类数形兼备的解三角形的典型综合应用问题.5.2回归平面几何，拓展思维方式在解三角形问题中，借助相应的定理、公式等实现三角形中边与角的转化与应用,同时巧妙回归平面几何图形的直观图形，合理数形结合来直观处理平面几何问题，从而全面合理链接起初中的平面几何知识与高中的解三角形知识,数形结合来处理解三角形问题,巧妙实现初高中知识间的交汇与融合，全面拓展数学思维方式与解题策略94_数学之友