高三数学-第64课时-棱柱与棱锥教案-.doc

课题：棱柱与棱锥
教学目标：了解棱柱、棱锥的概念，掌握棱柱、正棱锥的性质，绘画直棱柱、正棱锥的直观图.
教学重点： 掌握棱柱、正棱锥的性质及性质的运用
（一） 主要知识及主要方法：
有两个面互相平行，其余各面的公共边互相平行的多面体叫做棱柱.侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱.底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
棱柱的各侧棱相等，各侧面都是平行四边形；长方体的对角线的平方等于由一个顶点出发的三条棱的平方和.
一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥.底面是正多边形并且顶点在底面上的射影是正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.
棱锥中与底面平行的截面与底面平行，并且它们面积的比等于对应高的平方比.
在正棱锥中，侧棱、高及侧棱在底面上的射影构成直角三角形；斜高、高及斜高在底面上的射影构成直角三角形.
三棱锥的顶点在底面三角形上射影位置常见的有：
① 侧棱长相等外心；②侧棱与底面所成的角相等外心；
② 侧面与底面所成的角相等内心；④顶点到底面三边的距离相等内心；
⑤三侧棱两两垂直垂心；⑥相对棱两两垂直垂心.
求体积常见方法有：①直接法（公式法）；②转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；③分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；④补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；⑤四面体体积变换法；⑥利用四面体的体积性质：（ⅰ）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅱ）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.
（二）典例分析：
问题1．（全国Ⅱ文）下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）

（江西文）如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下个命题中，假命题是
等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

（全国）下面是关于四棱柱的四个命题：
① 若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
② 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③ 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；
④ 若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱.

其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）.

（江西文）如右图，已知正三棱柱
的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱
的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为

问题2．三棱柱中，，
、、的长均为，点在底面
上的射影在上.
求与侧面所成的角；
若点恰是的中点，求此三棱柱的侧面积；
求此三棱柱的体积.

问题3．已知正四面体的棱长为，用一个
平行于底面的平面截此四面体，所得的截面面积为，
求截面与底面之间的距离.

问题4．如图所示，三棱锥中，，
，，
求三棱锥的体积.(要求用四种不同的方法)

（三）课后作业：
一个正三棱锥与一个正四棱锥，它们的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，这个组合体可能是
正四棱锥 正五棱锥 斜三棱柱 正三棱柱

如果三棱锥的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角相等，且
顶点在底面的射影为，在内，那么是的
垂心 重心 外心 内心

如图，在直三棱柱中，，
，、为侧棱上的两点，且，
则多面体的体积等于

过棱锥高的三等分点作两个平行于底面的截面，它们将棱锥的侧面分成三部分的面积的比（自上而下）为

在三棱锥中，，则侧棱与侧面所成的角的大小是

三棱锥一条侧棱长是，和这条棱相对的棱长是，其余四条棱长都是，求棱锥的体积.

平行六面体 的底面是矩形，
侧棱长为 ，点在底面上的射影
是的中点，与底面成角，
二面角为 ，求该平行六面体
的表面积和体积.

(届高三合肥市三检)正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，过正三棱柱底面上的一条棱作一平面与底面成的平面角，则该平面与平面所截得的线段长等于

（届高三宝鸡中学第四次月考）在直四棱柱中，， ，，，垂足为.

求证：；求异面直线与所成的角.

（四）走向高考：
（安徽）在正方体上任意选择个顶点，它们可能是如下各种几何形体的个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）.
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体. (北京春） 两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为，，，
把它们重叠在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是

（上海）有两个相同的直三棱柱，高为，底面
三角形的三边长分别为、、 ().用它们
拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情况中，全面积
最小的是一个四棱柱，则的取值范围是

（上海春）正四棱锥底面边长为，侧棱长为，则其体积为

（全国Ⅰ）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上.已知正三棱柱的底面边长为，则该三角形的斜边长为

（江苏）正三棱锥高为，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是

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