初中几何线段和(差)最值练习题.doc

初中几何中线段和（差）的最值练习题

  1、 如图，在锐角三角形ABC中，AB=4,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为  _______________   

1题 2题 3题

2、如图所示，等边△ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M是AD上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,EM+CM的最小值为___________         .   

3、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．          

4、 已知：等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1，∠ABC=60°，P是上底，下底中点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为_______________  ． 

图6 图7 图9 图8

6、如图6菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为_____________
            ．          
7、如图7，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是  ---------------            

8、如图8，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm

9、如图9，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为_____________.             
10、如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是  _________. 
11. 如图2，∠AOB=45°，P是∠AOB内一定点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．（要求画出示意图，写出解题过程 

10题 11题 12题 13题
12、 如图所示，已知正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为_____________.    

13、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为_____________.           

14、如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为_____ cm．（结果不取近似值）．

          14题
15、已知：⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则PA+PC的最小值是 ______________.        

16、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(    )

(A)2    (B)     (C)1     (D)2

16、如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=k/x（k≠0）在第一象限的图象交于A
点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1. 
（1）求反比例函数的解析式； 
（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小

17、如图，一元二次方程x2+2x-3=0的两根x1，x2（x1＜x2）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点B，C的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）． 
（1）求此二次函数的解析式； 
（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与AC相交于点G，求点P和点G的坐标； 
（3）在x轴上有一动点M，当MG+MA取得最小值时，求M点的坐标．

18、如图10，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，） ，△AOB的面积是
.（1）求点B的坐标； 
（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式； 
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△AOC的周长最小？若存在，求出点C的 坐标；若不存在，请说明理由；

19、（10分）（2012•南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）． （1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式； 
（2）在（1）的条件下，y是否有最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由； 
（3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标

解答：
解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于点E．
在△BCD与△CAE中，
∵∠BCD=∠CAE=90°﹣∠ACE，∠BDC=∠CEA=90°，
∴△BCD∽△CAE，
∴BD：CE=CD：AE，
∵A（3，4），B（﹣1，y），C（x，0）且﹣1＜x＜3，
∴y：（3﹣x）=（x+1）：4，
∴y=﹣x2+x+（﹣1＜x＜3）；

（2）y有最大值．理由如下：
∵y=﹣x2+x+=﹣（x2﹣2x）+=﹣（x﹣1）2+1，
又∵﹣1＜x＜3， ∴当x=1时，y有最大值1；
（3）如图2，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．
∵A（3，4），∴A′（2，4），
∵B（﹣1，1），∴B′（﹣1，﹣1）．
设直线A′B′的解析式为y=kx+b，
则， 解得． ∴直线A′B′的解析式为y=x+，
当y=0时，x+=0，解得x=﹣．
故线段EF平移至如图2所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（﹣，0）．

20 .如图，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝AB＝2，OC＝3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）当BE经过(1)中抛物线的顶点时，求CF的长；
（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ的周长最小，请直接写出P点的坐标．
解：1）由题意得A（0，2）、B（2，2）、C（3，0）.
设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2.
则解得    ；
（2）由＝．
∴顶点坐标为G（1，）． 过G作GH⊥AB，垂足为H． 则AH＝BH＝1，GH＝－2＝．
∵EA⊥AB，GH⊥AB， ∴EA∥GH． ∴GH是△BEA的中位线 ．∴EA＝3GH＝．
过B作BM⊥OC，垂足为M ． 则MB＝OA＝AB．
∵∠EBF＝∠ABM＝90°，∴∠EBA＝∠FBM＝90°－∠ABF． ∴Rt△EBA≌Rt△FBM．∴FM＝EA＝．
∵CM＝OC－OM＝3－2＝1， ∴CF＝FM＋CM＝；
（3）要使四边形BCPQ的周长最小，可将点C向上平移一个单位，再做关于对称轴对称的对称点C1，得点C1的坐标为（－1，1）．可求出直线BC1的解析式为． 
直线与对称轴x＝1的交点即为点Q，坐标为（1，）．点P的坐标为（1，）．
点评：二次函数的综合题是初中数学的重点和难点，在中考中极为常见，一般压轴题形式出现，难度较大.

21.（2015•山西模拟）如图，已知二次函数y=ax2+bx-4（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（-2，0），且当x=-1和x=3时，二次函数的值y相等，直线AD交抛物线于点D（2，m）． 
（1）求二次函数的表达式；
（2）点P是线段AB上的一动点，（点P和点A，B不重合），过点P作PE∥AD，交BD于E，连接DP，当△DPE的面积最大时，求点P的坐标； 
（3）若直线AD 与y轴交于点G，点M是抛物线对称轴l上的动点，点N是x轴上的动点，当四边形CMNG的周长最小时，求出周长的最小值和点M，点N的坐标． 

答案：收藏试题 
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解：1）当x=-1和x=3时，二次函数的值y相等可知对称轴为x=-1+32=1， ∵点A的坐标为（-2，0）， 
∴B点坐标为（4，0）， 
将A（-2，0），B（4，0）分别代入解析式得， 
4a-2b-4＝016a+4b-4＝0， 
解得a＝12b＝-1． 
二次函数解析式为y=12x2-x-4． 
（2）如图1，作EF⊥x轴于F，将点D（2，m）代入y=12x2-x-4得，m=-4， 则D点坐标为（2，-4）， 
设AD解析式为y=k，即g=3t-8， 
PE解析式为y=-x+3t-8， 
当y=0时，x=3t-8，则P点坐标为（3t-8，0）， 
S△DPE=[4-（3t-8）][4-8+2t]=-6t2+36t-48， 
当t=-362×(-6)=3时，S△DPE的面积最大， 此时，3t-8=3×3-8=1， 
得P（1，0）． 
（3）如图2，二次函数对称轴为x=1，则C（0，-4）关于x=1的对称点为C′（2，-4），G（0，-2）关于x轴的对称点为G′（0，2）． 
把A（-2，0），D（2，-4）分别代入解析式得，-2k+b＝02k+b＝-4，解得，b＝-2k＝-1， 函数AD解析式为y=-x-2． 
∵PE∥AD， 
∴PE解析式为y=-x+g． 
设BD解析式为y=mx+n， 
把B（4，0），D（2，-4）分别代入解析式得，4m+n＝02m+n＝-4，解得，m＝2n＝-8， 函数BD解析式为y=2x-8． 
则可设E（t，2t-8），将E（t，2t-8）代入y=-x+g得2t-8=-t+g接C′G′，与l交点即为M，与x轴交点即为N． 
此时四边形CMNG的周长最小值=C′G′． 
设C′G′的解析式为y=zx+s， 
将C′（2，-4），G′（0，2）分别代入解析式得，2z+s＝-4s＝2， 
解得，z＝-3s＝2， C′G′的解析式为y=-3x+2， 
当x=1时，y=-1，M（1，-1）， 
当y=0时，x=23，N（23，0）． 
四边形CMNG的周长最小值=C′G′+CG=(0-2)2+(2+4)2+2=210+2．

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