2018中考总复习圆的切线专题.doc

题型专项(八)　与切线有关的证明与计算
类型1　与全等三角形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，交于BO，AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为点M.
求证：(1)△ACO≌△BDO；
(2)CE＝DF.

证明：(1)∵AC，BD分别是⊙O的切线，
∴∠A＝∠B＝90°.
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△ACO≌△BDO.
(2)∵△ACO≌△BDO，
∴OC＝OD.
又∵OM⊥CD，∴CM＝DM.
又∵OM⊥EF，点O是圆心，
∴EM＝FM.
∴CM－EM＝DM－FM.
∴CE＝DF.
2．(2016·玉林模拟)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于点D，连接OC.
(1)求证：△CDQ是等腰三角形；
(2)如果△CDQ≌△COB，求BP∶PO的值．

解：(1)证明：由已知得∠ACB＝90°，∠ABC＝30°.
∴∠Q＝30°，∠BCO＝∠ABC＝30°.
∵CD是⊙O的切线，CO是半径，
∴CD⊥CO.
∴∠DCQ＝∠BCO＝30°.
∴∠DCQ＝∠Q.
故△CDQ是等腰三角形．
(2)设⊙O的半径为1，则AB＝2，OC＝1，BC＝.
∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，
∴CQ＝CB＝.
∴AQ＝AC＋CQ＝1＋.
∴AP＝AQ＝.
∴BP＝AB－AP＝.
∴PO＝AP－AO＝.
∴BP∶PO＝.

3．(2016·柳州)如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA的延长线上一点，点E在弧上且满足PE2＝PA·PC，连接CE，AE，OE交CA于点D.
(1)求证：△PAE∽△PEC；
(2)求证：PE为⊙O的切线；
(3)若∠B＝30°，AP＝AC，求证：DO＝DP.

证明：(1)∵PE2＝PA·PC，
∴＝.
又∵∠APE＝∠EPC，
∴△PAE∽△PEC.
(2)∵△PAE∽△PEC，∴∠PEA＝∠PCE.
∵∠PCE＝∠AOE，
∴∠PEA＝∠AOE.∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA.
∵∠AOE＋∠OEA＋∠OAE＝180°，
∴∠AOE＋2∠OEA＝180°，
即2∠PEA＋2∠OEA＝180°.
∴∠PEA＋∠OEA＝90°.
∴PE为⊙O的切线．
(3)设⊙O的半径为r，则AB＝2r.
∵∠B＝30°，∠PCB＝90°，∴AC＝r，BC＝r.
过点O作OF⊥AC于点F，
∴OF＝r.∵AP＝AC，
∴AP＝.∵PE2＝PA·PC，∴PE＝r.
在△ODF与△PDE中，

∴△ODF≌△PDE.∴DO＝DP.
类型2　与相似三角形有关

4．(2016·泰州)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，在D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．

解：(1)AB是⊙O切线．
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠CAE＋∠CEA＝90°.
∵∠CAE＝∠ADF，∠CDF＝∠CEA，
∴∠ADF＋∠CDF＝90°.
∴AB是⊙O切线．
(2)连接CF.
∵∠ADF＋∠CDF＝90°，∠PCF＋∠CDF＝90°，
∴∠ADF＝∠PCF.
∴∠PCF＝∠PAC.
又∵∠CPF＝∠APC，
∴△PCF∽△PAC.∴＝.
∴PC2＝PF·PA.设PF＝a，则PC＝2a.
∴4a2＝a(a＋5)．
∴a＝.
∴PC＝2a＝.

5．(2015·北海)如图，AB，CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED＝∠C.
(1)求证：PE是⊙O的切线；
(2)求证：ED平分∠BEP；
(3)若⊙O的半径为5，CF＝2EF，求PD的长．

解：(1)证明：连接OE.
∵CD是圆O的直径，
∴∠CED＝90°
∵OC＝OE，
∴∠C＝∠OEC.
又∵∠PED＝∠C，
∴∠PED＝∠OEC.
∴∠PED＋∠OED＝∠OEC＋∠OED＝90°，即∠OEP＝90°.
∴OE⊥EP.
又∵点E在圆上，
∴PE是⊙O的切线．
(2)证明：∵AB，CD为⊙O的直径，
∴∠AEB＝∠CED＝90°.
∴∠AEC＝∠DEB(同角的余角相等)．
又∵∠PED＝∠C，AE∥CD，
∴∠PED＝∠DEB，
即ED平分∠BEP.
(3)设EF＝x，则CF＝2x.
∵⊙O的半径为5，
∴OF＝2x－5.
在Rt△OEF中，OE2＝EF2＋OF2，即52＝x2＋(2x－5)2，解得x＝4
∴EF＝4.
∴BE＝2EF＝8，CF＝2EF＝8.
∴DF＝CD－CF＝10－8＝2.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°.
∵AB＝10，BE＝8，
∴AE＝6.
∵∠BEP＝∠A，∠EFP＝∠AEB＝90°，
∴△EFP∽△AEB.
∴＝，即＝.
∴PF＝.
∴PD＝PF－DF＝－2＝.
6．(2014·桂林)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC＝∠B，AD为⊙O的直径，过点C作CG⊥AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G.
(1)判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)求证：AG2＝AF·AB；
(3)若⊙O的直径为10，AC＝2，AB＝4，求△AFG的面积．

解：(1)PA与⊙O相切．
理由：连接CD.
∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠D＋∠CAD＝90°.
∵∠B＝∠D，∠PAC＝∠B，
∴∠PAC＝∠D.
∴∠PAC＋∠CAD＝90°，即DA⊥PA.
∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．
(2)证明：连接BG.
∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，
∴＝.∴∠AGF＝∠ABG.
∵∠GAF＝∠BAG，∴△AGF∽△ABG.
∴AG∶AB＝AF∶AG.∴AG2＝AF·AB.
(3)连接BD.
∵AD是直径，∴∠ABD＝90°.
∵AG2＝AF·AB，AG＝AC＝2，AB＝4，
∴AF＝＝.
∵CG⊥AD，∴∠AEF＝∠ABD＝90°.
∵∠EAF＝∠BAD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝，即＝，解得AE＝2.
∴EF＝＝1.
∵EG＝＝4，
∴FG＝EG－EF＝4－1＝3.
∴S△AFG＝FG·AE＝×3×2＝3.
类型3　与锐角三角函数有关　　　　　

7．(2014·梧州)如图，已知⊙O是以BC为直径的△ABC的外接圆，OP∥AC，且与BC的垂线交于点P，OP交AB于点D，BC，PA的延长线交于点E.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)若sin∠E＝，PA＝6，求AC的长．

解：(1)证明：连接OA.
∵AC∥OP，∴∠AOP＝∠OAC，∠BOP＝∠OCA.
∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠AOP＝∠BOP.
又∵OA＝OB，OP＝OP，
∴△AOP≌△BOP.∴∠OAP＝∠OBP.
∵BP⊥CB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∴OA⊥PA.
∴PA是⊙O的切线．
(2)∵PB⊥CB，∴PB是⊙O的切线．
又∵PA是⊙O的切线，
∴PA＝PB＝6.
又∵sinE＝＝＝，∴AO＝3.
在Rt△OPB中，OP＝＝3.
∵BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°.
∴∠CAB＝∠OBP＝90°，∠OCA＝∠BOP.
∴△ACB∽△BOP.∴＝.
∴AC＝＝＝.

8．(2015·来宾)已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，BD交AC于点F.
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)延长AC到点P，使PF＝PB，求证：PB是⊙O的切线；
(3)如果AB＝10，cos∠ABC＝，求AD.

解：(1)证明：∵OD∥BC，
∴∠ODB＝∠CBD.
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB.
∴∠CBD＝∠OBD.
∴BD平分∠ABC.
(2)证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，
∴∠ACB＝90°.∴∠CFB＋∠CBF＝90°.
∵PF＝PB，∴∠PBF＝∠CFB.
由1)知∠OBD＝∠CBF，
∴∠PBF＋∠OBD＝90°.∴∠OBP＝90°.
∴PB是⊙O的切线．
(3)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，
∴cos∠ABC＝＝＝.
∴BC＝6，AC＝＝8.
∵OD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，∠AED＝∠OEC＝180°－∠ACB＝90°.
∴＝＝，＝＝.
∴AE＝4，OE＝3.
∴DE＝OD－OE＝5－3＝2.
∴AD＝＝＝2.

9．(2016·柳州模拟)如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于点D，BD＝2PA.
(1)证明：直线PB是⊙O的切线；
(2)探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
(3)求sin∠OPA的值．

解：(1)证明：连接OB.
∵BC∥OP，OB＝OC，
∴∠BCO＝∠POA，
∠CBO＝∠POB，∠BCO＝∠CBO.
∴∠POA＝∠POB.又∵PO＝PO，OB＝OA，
∴△POB≌△POA.∴∠PBO＝∠PAO＝90°.
∴PB是⊙O的切线．
(2)2PO＝3BC.(写PO＝BC亦可)
证明：∵△POB≌△POA，∴PB＝PA.
∵BD＝2PA，∴BD＝2PB.
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO.
∴＝＝.∴2PO＝3BC.
(3)∵CB∥OP，∴△DBC∽△DPO.
∴＝＝，即DC＝OD.
∴OC＝OD.∴DC＝2OC.
设OA＝x，PA＝y.则OD＝3x，OB＝x，BD＝2y.
在Rt△OBD中，由勾股定理得(3x)2＝x2＋(2y)2，即2x2＝y2.
∵x＞0，y＞0，∴y＝x，OP＝＝x.
∴sin∠OPA＝＝＝＝.
类型4　与特殊四边形有关　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E，F，连接BF.

(1)求证：BF是⊙O的切线；
(2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)证明：连接OD.
∵EF为⊙O的切线，
∴∠ODF＝90°.
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴AO＝DC，AO∥DC.
又∵DO＝OC＝OA，
∴DO＝OC＝DC.
∴△DOC为等边三角形．
∴∠DOC＝∠ODC＝60°.
∵DC∥AO，
∴∠AOD＝∠ODC＝60°.
∴∠BOF＝180°－∠COD－∠AOD＝60°.
在△DOF和△BCF中，

∴△DOF≌△BOF.
∴∠ODF＝∠OBF＝90°.
∴BF是⊙O的切线．
(2)∵∠DOF＝60°，∠ODF＝90°，
∴∠OFD＝30°.
∵∠BOF＝60°，∠BOF＝∠CFD＋∠E，
∴∠E＝∠OFD＝30°.
∴OF＝OE.
又∵OD⊥EF，
∴DE＝DF.
在Rt△ODF中，∠OFD＝30°.
∴OF＝2OD.
∴DF＝＝＝.
∴EF＝2DF＝2.

11．(2016·宁波)如图，已知⊙O的直径AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)求DE的长．

解：(1)证明：连接OD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠DAB.
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAO.
∴∠ODA＝∠DAE.
∴OD∥AE.
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O切线．
(2)过点O作OF⊥AC于点F.
∴AF＝CF＝3.
∴OF＝＝＝4.
∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，
∴四边形OFED是矩形．
∴DE＝OF＝4.

12．(2015·桂林)如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，AB＝4，PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点．
(1)如图1，求⊙O的半径；
(2)如图1，若点E是BC的中点，连接PE，求PE的长度；
(3)如图2，若点M是BC边上任意一点(不含B，C)，以点M为直角顶点，在BC的上方作∠AMN＝90°，交直线CP于点N，求证：AM＝MN.

解：(1)连接OD，OC.
∵PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点，
∴∠ODP＝∠OCP＝90°.
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠DOC＝90°，OD＝OC.
∴四边形DOCP是正方形．
∵AB＝4，∠ODC＝∠OCD＝45°，
∴DO＝CO＝DC·sin45°＝4×＝2.
(2)连接EO，OP.
∵点E是BC的中点，
∴OE⊥BC，∠OCE＝45°，
则∠EOP＝90°.
∴EO＝EC＝2，OP＝CO＝4.
∴PE＝＝2.
(3)证明：在AB上截取BF＝BM.
∵AB＝BC，BF＝BM，
∴AF＝MC，∠BFM＝∠BMF＝45°.
∵∠AMN＝90°，
∴∠AMF＋∠NMC＝45°，∠FAM＋∠AMF＝45°.
∴∠FAM＝∠NMC.
∵由(1)得PD＝PC，∠DPC＝90°，
∴∠DCP＝45°.
∴∠MCN＝135°.
∵∠AFM＝180°－∠BFM＝135°，
在△AFM和△MCN中，
∴△AFM≌△MCN(ASA)．
∴AM＝MN.