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第一课时 两角和与差的余弦
教学目标：
掌握两角和与差的余弦公式，能用公式进行简单的求值；培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.
教学重点：
余弦的差角公式及简单应用
教学难点：
余弦的差角公式的推导
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在前面咱们共同学习了任意角的三角函数，在研究三角函数时，我们还常常会遇到这样的问题：已知任意角α、β的三角函数值，如何求α＋β、α－β或2α的三角函数值?即：α＋β、α－β或2α的三角函数值与α、β的三角函数值有什么关系?
Ⅱ.讲授新课
接下来，我们继续考虑如何把两角差的余弦cos（α－β）用α、β的三角函数来表示的问题.
在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α、β，其终边分别与单位圆交于P1（cosα，sinα）、P2（cosβ，sinβ），则∠P1OP2＝α－β.由于余弦函数是周期为2π的偶函数，所以，我们只需考虑0≤α－β＜π的情况.
设向量a＝＝（cosα，sinα），b＝＝（cosβ，sinβ），则：
a·b＝︱a︱︱b︱cos （α－β）＝cos （α－β）
另一方面，由向量数量积的坐标表示，有
a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ
所以：cos （α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ （C（α－β））
两角和的余弦公式对于任意的角α、β都是成立的，不妨，将此公式中的β用－β代替，看可得到什么新的结果?
cos ［α－（－β）］
＝cos αcos （－β）－sinαsin（－β）
＝cos αcos β－sinαsinβ
即：cos （α＋β）＝cos αcos β－sinαsinβ （C（α＋β））
请同学们观察这一关系式与两角差的余弦公式，看这两式有什么区别和联系?
(1)这一式子表示的是任意两角α与β的差α－β的余弦与这两角的三角函数的关系.
(2)这两式均表示的是两角之和或差与这两角的三角函数的关系.
请同学们仔细观察它们各自的特点.
(1)两角之和的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的差.
(2)两角之差的余弦等于这两角余弦之积与其正弦之积的和.
不难发现，利用这一式子也可求出一些与特殊角有关的非特殊角的余弦值.
如：求cos 15°可化为求cos（45°－30°)或cos（60°－45°）利用这一式子而求得其值.
即：cos 15°＝cos（45°－30°）
＝cos 45°cos 30°＋sin45°sin30°
＝·＋·＝
或：cos 15°＝cos （60°－45°）
＝cos 60°cos 45°＋sin60°sin45°
＝·＋·＝
请同学们将此公式中的α用代替，看可得到什么新的结果?
cos（－α）＝coscos α＋sinsinα＝sinα
即：cos（－α）＝sinα
再将此式中的α用－α代替，看可得到什么新的结果.
cos［－（－α）］＝cosα＝sin（－α）
即：sin（－α）＝cosα
Ⅲ.课堂练习
1.求下列三角函数值
①cos （45°＋30°）②cos 105°
解：①cos（45°＋30°）＝cos 45°cos 30°－sin45°sin30°
＝·－·＝
②cos 105°＝cos （60°＋45°）＝cos 60°cos 45°－sin60°sin45°
＝·－·＝
2.若cos αcos β＝－，cos（α＋β）＝－1，求sinαsinβ.
解：由cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
得：sinαsinβ＝cosαcosβ－cos（α＋β）
将cosαcosβ＝－，cos（α＋β）＝－1代入上式可得：sinαsinβ＝
3.求cos 23°cos 22°－sin23°sin22°的值.
解：cos 23°cos 22°－sin23°sin22°＝cos（23°＋22°）＝cos 45°＝
4.若点P(－3，4)在角α终边上，点Q（－1，－2）在角β的终边上，求cos （α＋β）的值.
解：由点P（－3，4）为角α终边上一点；点Q（－1，－2)为角β终边上一点，
得：cos α＝－，sinα＝；cosβ＝－，sinβ＝－.
∴cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
＝（－）×（－）－×（－）＝
5.已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－，求：tanα·tanβ的值.
解：由已知cos（α－β）＝，cos（α＋β）＝－
可得：cos（α－β）＋cos（α＋β）＝－＝
即：2cosαcosβ＝ ①
cos（α－β）－cos（α＋β）＝1
即：2sinαsinβ＝1 ②
由②÷①得＝tanα·tanβ＝
∴tanα·tanβ的值为.
6.已知cosα－cosβ＝，sinα－sinβ＝－，求：cos （α－β）的值.
解：由已知cosα－cosβ＝
得：cos 2α－2cos αcos β＋cos 2β＝ ①
由sinα－sinβ＝－
得：sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝ ②
由①＋②得：2－2（cosαcosβ＋sinαsinβ）＝
即：2－2cos（α－β）＝
∴cos（α－β）＝
Ⅳ.课时小结
两公式的推导及应用.
Ⅴ.课后作业
课本P96习题 1，2，3
两角和与差的余弦
1．下列命题中的假命题是 （ ）
A.存在这样的α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B.不存在无穷多个α和β的值，使得cos（α＋β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C.对于任意的α和β，都有cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
D.不存在这样的α和β值，使得cos（α＋β）≠cosαcosβ－sinαsinβ
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？

3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.

4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.

5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.

6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.

两角和与差的余弦答案
1．B
2．在△ABC中，已知cos A·cos B＞sinA·sinΒ，则△ABＣ一定是钝角三角形吗？
解：∵在△ABC中，∴0＜C＜π，且A＋B＋C＝π
即：A＋B＝π－C
由已知得cos A·cos B－sinA·sinB＞0，即：cos（A＋B）＞0
∴cos（π－C）＝－cos C＞0，即cos C＜0
∴C一定为钝角
∴△ABC一定为钝角三角形.
3．已知sinα＋sinβ＝，求cosα＋cosβ的最大值和最小值.
分析：令cosα＋cosβ＝x，然后利用函数思想.
解：令cosα＋cosβ＝x，则得方程组：

①2＋②2得2＋2cos (α－β)＝x2＋
∴cos (α－β)＝
∵|cos (α－β)|≤1， ∴| |≤1
解之得：－≤x≤
∴cosα＋cosβ的最大值是，最小值是－.
4．已知：α∈（，），β∈（0，），且cos（－α）＝，sin（＋β）＝－
求：cos （α＋β）.
解：由已知：α∈（，）
－α∈（－，－）－α∈（－，0）
又∵cos （－α）＝， ∴sin（－α）＝－
由β∈（0，）＋β∈（，）
又∵sin（＋β）＝sin［π＋（＋β）］＝－sin（＋β）＝－
即sin（＋β）＝， ∴cos（＋β）＝
又（＋β）－（－α）＝α＋β
∴cos（α＋β）＝cos［（＋β）－（－α）］
＝cos（＋β）cos（－α）＋sin（＋β）sin（－α）
＝×＋×（－）＝－
5．已知：α、β为锐角，且cosα＝，cos（α＋β）＝－，求cosβ的值.
解：∵0＜α·β＜，∴0＜α＋β＜π
由cos （α＋β）＝－，得sin（α＋β）＝
又∵cosα＝，∴sinα＝
∴cosβ＝cos［（α＋β）－α］
＝cos（α＋β）cos α＋sin（α＋β）sinα
＝（－）×＋×＝
评述：在解决三角函数的求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系.
6．在△ABC中，已知sinA＝，cosB＝，求cos C的值.
分析：本题中角的限制范围就隐含在所给的数字中，轻易忽视，就会致错.
解：由sinA＝＜知0°＜A＜45°或135°＜A＜180°，
又cos B＝＜，∴60°＜B＜90°，∴sinB＝
若135°＜A＜180°则A＋B＞180°不可能.
∴0°＜A＜45°，即cos A＝.
∴cos C＝－cos（A＋B）＝.

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