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思路点拨 例析二次函数与一元二次方程的转化
山东 于秀坤
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）密切相关，当函数值y=0时，可得到一元二次方程ax2+bx+c=0.从图象上看，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
对于二次函数y=ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+bx+c=0：当图象与x轴有一个公共点时，方程有两个相等实数根
2、即Δ=b2-4ac=0；当图象与x轴有两个公共点时，方程有两个不等的实数根，即Δ=b2-4ac>0;当图象与x轴没有公共点时,方程没有实数根,即 Δ=b2-4ac<0.
例1 （2016•宿迁）若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），则方程ax2-2ax+c=0的解为（ ）
A． x1=-3，x2=-1 B．x1=1，x2=3 C．x1=-1，x2=3 D．x1=-3，x2=1
解析：∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点（-1，0），
∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1，
∵抛物线的对称轴是x=-=
3、1，
∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0）.
∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1，x2=3．
故选C．
例2（2016•徐州）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是______.
解析：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，
∴方程x2+2x+m=0没有实数根.
∴=22-4×1×m＜0，解得m＞1.
例3（2015•南通）关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不等的实数根都在-1和0之间（不包括-1和0），则a的取值范围是__________
解析：∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,
∴=（-3）2-4×a×（-1）＞0，解得a＞−.
设y=ax2-3x-1，如图，
∵实数根都在-1和0之间，
∴-1＜−＜0，解得a＜−.
当x=-1时,y<0，即a×（-1）2-3×（-1）-1＜0. 解得a＜-2.
综上可得−＜a＜-2．
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