构建心智图像.doc

构建心智图像，促进学生理解
——《有余数除法》教学案例分析
浙江省桐乡市龙翔小学 吴建亚
一、背景分析
“有余数除法”是人教版实验教材三年级上册的内容，是“表内除法”的延伸和发展，是学习多位数除法的基础，具有重要的地位。教材内容抽象、概念性强。学生刚学过表内除法，已经习惯用乘法口诀求商，不容易理解“余数”概念，对于除法不能直接从乘法口诀求商有许多困惑。为此，本课的教学目标为：①通过操作、观察、小组讨论、师生交流等形式，充分理解余数的产生过程和表示的意义；②通过被除数、除数、商、余数之间关系的探究，发现并理解“余数一定要比除数小”的道理。如何让学生获得鲜明表象，从而建立“余数”的概念，通过数字、图像、语言及数形结合等方式多方位体验有余数除法的含义，感知“余数比除数小”的规律道理，并让学生在试商、调商计算技能方面获得一定的基础？笔者进行了有效的尝试。
二、教学案例
【片段一】摆几个正方形？多几根？
师：（出示一捆小棒）4根小棒能搭一个正方形，用老师手中的小棒搭独立的小正方形，会有怎样的结果？
生1：摆了几个正方形后，会多几根。
生2：摆了几个后会少几根。
生3：也可能会正好摆几个正方形。
师：你能举一种情况来说明刚才的想法吗？
生1：如果是8根正好搭2个正方形。算式是8÷4=2（个）（师用小棒演示后写算式。）
生2：24根正好搭6个正方形。算式是24÷46（个）
师：你能举一种多几根的例子吗？
生1：5根摆一个多1根。
师：你是怎么想的？
生1：一个正方形是4根，多1根。
生2：9根也是多1根。
师：哦？怎么想的？
生2：二个是8根，9－8＝1。
师：老师用小棒搭出来看看。（演示）
生3：13根也是多1根。
师：怎么想的？
生3：9根多一根，13比9多4，正好多搭一个。
生4：我补充，搭3个用12根，那么13根就多1根。
师：13根小棒搭正方形是这个结果，那么你能用算式表示出来吗？
生1：3×4＝12（根），13－12＝1（根）
生2：我是这样想出来的：3×4+1=13（根）
生3：我是算出来的：算式是：（13－1）÷4=3（个）
生4：我是算出来的：算式是：13÷4=3（个）……1（根）
师：同学们，你能看懂这里的算式吗？你能说说每个算式的意义吗？
生：前3个算式能看懂，最后的算式看不懂。
师：这个算式表示的意思其实与前边的大致是一样的，就是有13根小棒，每4根正好搭1个正方形，能搭3个还多1根，这里多出来的数1就是余数。
[简析：从开放式的问题入手，让学生感受到有余数除法只是平均分中的一种特殊情况。学生在用4根小棒搭1个正方形的活动的过程中初步获得了“余数”概念的表象支撑，为抽象出“余数”概念埋下了伏笔。]
【片段二】：你会直接列式吗？
师：我们再来想，18根又能搭几个正方形呢？你是怎么得到的？会列式的可直接列算式，不会的可先用小棒摆一摆，再列式。
生1：我是想出来的：4×4＝16，18－16＝2，所以18÷4=4（个）……2（根）。
师：真好，其他同学能说说吗？（说给同学听听）
师：23根小棒能摆几个？用算式表示。
生：23÷4=5（个）……3（根）
师：怎么想的？
生：4×5＝20，23－20＝3。
师：那么，14÷4＝，19÷4＝，25÷4＝。　　
汇报，说说怎么想的。
[简析：“你是怎么得到结果的？”摆小棒是一个方法，但更多的是通过“乘、减”二步得到的，这里其实已经涉及到了“试商”这一层意思了。由于前期小棒的操作对感知余数有了一定的基础，试商这个难点也变得水到渠成。]
【片段三】“你发现了什么规律？”
师：同学们，你能在脑中用9根、10根、11根、12根、13根、14根、15根、16根、17根、18根、19根、20根小棒搭独立的正方形吗？分别有怎样的结果？能用算式表示吗？（生思考、写算式）
生汇报： 9÷4＝2（个）……1（根）
10÷4＝2（个）……2（根）
11÷4＝2（个）……3（根）
12÷4＝3（个）
13÷4＝3（个）……1（根）
14÷4＝3（个）……2（根）
15÷4＝3（个）……3（根）
16÷4＝4（个）
17÷4＝4（个）……1（根）
18÷4＝4（个）……2（根）
19÷4＝4（个……3（根）
20÷4＝5（个）
师：观察上面的商和余数，你有什么想法？
生1：12÷4＝3（个）可以看成是余0根。
生2：余数是1、2、3、1、2、3重复。
师：为什么余数只出现1、2、3，不出现4、5等呢？
生：因为余1、2、3根的话，不够搭正方形了，多4根的话，还可以用4根搭1个正方形，多5根的话，还可以用4根搭1个正方形，还多1根。
师：余数和除数大小有什么关系？
生1：余数不能比除数大。
生2：余数要比除数小。
……
[简析：脑中搭正方形在内容上与操作相似，但体现了不同的思维水平，加深了学生对余数意义的理解。从小棒的实际操作到数学算式，学生经历了横向数学化的过程，通过摆“9根、10根、11根、12根……20根小棒”，学生经历了纵向数学化的学习过程。从实物小棒图到头脑小棒图，不管是多1根、多2根、多3根都不够搭正方形，学生逐步建构起“余数要比除数小”的概念。]
三、亮点透析
心理学研究成果表明：当数学的一个概念被提及时，人们的记忆很快构成一种刺激，处于长期记忆中的某种东西迅速得到“激活”，这种“激活”的东西被看成抽象的概念的“心理对应物”。数学的概念掌握、数学问题的解决很大程度上取决于这种“心理对应物”的激活程度，“心理对照物”即“心智图像”，它是具有某种程度抽象的、模式化了的形象。本课教学体现了上述原理，下面加以具体阐述。
1.深刻理解概念

“余数”是一个抽象的概念，在本课教学中，艺术化地处理了这部分知识的教学。建构直观、形象的心智图像，使抽象问题具体化，隐性问题显性化。许多抽象的、晦涩难懂的问题，需要运用直感，以一种简明、形象的方式表征，以形成相应的心智图像。教学中很好地利用学生的认知差异和思维惯性引起矛盾冲突，诱导学生探索的过程中产生一种顿悟与反思。
例如，用小棒搭正方形是学生熟悉并喜欢的活动，用4根小棒可以搭成的1个正方形，5根小棒，搭完一个正方形后多了1根，6根小棒，搭完1个正方形后就多了2根，……学生在操作活动中自然获得了“余数”概念的表象支撑，建立了余数的初步的模型。又如，在片断三中“你发现了什么规律？”，提出要求让学生“观察上面的商和余数，你有什么想法？”在观察比较中，使“余数比除数小”的道理呼之欲出，有效地突破了教学的重点与难点。
2.构通运算方法
理解了余数的概念，以及余数比除数小的原理，还要进一步理解怎样进行有余数除法的计算方法。这样才能让学生对概念的理解达到更深的层面，而不至于停留于表面。例如，在讨论13根小棒搭正方形用怎样的算式时，学生都能根据以往的经验，用算式3×4＝12（根）、13－12＝1（根）表示，借助“乘、减”二步计算的模型，有利于学生理解有余数除法，这其实就是有余数除法中被除数、除数、商、余数四者的关系，有余数除法只要与它建立联结，余数的意义、试商的方法甚至是除法的竖式，学生都能比较好地掌握。
总之，本课根据数学知识的特点和儿童的年龄特点，通过直观形象的教具展示、学具操作等形式，使学生积极主动参与学习，通过自己的努力发现问题，解决问题，借助动手操作活动让学生形成数学概念，构建了新的知识体系，给学生以成就感，通过心智图像合理建构的训练，提高了学生的直观“透视”能力、联想能力和想象能力，进而提高了学生的形象思维能力，为接下来计算有余数除法埋下了伏笔。
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