函数和、差、积、商的导数.doc

3.2.2函数的和、差、积、商的导数
【学习要求】
1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．
2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．
函数的和、差、积、商的求导法则
【新课导学】
问题1　我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？
设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝_________________
两个函数的差的导数
[f(x)－g(x)]′＝________________
两个函数的积的导数
[f(x)·g(x)]′＝___________________
两个函数的商的导数
[]′＝__________________________________
问题2　应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？
【师生互动】
题型一　导数的运算法则
例1　求下列函数的导数：
(1)y＝3x－lg x； (2)y＝(x2＋1)(x－1)； (3)y＝

跟踪训练1　求下列函数的导数：
(1)f(x)＝x·tan x； (2)f(x)＝2－2sin2；

3)f(x)＝； (4)f(x)＝.
题型二　导数的应用
例2　(1)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为________________．
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为________．

(3)已知某运动着的物体的运动方程为s(t)＝＋2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3 s时物体的瞬时速度．

跟踪训练2　(1)曲线y＝－在点M处的切线的斜率为_______．
(2)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．

【智能检测】
1．设y＝－2exsin x，则y′＝_______________.
2．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为______________．
3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是________．
4．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________.
5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．

【特别提醒】
求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.
【课后反思】

【作业设计】
1．下列结论不正确的是________．(填序号)
①若y＝3，则y′＝0；
②若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3；
③若y＝－＋x，则y′＝－＋1；
④若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x.
2．已知f(x)＝x3＋3x＋ln 3，则f′(x)＝__________.
3．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
4．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝________.
5．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.
6．若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________．
7．求下列函数的导数：
(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)； (2)y＝(－2)2； (3)y＝x－sin cos .

8．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为________．
9．曲线y＝x(x－1)(x－2)…(x－6)在原点处的切线方程为__________．
10．若函数f(x)＝x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
11．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的表达式．

12．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

13．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．

4