圣维南原理的概念及应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,HPU,ZSRock Mass Mechanics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZS,HPU,ZSRock Mass Mechanics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZS,HPU,ZSRock Mass Mechanics,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZS,HPU,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZS,高等岩石力学,第二讲：特殊边界处理与网格划分问题,1,平面问题的基本方程,1.平衡微分方程,（2-2）,2.几何方程,（2-9）,3.物理方程,（平面应力问题）,（2-15）,4.边界条件,位移：,（2-17）,应力：,（2-18）,例1,如图所示，试写出其边界条件。,x,y,a,h,h,q,(1),(2),(3),(4),说明：,x,=0 的边界条件，是有矛盾的。由此只能求出结果：,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示薄板，在,y,方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点,A,处无应力存在。,解：,平面应力问题，在,AC,、,AB,边界上无面力作用。即,AB,边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC,边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A,点同处于,AB,和,AC,的边界，满足式（1）和（2），解得,A,点处无应力作用,静力等效,圣维南原理及其应用,2-8,圣维南原理,11/30/2024,ZS,7,为什么要用圣维南原理？,如何应用圣维南原理？,圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？,圣维南原理中主矩是对那个点取矩？,圣维南原理中边界的面力和应力的关系？,什么是主要边界？什么是次要边界？,为什么正应力对中心点取矩不为零？,8,问题的提出：,P,P,P,求解弹性力学问题时，使应力分量形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1.、静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为,静力等效力系,。,这种,等效,只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,2.、,圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：,若把物体的,一小部分边界上的面力,，变换为分布不同但,静力等效的面力,，则,近处,的应力分布将有显著改变，而,远处,所受的影响可忽略不计,。,P,P,P,P/,2,P/,2,3.、,圣维南原理的应用,(1),对,复杂的力边界,，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些,位移边界,不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足,静力等效,条件；,(2),只能在,次要边界上,用圣维南原理，在,主要边界,上不能使用。,如：,A,B,主要边界,P,次要边界,例,7,课堂练习与讨论,11/30/2024,ZS,14,例7,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y,方向力等效：,对,O,点的力矩等效：,x,方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,x,y,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,注意：,必须按正向假设！,由微元体的平衡求得，,例9,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力,P,作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力,=0,，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足,平衡方程,和,相容方程？,（a）,式（a）是否满足,边界条件？,代入,平衡微分方程：,（2-2）,显然，,平衡微分方程,满足。,式（a）满足,相容方程。,再验证，式（a）是否满足,边界条件？,满足,满足,近似满足,近似满足,结论：式（a）为正确解,代入,相容方程：,上、下侧边界：,右侧边界：,左侧边界：,圆孔,应力集中：应力集中程度,4-9,圆孔的孔边应力集中,11/30/2024,ZS,19,1.孔边应力集中概念,由于弹性体中存在小孔，使得,孔边的应力远大于无孔时的应力,，也,远大于距孔稍远处的应力,。,称为孔边的,应力集中。,应力集中系数：,与孔的形状有关，是局部现象；,与孔的大小几乎无关。,（圆孔为最小，其它形状较大）,2.孔边应力集中问题的求解,（1）问题：,带有圆孔的无限大板（,B,a,），圆孔半径为,a,，在无限远处受有均匀拉应力,q,作用。,求：孔边附近的应力。,20,（2）问题的求解,问题分析,坐标系：,就外边界（直线），宜用直角坐标；,就内边界（圆孔），宜用极坐标。,A,取一半径为,r,=,b,(,b,a,），在其上取一点,A,的应力：,O,x,y,b,A,A,r,A,由应力转换公式：,原问题转化为：,无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。,b,21,新问题的边界条件可表示为：,x,y,b,a,内边界,外边界,（a）,问题1,（b）,（c）,b,a,b,a,问题2,将外边界条件（a）分解为两部分：,22,问题1,b,a,问题1的解：,内边界,外边界,（b）,该问题为轴对称问题，其解为,当,b,a,时，有,（d）,23,问题2的解：,b,a,问题2,（非轴对称问题）,内边界,外边界,（c）,由边界条件（c），可假设：为,r,的某一函数乘以 ；为,r,的某一函数乘以 。,又由极坐标下的应力分量表达式：,可假设应力函数为：,将其代入相容方程：,24,与前面类似，,令：,有,该方程的特征方程：,特征根为：,方程的解为：,25,b,a,问题2,相应的应力分量：,对上述应力分量应用边界条件（c）,有,内边界,外边界,（c）,（e）,26,求解,A,、,B,、,C,、,D,，然后令,a,/,b,=,0,，得,b,a,问题2,代入应力分量式（e）,有,（f）,27,将,问题1,和,问题2,的解相加,得全解：,（4-17）,讨论：,（1）,沿孔边，,r,=,a,，环向正应力：,（4-18）,3,q,2,q,q,0,q,90,60,45,30,0,（2）,沿,y,轴，,=90，环向正应力：,1.04,q,1.07,q,1.22,q,3,q,4,a,3,a,2,a,a,r,A,b,齐尔西（G.Kirsch）解,28,（3）,沿,x,轴，,=0，环向正应力：,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力,q,1,、,q,2,作用,x,y,q,1,q,2,q,2,q,1,x,y,q,1,q,1,x,y,q,2,q,2,29,（4）,若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力,q,1,、,q,2,作用,x,y,q,1,q,2,q,2,q,1,x,y,q,1,q,1,x,y,q,2,q,2,叠加后的应力：,（4-19）,（5）,任意形状薄板（或长柱）受面力,作用，在距边界较远处有一小孔。,只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：,30,（5）,任意形状薄板（或长柱）受面力,作用，在距边界较远处有一小孔。,只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：,45,31,网格划分的问题,应力集中是在机械制造、航空航天、造船和建筑等工程应用领域中最常见的问题，指构件中应力分布不均在局部增高的现象。,开有圆孔或切口的板条受拉时，在圆孔或切口附近的局部区域，应力将急剧增加，但在离开圆孔或切口稍远处，应力就迅速降低而趋于均匀。这种因杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象称为应力集中。,各种材料对应力集中的敏感程度不同。用塑性材料制成的零件在静载荷作用下，可以不考虑应力集中的影响。（塑性材料有屈服阶段，当局部应力达到屈服极限时，该处材料可继续增长，而应力却不增加。如果外力继续增加，增加的力就有截面上尚未达到屈服极限的材料来承担，使截面上其他点的应力相继达到屈服极限。应力不均匀程度大大降低，也限制了最大应力值）,32,脆性材料没有屈服阶段，一直领先，首先达到强度极限，产生断裂。所以要考虑应力集中对零件承载能力的削弱。,但是零件承受周期性载荷或冲击载荷时，不论塑性材料还是脆性材料，应力集中对零件都会产生严重的影响。,（以上内容来自材料力学）,33,高人的见解：应力集中是指的在某一个区域内应力梯度较大，如果网格稀疏的话，就不会捕捉到梯度变化较大的应力。有应力集中未必会是应力奇异。比如二维平面单元中间开有园孔，另一端受拉伸集度载荷，这样园孔处有两部分会发生应力集中。但是应力并不是无穷，即不存在应力奇异。但是应力奇异的地方一定存在应力集中。应力奇异是modelling过程造成的。我们知道实际问题中，奇异点处的应力不可能是无穷的。,34,应力奇异可以来自与很多因素，比如荷载，边界条件，边界的光滑性，材料系数的光滑性，等等。奇异点的存在导致有限元解的收敛速度很慢，尤其对于均匀划分的网格。有兴趣的可以试一下L形的平面问题，检查一下均匀划分网格情况下应变能的变化。使用局部细化或hp方法的原因是因为这两种方法能使有限元解较快的收敛但是注意应力奇异点是不能够消除的。你的模型固定了，你的奇异点也固定了，通过计算是消除不掉的，计算是一个用估计解逼近一个真实解（精确解），精确解本身带有奇异点，怎么能够消除呢？所以尝试消除应力奇异点的做法是错误的。如果想消除应力奇异点，你的modelling过程就需要改变。比如二维平面单元，在某一节点处加集中力，那么此处就是一个奇异点。要消除它的话，可以把集中力变成集度线载荷加到一段长度很小的线上，奇异点就没有了。,35,奇异点的定义就是在某一个点处导数无穷。举一个L形区域的平面问题，某一个边固定，在另外的任意边上加无穷小的集度荷载，我们会发现无论荷载多么小，角点处的应力都是无穷。这就是几何形状引起的奇异点。,现在问题来了，一方面我们知道角点处的应力无穷，另一方面我们知道对于很小的荷载，角点处的应力不可能是无穷的。问题出在什么地方呢？,36,首先数学模型都是建立在一些假设上的，比如对于一个二维平面问题，平衡方程为 div(sigma)=f。这个平衡方程是怎么定义的呢？它是指在平面内（不包括边界）任取一点，这个点的邻域内的任意点都满足该平衡方程（邻域不接触边界）。从平衡方程中可以看出，我们是要求位移的二阶倒数是连续的，这个要求有的时候很强。因为说不定某处的二阶倒数根本不存在。对于L形区域问题，我们只知道区域内的位移的二阶倒数是存在的，连续的。角点在边界上，我们不知道二阶导数的情况。有可能该点处的二阶倒数，或一阶倒数根本不存在。通过实际推导发现，角点处的一阶导数无穷。,有限元是用来解偏微分方程的工具。偏微分方程对导数的连续性是有要求的。但是有限元能够弱化对导数的要求，比如有限元要求一阶导数平方可积就行。所以有限元解可能比偏微分方程反映实际要解决的问题.,37,Tonnw：这个问题单元并不奇异，是几何结构奇异，在角点有高应力，但不一定无穷大，应力值取决于载何大小（不同意，角点处应力无穷，角点附近的应力与载荷大小无关。）,1.应力理论趋于无穷大不代表实际应力值无穷大.最大实际应力不会超过材料的屈服应力,当线性应力超过屈服应力时,应起动塑性应力分析.（假设载荷无穷小，但是奇异点处的应力还是无穷大，难道还要启动塑性应力分析。）,3.在单元形态不奇异下,细网格的应力更精确些,也就是更接近实际应力（应该是更接近精确解，即所要求解的偏微分方程的精确解）.,但细网格需更多的CPU时间和内存.所以当前后两次网格的结果变化在可接受的范围内（这个可接受范围怎么定？，两次结果变化指的是什么，某一点数值的变化？）,38,奇异点处，解析解是无穷大，与modeling等有关不能消除。有限元解，会逼近解析解，趋于无穷，然而实际中，真实的应力值是一个大值，应该与所加载荷有关。,39,网格划分问题,【1】,【2】,【3】,【4】,40,下一讲再见！,41,