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专题 应用题
2013年4月
【考点聚焦】
应用问题是指有实际背景或问题有实际意义的数学问题，解答数学应用题，需在理解题意的基础上，把问题转化为相应的数学问题，再根据要求求解．
解应用问题的一般步骤为：
（1）审题：理解题意，把握问题本质；
（2）建模：分析题中的数量关系，建立相应数学模型，将应用问题转化为数学问题；
（3）解模：用数学知识与方法解决转化了的数学问题；
（4）回归：回到应用问题，检验结果的实际意义，给出答案．
实际问题
分析、联系、抽象、转化
建立数学模型
（列数学关系式）
数学方法
数学结果
实际结果
回答问题
反馈

【考点展示】
1、某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为_______________
【答案】
由茎叶图可知，甲班学生成绩的众数是85，所以。乙班学生成绩的中位数是83，所以，所以。
2．某地区为了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机地选择了50位老人进行调查，下表是50位老人日睡眠时间频率分布表：
序号
（i）
分组
睡眠时间
组中值
（Gi）
频数
（人数）
频率
（Fi）
1
[4，5）
4.5
6
0.12
2
[5，6）
5.5
10
0.20
3
[6，7）
6.5
20
0.40
4
[7，8）
7.5
10
0.20
5
[8，9]
8.5
4
0.08
在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，
则输出的的值是 ．
【答案】6.42.
解析：本题借助对频率分布表的分析，考查数据处理能力.根据频率分布表所提供的数据，利用算法流程图进行处理，计算出加权平均数4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.20+8.5×0.08=6.42.
3．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中米，米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上. 则矩形面积的最大值为____ 平方米 .

【答案】 48；

4. 某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价。方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是 .
【答案】乙
解析：设原价为1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为，因为，所以，即，所以提价多的方案是乙。

5．一块边长为的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当时，该容器的容积为_____.
【答案】48

6. 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min，其中广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，其中广告时间为1 min，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为______________
答案：200万

7．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0篱笆，借助墙角围成一个矩形的花园ABCD.设此矩形花园的面积为Sm2，S的最大值为f(a)，若将这棵树围在花园内，则函数u＝f(a)的图象大致是______________.

【答案】　C
[解析]　设BC＝x，则DC＝16－x，由得a≤x≤12，矩形面积S＝x(16－x)　(a≤x≤12)，显然当a≤8时，矩形面积最大值u＝64，为常数，当a>8时，在x＝a时，矩形面积取最大值u＝a(16－a)，在[a,12]上为减函数，故选C.
8. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b＞a)以及实数x(0＜x＜1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a)．这里，x被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x的值等于________．
【答案】
解析: 因为c－a是b－c和b－a的等比中项，所以＝，又由c＝a＋x(b－a)①
得＝x，所以x＝⇒b－c＝x(c－a)②
由①得b＝＋a，代入②得 ＋a－c＝x(c－a)，因为c－a≠0，所以两边同时除以c－a得－1＝x，整理得x2＋x－1＝0，且0＜x＜1，解得x＝(舍去)．
老师叮咛：将函数的模型的应用题与数列、方程结合起来，这种题目真是难得一见.解题时要认真读懂题意，同时如果结果有几个，要注意将不合题意或不合实际问题的解舍去.
9. 如图所示，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，原点O到弦AP的 长为么则函数的图像大致是_______________.

10．如图，线段EF的长度为1，端点E、F在边长不小于1的正方形ABCD的四边上滑动，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点M所形成的轨迹为G，若G的周长为l，其围成的面积为S，则l－S的最大值为________．
【答案】
解析: 设正方形的边长为a(a≥1)，当E、F沿着正方形的四边滑动一周时，EF的中点G的轨迹如图，是由半径均为的四段圆弧、长度均为a－1四条线段围成的封闭图形，周长l＝π＋4(a－1)，面积S＝a2－π，所以l－S＝－a2＋4a＋π－4，a≥1，由二次函数知识得当a＝2时，l－S取得最大值.

组号
分组
频数
频率
第1组

第2组

第3组

第4组

第5组

合计

11. 某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取名学生的成绩（得分均为整数，满分分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若从成绩较好的第、、 组中按分层抽样的方法抽取人参加社区志愿者活动，并从中选出人做负责人，求人中至少有1人是第四组的概率．
解：（I） ……………………………………………………………12分
（Ⅱ）因为第、、组共有名学生，所以利用分层抽样在名学生中抽取名学生，每组分别为：
第组：人，
第组：人，
第组：人，
所以第、、组分别抽取人，人，人. …………6分
设第组的位同学为、、，第组的位同学为、，第组的位同学为，则从六位同学中抽两位同学有种可能如下：
…………10分
所以其中第组的位同学至少有一位同学入选的概率为 …………12分
12．如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越短，铺设管道的成本越低.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上。已知米，米，记。
(Ⅰ)试将污水净化管道的长度表示为的函数，并写出定义域；
(Ⅱ)若，求此时管道的长度；

（Ⅲ）问：当取何值时，铺设管道的成本最低？并求出此时管道的长度。

12．解：（Ⅰ），，………………………4分
由于，，
，。
所以 ，……………………6分
（Ⅱ）时，，；……………10分
（Ⅲ）=，设,
则，由于，
所以 ，在 内单调递减，于是当时. 的最小值米……………15分
答：当时，所铺设管道的成本最低，此时管道的长度为米……16分
13．某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群。以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系。
（1）求曲线的标准方程；（6分）
（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？（8分）
[来源:Zxxk.Com]

13．解（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分
又，则，故 5分
所以曲线的方程是 6分
（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，
因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分
即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里。 8分
设，，由 ， 10分
， 12分
13分
点的坐标为或 14分
14.某产品在不做广告宣传且每千克获利元的前提下，可卖出千克。若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出千克，（）。
（1）当广告费分别为1千元和2千元时，用表示销售量；
（2）试写出销售量与的函数关系式；
（3）当=50, =200时厂家应生产多少千克这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
解：（1）当广告费为1千元时，销售量 (2分)
当广告费为2千元时，销售量 (4分)
（3）当=50, =200时，设获利为,则有
(11分)
欲使最大，则，
即 (12分)
得， 故,此时
即该厂家应生产350千克产品，做3千元的广告，能获利最大。 (14分)
15.请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm.
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.

15解：（1）根据题意有
（0
所以，当x=20时，V取极大值也是最大值.
此时，包装盒的高与底面边长的比值为.
即x=20包装盒容积V（cm）最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为

16.如图，有一矩形钢板缺损了一角(如图所示)，边缘线上每一点到点的距离都等于它到边的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来使剩余部分成一个五边形，若，问如何画切割线可使剩余部分五边形的面积最大？

[解析]　由题知，边缘线OM是以点D为焦点，直线AB为准线的抛物线的一部分．
以O点为原点，AD所在直线为y轴建立直角坐标系，则D(0，)，M(，)．
所以边缘线OM所在抛物线的方程为y＝x2(0≤x≤)．

要使如图的五边形ABCEF面积最大，则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)．
则直线EF的方程为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2，
由此可求得点E，F的坐标分别为E(，)，F(0，－t2)．
所以S△DEF＝S(t)＝··(＋t2)
＝·，t∈(0，]．
所以S′(t)＝·
＝＝，
显然函数S(t)在(0，]上是减函数，在(，]上是增函数．所以当t＝时，S△DEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．
此时点E、F的坐标分别为E(，)，F(0，－)．
此时沿直线EF划线可使五边形ABCEF的面积最大．
17. 某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床，型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年）．若第1年型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用（）表示型车床在第年创造的价值．
（1）求数列（）的通项公式；
（2）记为数列的前项和，．企业经过成本核算，若万元，则继续使用型车床，否则更换型车床．试问该企业须在第几年年初更换型车床？ （已知：若正数数列是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）．

17. [解析]（1）由题设，知，，…，构成首项，公差的等差数列．
故（，）万元）． （3分）
，，…，（，）构成首项，公比的等比数列．
故（，）（万元）．　　　 　　　　　（6分）
于是，（）（万元）．　 （7分）
（2）由（1）知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列．
当时，，单调递减，（万元）．
所以（万元）．
当时，，　 （9分）
当时，（万元）；当时，（万元）．　 　（13分）
所以，当，时，恒有．
故该企业需要在第11年年初更换型车床．　　　　　　　　　　　　　（14分）

18．（本题满分16分）如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
G
a
F
E
D
C
B
A
O
（第19题）

18．解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤时，E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE＝，FH＝，… 2分
∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF＝． ………… 2分
②当＜α＜时，E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
此时，EH＝，FH＝，… 4分
∴EF＝．
∴S＝S△OEF＝．
综上所述， ………… 6分
（2）当0≤α≤时，S＝，即S．…… 8分
∵0≤α≤，∴0≤≤1．即1≤1＋≤2．∴≥2．
∴S≤2－．当＝－1时，S取得最大值为2－． ……………… 10分
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×＝．
其中点G被照到时，共转了2×＝．
则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟）．……………… 16分
19．如图，四棱锥的所有棱长均为1米，一只小虫从点出发沿四棱锥爬行，若在每顶点处选择不同的棱都是等可能的.设小虫爬行米后恰回到点的概率为.
A
B
C
D
S
(1)求的值；
(2)求证：；
(3)求证：
解：(1)表示从点到(或)，然后再回到点的概率
所以；
因为从点沿一棱，不妨设为棱再经过或，然后再回到点的概率为
，所以.
(2)设小虫爬行米后恰回到点的概率为，那么表示爬行米后恰好没回到点的概率，则此时小虫必在（或）点，所以，即().

(3)由得，从而，
所以
.

20．（本题满分18分）本大题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。
现代城市大多是棋盘式布局（如北京道路几乎都是东西和南北走向）。在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）。在直角坐标平面内，我们定义两点间的“直角距离”为：

（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”
为2的“格点”的坐标。（格点指横、纵坐标均为整数的点）
（2）求到两定点F1、F2的“直角距离”和为定值的动
点轨迹方程，并在直角坐标系内作出该动点的轨迹。（在以下三个条件中任选一个做答，多做不计分，基保选择条件①，满分3分；条件②满分4分；条件③，满分6分）
①；
②
③
（3）写出同时满足以下两个条件的“格点”的坐标，并说明理由（格点指横、纵坐标均为整数的点）。
①到A（-1，-1），B（1，1）两点“直角距离”相等；
②到C（-2，-2），D（2，2）两点“直角距离”和最小。

16