应力状态理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,应力状态和强度理论,一、应力状态的概念,二、平面应力状态,三、空间应力状态,四、广义虎克定律,五、强度理论,1,全应力,：,A,上的内力,分解为两个分量：,：,正应力,截面法向分量。,：,切应力,截面切向分量。,P,2,过一点可以截取无限个平面，因此，一点的应力是方位的描述量。,问题：是否可以根据有限方位上的应力，表示“一点的应力”？,此问题称为“,一点的应力状态分析,”。又称“,应力,张量,分析,”,P,3,单元体的应力状态,单元体,：,变形固体内按一定方位截割的边长趋于无穷小的,正六面体。,n,4,一点的应力状态,：围绕变形固体内一点所取的单元体的,6,个面,上应力的大小，可以反映该点任意方向上应力的状态。单元体,称为,应力状态单元体,。,描述一点应力状态所需要的单元体,6,个面上的应力分量是,y,x,z,x,x,方向正应力,y,y,方向正应力,z,z,方向正应力,x,x,y,y,z,z,x,x,反向正应力,y,y,反向正应力,z,z,反向正应力,5,x,y,z,xy,x,平面指向,y,方向的切应力；,xy,x,平面指向,y,反向的切应力,xy,yx,y,平面指向,x,方向的切应力；,yx,y,平面指向,x,反向的切应力,yx,yz,zy,xz,zx,yz,y,平面指向,z,方向的切应力,;,xz,x,平面指向,z,方向的切应力,zy,z,平面指向,y,方向的切应力,;,zx,z,平面指向,x,方向的切应力,6,一共,18,个应力分量，称为,一点的应力张量,应用,内力平衡,关系，可以证明,材料力学中以引起的变形的方向确定应力的符号,应力张量写成矩阵形式,有,9,个元素,7,另外，可以证明,切应力互等定理,xy,yx,yz,zy,xz,zx,x,y,z,8,独立的应力张量分量为,6,个,写成矩阵为,一点任意方向的应力可以由这,6,个应力分量确定。,另一种叙述为：已知一点应力状态单元体上,6,个应力分量，,求该点任意方向的应力。,应力状态分析,9,平面应力状态分析,x,y,z,xy,yx,x,x,y,y,z,z,如图，,当,Z,平面上切应力为零,，即,xy,yx,yz,zy,xz,zx,x,y,z,x,x,y,y,z,z,单元体应力状态如图,10,n,单元体应力状态如图,这时，独立的应力分量为,，,，,和,与,XY,平面垂直的平面,上的应力,没有,Z,方向的分量，并且由,x,，,y,及,xy,决定。,平面应力状态,已知,x,，,y,及,xy,，,求任意斜截面,n,上的应力,平面应力状态分析,。,x,y,z,xy,yx,y,y,z,x,x,11,平面应力状态单元体的表示：,n,截面上的应力分解为,x,y,z,xy,yx,y,y,z,x,x,n,正应力,切应力,是截面法向与,x,轴的夹角，,规定：逆时针为正；顺时针,为负。,，,的符号规定同前。,平面应力状态单元体表示,x,x,y,y,xy,yx,yx,xy,x,n,12,平面应力状态分析,解析法,x,x,y,y,xy,yx,yx,xy,x,n,已知平面应力状态单元体,x,，,y,，,xy,（,yx,=-,xy,）,求,和,xy,yx,x,y,n,x,d,A,d,A,x,d,A,y,13,应力符号定义,14,角度,符号：逆时针：,+,；顺时针：,-,15,单元体内力平衡关系,16,17,18,19,主应力，主平面,主平面,20,21,最大切应力和最小切应力,22,主平面与最大切应力作用平面的关系,23,应力状态分析,图解法,消去,2,得：,若以,为横坐标，为纵坐标建立坐标系，得原点,半径,圆方程,24,25,26,27,28,29,30,主平面,31,主应力,32,最大切应力（最小切应力）,33,单元体应力状态与应力圆的对应关系,34,35,36,37,已知一点,A,的应力状态如图，求：,A,点的主应力和主平面。,（应力单位为,MPa,）,25,5,26,22,A,38,25,5,26,22,A,解：,将,A,点的两个截面看成平面应力状态单元体的两个截面,则：,代入,25,5,26,22,A,22,39,两式消去,2,得：,解得,于是该单元体应力状态为,22,22,22,22,5,5,34.6,34.6,40,22,22,22,22,5,5,34.6,34.6,主应力：,主平面：,46.3,46.3,6.7,6.7,28.3,应力圆,（单位：,MPa,）,41,特殊应力状态单元体,A,x,(,，,0),A,y,(,0,，,0),“,单向拉伸,”应力状态单元体与应力圆,42,A,y,(0,),A,x,(0,-,),“,纯剪切,”应力状态单元体与应力圆,0,43,A,x,(,，,-),A,y,(,0,，,),44,“,三向拉伸应力”状态,45,三向应力状态分析,x,y,z,xy,yx,x,x,y,y,z,z,考虑特殊情况：,z,是主应力,2,3,1,主单元体，三个主应力,规定：,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,应变状态分析和应力,应变关系,应变,单元体变形大小的度量。,应变的形式有两种,线应变,单元体尺寸改变的度量,。用,表示，定义为,x,y,z,dx,dy,dz,x,方向的线应变,x,单元体,x,方向变形量,线应变的符号：,伸长为正；缩短为负,线应变的单位：,表示在单位长度上发生,10,-6,的,变形量。,58,同理，定义,其中,v,，,w,表示单元体在,y,，,z,方向的变形量。,一般地，任意方向的线应变表示为,原长；,l,（原长的）变形量。,59,切应变（剪应变）,单元体形状改变的度量。用,表示，,定义为,x,y,z,dx,dy,dz,xy,单元体,xy,平面内,直角的改变量。,同样，可以定义,切应变具有角度的单位,弧度。,切应变符号,:,直角增加为,正,;,直角减小为,负,;,60,切应力与切应变的符号关系,61,平面应变状态分析,x,x,y,y,xy,yx,yx,xy,x,n,与,平面应力状态分析,类似，,应用几何的方法可以建立单,元体,正应变,x,、,y,，,切应变,xy,、,yx,与任意方向上,正应变,，,切应变,的变换关系。,首先，可以证明,62,dx,dy,o,a,b,c,m,n,o,a,b,c,m,n,63,主应变，主平面,主应变：,主平面：,主平面上切应变为零。,对于,各向同性材料,，,可以证明，任意点的应变主方向与应力,主方向是一致的。,64,平面应变测量,在工程中，可以应用实验的方法测定一点的应变状态，从而确定,主平面和主应变。方法是在测点选定三个方向,1,，,2,，,3,测出,对应的正应变,1,，,2,，,3,，于是有,解出,x,，,y,，,xy,代入主应变关系式和主平面关系即可。,65,45,90,应用,0,-45,-90,“,直角应变花”测量的应变,0,，,45,，,90,计算,测点的主应变与主方向。,66,解：,取,0,为,x,方向；,90,为,y,方向，有,代入,45,90,x,y,解出,有,67,于是,主应变：,主方向：,68,应力,-,应变关系,应力状态分析,利用平衡条件；,应变状态分析,利用几何条件。,与材料的特性无关。,相同受力条件下不同材料的变形不同,。,材料的,受力与变形之间的关系,把这种关系称为,物理关系,取决于材料自身性质，由试验确定，称为,材料的力学性质,。,基本物理关系：材料应力,-,应变之间的关系,胡克定律。,适用于,线性弹性材料,69,材料单向拉伸变形，当应力不超过一定量值时，线应变与正应力,成正比，表示为,E,材料的弹性模量,材料纯剪切变形，当应力不超过一定量值时，切应变与切应力,成正比，表示为,G,材料的切变模量,胡克定律,70,横向变形与泊松比,试验证实，几乎所有的材料在产生纵向线应变,时，会产生与,垂直方向上的线应变,，且方向与,相反，大小成比例。,称为,横向变形效应。,无量纲比例常数，材料性质。称为,泊松比,对任何材料泊松比值,0,0.5,对于普通碳钢，,71,复杂应力状态的应力应变关系,广义胡克定律,xy,yx,yz,zy,xz,zx,x,y,z,x,y,z,一个方向（如,x,方向）的线应变由,三个线应变构成：,72,广义胡克定律,1,）,各向同性材料,2,）,小变形,正应力不引起切应变；切应力不引起线应变,3,）,对于任意方向,(,包括主单元体,),成立,此定律适用于,:,73,主应力与主应变,平面应力状态,74,各向同性材料,弹性模量,E,、,泊松比,、,切变模量,G,之间的关系,体积应变,平均应力,1,2,3,75,例：,从钢构件内某一点的周围取出一单元体如图所示。根据理论计算已经求得,=30MPa,，,=15MPa,。材料,E=200GPa,。,=0.30,。试求对角线,AC,的长度改变,l,。,解,:,将单元体看成一平面应力状态,于是：,76,由广义胡克定律,77,45,0,45,已知某点的单元体应力状态如图，现测得该点,x,方向线应变,0,=25010,-6,；与,x,成,45,方向的线应变,45,=14010,-6,。材料弹性模量,E=210GPa,；泊松比,=0.28,。,求：该点的主应力大小及主方向。,78,45,0,45,解：,由广义胡克定律,由应变状态分析,79,于是,主应力,：,主平面,：,80,45,0,45,8.67,53.75 MPa,-1.25 MPa,81,另法：,45,0,45,由广义虎克定律：,82,由广义虎克定律：,解出,45,0,45,83,一钢块开一个直径,d,=50.001,mm,的凹槽，放入一直径,d,1,=50,mm,的铝合金柱，弹性模量,E,=70GPa,，泊松比,=0.33,设施加压力,P,=100kN,设钢块不变形。求圆柱的主应力。,P,84,解：铝圆柱应力状态分析,P,z,在与,P,垂直的平面内“均匀受压”。,85,广义胡克定律,z,而,最后,86,例：,在一钢块上槽内紧密无隙地嵌入一铝质立方块，尺寸为,10mm,10mm,10mm,。当铝块受到压力,P=6kN,的作用时，假设钢块不变形，铝的弹性模量,E=70GPa,泊松比,=0.33,。试求铝块的三个主应力及相应的变形。,解：,87,88,