张量和应力张量优秀PPT.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,附录 张量和应力张量,1,张量的基本概念,2,应力张量,由于弹性力学研究对象的普遍性，导致方程也较繁杂，推导也同样复杂，为了使得公式表示简捷，近几十年弹性力学的论述及方程列式采用指标符号表示。为了这一原因，这里也简单介绍一些基本概念。这些符号或公式都是在笛卡尔坐标系中采用。,1,1,张量的基本概念,1.1,角标符号,1.2,求和约定,1.3,张量的基本概念,1.4,张量的某些基本性质,2,1.1,角标符号,带有下角标的符号称为,角标符号,，可用来表示成组的符号或数组。,例：,直角坐标系的三根轴,x,、,y,z,x,1,、,x,2,、,x,3,x,i,(,i,=1,，,2,，,3),；,空间直线的方向余弦,l,、,m,、,n,l,x,、,l,y,、,l,z,l,i,(,i,=,x,，,y,，,z,),；,表示一点应力状态的九个应力分量,xx,、,xy,ij,(,i,，,j,=,x,，,y,，,z,),；,等等。,3,如果一个角标符号带有个,m,角标，每个角标取,n,个值，则该角标符号代表,n,m,个元素。,例,ij,(,i,，,j,=,x,，,y,，,z,),有,3,2,=9,个元素,(,即九个应力分量,),。,4,1.2,求和约定,求和约定,：如果在算式的某一项中有某个角标重复出现，就表示要对该角标自,1,n,的所有元素求和。,例,空间中的平面方程为：,采用角标符号,A,、,B,、,C,a,1,、,a,2,、,a,3,a,i,(,i,=1,，,2,，,3),x,，,y,，,z,x,i,(,i,=1,，,2,，,3),上式可写成：,采用求和约定则可简记为：,5,求和约定,-,合并例,例,1,例,2,重复出现的角标称为,哑标,，不重复出现的角标称为,自由标,。,自由标不包含求和的意思，但它可表示该表达式的个数。,6,求和约定,-,展开例,例,1,例,2,例,3,7,例,4,例,5,8,例,6,9,1.3,张量的基本概念,只需一个实数就可以表示出来简单的物理量称为,标量,。例如距离、时间、温度等。,需用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量称为,矢量,。例如位移、速度、力等。,对于复杂的物理量，例如应力状态、应变状态等，需要用空间坐标系中的三个矢量,(,也即九个分量,),才能完整地表示出来，这就是张量。,张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义为：由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合称为,张量,。,10,物理量,P,在空间坐标系,x,i,(,i,=1,，,2,，,3),中存在九个分量,P,ij,(,i,，,j,=1,，,2,，,3),；,在新空间坐标系,x,k,(,k,=1,，,2,，,3),中存在九个新分量,P,kr,(,k,，,r,=1,，,2,，,3),坐标系间关系,九个方向余弦可记为,l,ki,或,l,rj,(,i,，,j,=1,，,2,，,3,；,k,，,r,=1,，,2,，,3),。,由于,cos(,x,k,x,i,)=cos(,x,i,x,k,),，所以,l,ki,=,l,ik,，,l,rj,=,l,jr,。,l,33,l,32,l,31,x,3,l,23,l,22,l,21,x,2,l,13,l,12,l,11,x,1,x,3,x,2,x,1,11,张量概念及其判别式,若物理量,P,在坐标系,x,i,中的九个分量,P,ij,与在坐标系,x,k,中的九个分量,P,kr,之间存在下列线性变换关系：,则这个物理量则为,张量,。,用矩阵表示：,张量所带的下角标的数目称为,张量的阶数,。,P,ij,是二阶张量，矢量是一阶张量，而标量则是零阶张量。,12,二阶张量的判别式的矩阵形式,13,1.4,张量的某些基本性质,存在张量不变量,张量的分量一定可以组成某些函数,f,=,f,(,P,ij,),，其值与坐标轴的选取无关，即不随坐标而变，这样的函数就叫做,张量的不变量,。,对于二阶张量，存在三个独立的不变量。,张量可以叠加和分解,几个同阶张量各对应分量之和或差定义为另一同阶张量。,两个相同的张量之差定义为,零张量,。,14,张量可分对称张量、非对称张量、反对称张量,若,P,ij,=,P,ji,，则为,对称张量,；,若,P,ij,P,ji,，则为,非对称张量,；,若,P,ij,=-,P,ji,，则为,反对称张量,。,二阶对称张量存在三个主轴和三个主值,如取主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量都将为零，只留下两个下角标相同的三个分量，称为,主值,。,15,1.5,应力张量,外力确定后，受力物体内任意点的应力状态即已确定。但表示该点应力状态的各个分量在不同坐标系中将有不同的数值，因此在不同坐标系中该点的应力分量之间应该存在一定的关系。,设受力物体内一点的应力状态为：,在,x,i,(,i,=,x,，,y,，,z,),坐标系中为,ij,(,i,，,j,=,x,，,y,，,z,),；,在,x,k,(,k,=,x,，,y,，,z,),坐标系中为,kr,(,k,，,r=x,，,y,，,z,),；,ij,与,kr,之间的关系符合数学上张量的定义，即存在线性变换关系：,16,因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量，称为,应力张量,。可用张量符号,ij,表示；,由,于切应力互等，所以应力张量是二阶对称张量；,每一分量称为,应力张量分量,。,根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、存在三个主轴,(,主方向,),和三个主值,(,主应力,),以及三个独立的应力张量不变量。,17,