多稳态动力系统中随机共振的研究进展.pdf

2023力学进展版权所有review.1Advan2mMech53(2):357-394Jin Y F,Xu P F,Li Y G,Ma J Z,Xu Y.Stochastic resonance of multi-stable dynamical systems:A研究综述力展进学2023年6 月第2 期第53 卷多稳态动力系统中随机共振的研究进展靳艳飞1许鹏飞2李永歌3,5马晋忠4许勇3,5,*1北京理工大学力学系，北京1 0 0 0 8 12山西农业大学数学系，山西晋中0 30 8 0 13西北工业大学数学与统计学院，西安7 1 0 0 7 24山西大学数学科学学院，太原0 30 0 0 65西北工业大学空天领域复杂性科学教育部重点实验室，西安7 1 0 0 7 2摘要非线性随机动力学是力学、数学、工程等多个领域关注的热点，在航空航天、机械工程、生物生态等领域有广泛的应用.多稳态动力系统作为其最重要的研究对象，在随机扰动下具有丰富的动力学行为，如随机分岔、随机共振等，尤其是随机共振，已经被应用于机械故障诊断、微弱信号检测和振动能量俘获等工程实际问题中.本文主要综述了多稳态动力系统中的随机共振理论、方法及工程应用.首先，通过几类典型的非线性随机动力学系统，介绍了随机共振的经典理论和度量指标；其次，重点阐述了多稳态动力学系统，尤其是三稳态和周期势系统，在各类噪声激励下的随机共振现象，分析了其诱发机理、演化规律和研究方法；最后，介绍了多稳态动力系统中随机共振的几类应用实例，并进一步给出了随机共振当前面临的难题和未来的发展趋势等开放性问题关键词随机共振，多稳态动力系统，相干共振，平均首次穿越时间，非高斯Lvy噪声中图分类号：0 32 4文献标识码：ADOI:10.6052/1000-0992-22-047收稿日期：2 0 2 2-1 1-2 8；录用日期：2 0 2 3-0 2-2 7；在线出版日期：2 0 2 3-0 3-1 1E-mail:引用方式：靳艳飞，许鹏飞，李永歌，马晋忠，许勇.多稳态动力系统中随机共振的研究进展.力学进展，2 0 2 3，53(2)：357-394力358展学2023年第53 卷进1引言随机共振（stochastic resonance）主要描述弱噪声、弱周期激励和非线性之间的相互作用，造成规律性系统状态跃迁的现象（Benzi et al.1981).以非线性双稳态系统为例，仅有弱周期激励时，系统不足以跨越势垒实现两个稳态之间的跃迁，但随机噪声的加入使势垒间的跃迁成为可能，并在最优噪声强度下达到周期激励与系统状态跃迁的同步，发生随机共振.这与确定性激励下系统的经典共振有本质不同，经典共振是外激频率与系统固有频率相近或满足某种关系时响应振幅增强的现象，本质是振动能量的最大化；而随机共振的本质是系统状态的噪声诱导跃迁事件和弱周期激励的同步，体现了弱噪声激励对非线性系统的有益作用.随机共振改变了人们对噪声的认识，体现了噪声有利的一面，引起了力学、物理、生物、信息及机械工程等不同学科的广泛关注，在航空航天、机械工程、生物生态等领域得到了实际应用，并在理论、实验和应用方面取得了丰硕的成果.在理论方面，可分为经典随机共振理论和非经典随机共振理论.经典随机共振理论是在随机共振三要素（弱噪声、弱周期激励和非线性系统）基础上提出来的，包括绝热近似理论（McNamara&Wiesenfeld1989，Ca r o l i e t a l.1 98 1)、线性响应理论（Dykman et al.1988，1 993)、本征值微扰理论（Hanggi&McClintock 1985,Fox1989）和驻留时间分布理论（Zhou&Moss1990,Gammaitonietal.1995）等.随着学者们对随机共振的深入研究，发现在三要素不满足的条件下也会出现随机共振现象，即非经典随机共振理论.例如，参数调节随机共振（Jung1995，X u e t a l.2 0 0 2)、自适应随机共振（Mitaim&Kosko1998)、相干共振(Masoliver&Robinson 1995,Porra 1997,Dhara&Mukhopadhyay 1999)、耦合随机共振(Zhang et al.1998,Siewert&Schimansky-Geier 1998,Sbitney&Pustovoit 2000)、线性随机共振（Berdichevsky&Gitterman1999，Ji n e t a l.2 0 0 5)、逻辑随机共振（Zhang etal.2012,靳晓琴等2 0 1 3）等.在实验方面，通过Schmitt触发器电路系统首次用实验方法证实了随机共振的存在（Fauve&Heslot1983)，随后在双向环型激光仪中也发现了随机共振现象（McNamaraetal.1988)，该实验对随机共振研究和发展起到了重要作用。此后，利用电子线路模拟不仅证实了经典随机共振理论研究的结果和预言，而且明确了绝热近似理论和线性响应理论的适用范围(Debnath etal.1989,Gongetal.1991).同时，大量的随机共振实验研究表明随机共振现象存在于生物系统(Douglasset al.1993，M c D o n n e l l&A b b o t t 2 0 0 9)、神经模型（Moss et al.2004)、激光模型（Van derSandeet al.2005)、电子及量子系统(Castro et al.2001，W e l l e n s&Bu c h l e i t n e r2000）和即时系统（Chapeau-Blondeau&Godivier1997,Duan et al.2019).特别地，自1 997 年Chapeau-Blondeau等在即时非线性系统中将随机共振理论应用到信号传输以来，随机共振在信号处理领域的发展也是日新月异，包括基于Caratheodory定理和带约束凸优化理论，对于信号检测和估计中噪声有益性的研究（Kay2000,Pateletal.2009)；结合自适应随机共振理论与超阈值随机共振神经网络，提出了基于数据驱动正则化的噪声提升后向传播算法(Duan etal.2022,Bai et al.2022).随着理论和实验研究的深入发展，随机共振的应用越来越广泛，几乎涉及自然科学的各个领域，展示出其巨大的应用价值.值得一提的是，Reviewsof ModernPhysics上以“Stochastic359靳艳飞，许鹏飞，李永歌，马晋忠，许勇第2 期多稳态动力系统中随机共振的研究进展Resonance为题的综述性文章（Gammaitonietal.1998)，总结了近2 0 年来随机共振的研究成果及未来工作的展望，截至2 0 2 2 年1 1 月，通过Webof Science数据库检索该文章的引用次数超过了50 0 0 次.Lindner等(2 0 0 4)在Physics Reports上发表的论文“Effects of noise in excitablesystems综述了一些经典可激发系统的噪声诱导共振机制，包括随机共振和相干共振（coherenceresonance)，介绍了其在生物物理、激光科学领域的应用.McDonnell等（2 0 0 8）在其专著中详细阐述了超阈值随机共振的相关理论，并将其扩展到了更普遍的随机信号量化模型中，特别展示了超阈值随机共振在人工耳蜗设计中的应用.多稳态动力系统是指同时有两个以上吸引子共存的非线性系统（Kraut etal.1999,Christi-ansen et al.2002,Martinez-Zerega&Pisarchik 2012,Pisarchik&Feudel 2014,Oliver et al.2016,Liuetal.2021)，其典型代表包括：多稳态能量采集器（Kim&Seok2014，Zh o u e t a l.2 0 1 4)、机翼颤振系统（郝颖&吴志强2 0 1 3)、转子碰摩系统（江俊&陈艳华2 0 1 3)、光纤激光器（Pisarchiketal.2003)、多物种竞争生存模型（Huisman&Weissing2001）等.大多数多稳态动力系统对随机扰动高度敏感，因为小的噪声或任意其他外扰动可能使系统状态从一个吸引子切换到另一个吸引子，此时系统会出现新的动力学行为，因此随机激励下多稳态动力系统一直是随机动力学研究的重点问题之一，特别是多稳态动力系统中随机共振的理论方法和应用研究.近年来，在经典的两态模型理论基础上，多稳态模型的噪声诱导共振理论及其分析方法得到了相继发展.本文综述了近年来多稳态动力系统中随机共振的理论、方法及应用，并指出了值得关注的若干问题，2随机共振经典随机共振是指弱噪声、弱周期激励和非线性共同作用而产生的一种动力学跃迁现象。该共振机制在于噪声和输入微弱周期信号的协同作用能够有效增强非线性系统的输出响应，其统计特征量在适量噪声强度下达到最优值.可见，噪声对非线性系统的动力学行为起到了有序的建设性作用，提升了弱输入信号对系统的调控能力.随机共振理论的研究依赖于随机动力学分析方法，而在爱因斯坦理论基础上建立的朗之万方程是研究随机共振的主要数学模型之一.近年来，由于在通信、航空航天、机械、土木及海洋等工程领域内的实际需求，随机噪声理论、随机振动和随机结构动力学（Roberts&Spanos1990，方同1 995,Lin&Cai1995）均相继得到发展，并提出了许多精确的或近似的解析方法和高效数值算法，例如：福克-普朗克方程法(Risken1984,Maetal.2019)、随机平均法（Zhu1994,2000,2003,2017；金肖玲等2 0 1 3;Xuetal.2014;许勇等2 0 1 7)、概率密度演化理论方法（李杰和陈建兵2 0 1 0)、胞映射方法（Sun&Xiong2017,徐伟2 0 1 6)、路径积分法（Xuetal.2019)、随机有限元法（赵雷等1 999，郭书祥等2 0 0 0）等，进而影响着随机共振的研究及应用。常用的经典力学模型是高斯白噪声和简谐激励共同作用下的黏性阻尼双稳态系统，其数学模型可表示成如下二阶非线性朗之万方程dU()mi(t)+i(t)+=F(t)+(t)(1)dc式中，m为系统的质量，(t)是系统位移，为阻尼系数，U(a)=-ur/2+4/4(0）为对称的噪力360展进学20233年第5 3 卷双稳态势函数，F(t)=Acos(wt)为简谐激励，参数A和w分别表示其幅值和频率.s(t)为高斯白声，其均值和相关函数为(S(t)=0,(S(t)s(t)=2D(t-t)(2)其中D为噪声强度.当A=D=0时，由双稳态势函数U(c)可知，系统存在一个不稳定点co=0和两个稳定点1,2=Vp，如图1 所示.由朗之万方程(1)描述的随机动力学模型，以直观、简洁的形式表征了系统的涨落、耗散、驰豫等特性.当系统的阻尼系数变得比较大时，方程（1)左边的惯性项作用减弱，即在较大的阻尼力作用下可近似忽略惯性项的影响，方程(1)退化为一阶过阻尼双稳态模型.然而，现实中大多数系统的当前状态或多或少都与历史状态有关联，这就需要采用具有记忆特性的色噪声或非高斯噪声来代替高斯白噪声，进一步分析复杂噪声情形下随机共振现象的发生机理及演化规律2.1经典的随机共振当式（1）中A=0时，利用福克-普朗克方程可计算出系统穿越势阱的逃逸速率，即著名的克莱默斯逃逸速率(Kramers1940)VU(a)/U(co)AUTKexp(3)2元D其中U=U(co）-U(a 1)为势垒高度.需要说明的是，在双稳态模型中首次穿越时间定义为系统首次从一个势阱逃逸到另一个势阱中的持续时间.由于噪声激励下首次穿越时间在各次试验中是不同的，一般需要通过对其进行平均得到统计意义上的平均首次穿越时间.在弱噪声条件下(i.e.DU)，平均首次穿越时间Tk近似为克莱默斯逃逸速率rk的倒数，即Tk=1/rK.在非弱噪声条件下，胡岗（1 994)给出了具有吸收壁边界系统的平均首次穿越时间的计算公式.仅在噪声作用下，系统(1)在两个稳态a1,2之间可以转换，由于势垒高度相等，两个方向的跃迁概率相同，同为克莱默斯逃逸率rK.当式（2)中D=0时，即仅在简谐激励作用下，此时A存在临界值A=2V3a/9，当AAc时，系统才能克服势垒在两个稳态间做大范围的运动.当叠加适量的弱噪声时，即使在AAc时，系统仍可以在两个稳态ai和c2之间跃迁，见图2.当阱间的跃迁频率和简谐激励周期达到一种统计意义上的同步时，即当Tk=T/2(T=2元/w）时，系统发生随机共振.下面介绍几种判断系统发生随机共振的判定方法和指标量：(1）信噪比（signal-to-noiseratio，SNR)：该方法通过系统输出功率谱在简谐激励的频率处存在一个明显的峰值来刻画随机共振(Benzi et al.1981).基于该工作，信噪比通常被用来检验随机共振的发生，其定义为在输入频率w上的谱高与附近背景噪声的平均谱高之比rw+AwSNR=2limS(wi)dwi|/Sn(w)(4)Aw-0w-Aw式中，谱S(w)是来源于输出信号，谱Sn(w)是来源于输出噪声.随着噪声强度的增加，如果信噪比曲线出现非单调共振峰，说明系统有随机共振发生.361多稳态动力美系统中随机共振的研究进展靳艳飞，许鹏飞，李水歌晋忠，许勇第2 期图1双稳态势函数示意图T/4TT/23T/4图2对称双稳态系统（1）的随机共振示意图（Gammaitonietal.1998)(2)线性响应理论(Dykmanetal.1993)：在弱简谐激励下，系统（1)的平均输出可表示为(a(t)as=A1i cos(wt+)(5)其中，由涨落耗散定理可得到其幅值Ai和相位差的形式Ai=A|x(w)l,=-arctan Imx(w)/Rex(w)(6)1X（0 川19性,Rex(w)=2D-1.P J wi(w-w2)-1 s(wi)dw1,Imx(w)=TwS(w)/D,这里x(w)为系统的敏感性,Rex(w)=2D-1.P Jw(w-w 2)-s(w 1)d w 1,Im x(w)=wS(w)/D,P代表柯西原理部分，D为输入噪声强度，S(w)为无简谐激励时系统输出的涨落谱密度.当幅值Ai和相位差作为噪声强度的函数变化曲线分别出现极大值和极小值时，系统出现随机共振现象，值得指出的是该极大值和极小值对应的噪声强度不一定完全相等.(3)驻留时间分布(Zhouetal.1990)：假设T(i)=ti-ti-i代表系统在阱间发生两次连续跳跃之间的驻留时间，针对无简谐激励的对称双稳系统，其服从泊松分布N(T)=(1/Tk)exp(-T/Tk）（Pa p o u l i s 196 5)；对于简谐激励情况，驻留时间分布函数在1/2 个驱动周期T/2=元/w的奇数倍（即，（2 n1)T/2，n=1,2,）处出现峰值，且随着n的增加，这些峰值呈指力362学2023年第53 卷展进数下降趋势.该现象可以解释为：当势阱的对称性被打破，势垒高度最小的时候，系统在势阱间的跃迁是最容易的，如果在T/2内系统不能跃迁，那么就必须在原来的势阱内多驻留至少一个周期，因此驻留时间的分布总是对应着T/2的奇数倍.驻留时间分布是对于各自然领域都适用的概念和测量方法(Hanggi etal.1990).2.2相干共振相干共振是一种特殊的随机共振，发生在仅有噪声激励的非线性动力系统中，当输入的噪声强度取最优值时，系统输出呈现出高度的规律性，它体现了噪声激励下系统自振的周期性，这种现象最初被称为无周期激励随机共振或自随机共振（Huetal.1993,Longtin1997，Pi k o v s k y&Kurths1997).Pikovsky等考虑了如下典型的可激系统，其动力学方程可表示为ei(t)=(t)-r3(t)/3-y(t)(7)g(t)=a(t)+a+(t)其中r(t)为触发变量，y(t)为恢复变量，1时平衡点(a*,y*)是稳定的；但当|al1时平衡点（c*,y*)失稳，系统出现极限环解.若a稍微大于1，此时系统是可激的，如图3中所示.可见，当取适当的噪声强度（D=0.0 7）时，系统输出表现出明显的相干性，系统出现相干共振现象.在随机噪声的扰动下，将系统从平衡点处激活跳跃到极限环区域，该时间也被称为激活时间Ta(activation time)；系统到达激活态后经过恢复态又返回平衡点，该时间定义为偏移时间T(excursion time)；T=T a+T e称为脉冲持续时间（pulse duration).由于Taexp(c/D)(c为常数），而T受噪声强度影响不大，对于小的D，T,T a；对于较大的D，T T e.在相干共振发生的最优噪声强度处，T,的归一化振荡函数var(T,)/T,)达到极小值.因此，定量刻画相干共振现象成为一个重要问题，一般采取如下的判断方法和指标量：(1）特征相关时间（characteristic correlation time）（Pi k o v s k y&K u r t h s 1997)：特征相关时间通常被用来检验相关共振的发生，其定义为8T.=C?(t)dt(8)Jo式中,C(T)=(g(t)-g)(g(t+T)-g)/(g(t)是归一化的自相关函数，这里9=(y(t).如果存在一个最优噪声强度，使得特征相关时间达到最大值，说明此时系统发生了相干共振.(2）功率谱（powerspectrum)：不考虑简谐激励的情况下，系统（1）中输出变量的功率谱可表示为-8S(w)=a(t)a(t+T)eiwTdT(9)8在发生相干共振的最优噪声强度下，功率谱在有限的频率处达到最大值.图3363多稳态动力系统中随机共振的研究进展靳艳飞，许鹏飞，李永歌，马晋忠，许勇第2 期D=0.2500102030405060708090100D0.07100102030405060708090100D0.02激活时间偏移时间0102030405060708090100t不同噪声强度下模型（7)的动力学响应，其中a=1.05，=0.0 1，（a(0),y(0)=(0,0)(Pi k o v s k y&Kurths 1997)(3）品质因子（degreeof coherence）（H u e t a l.1993)：系统品质因子的定义为=hpwp/Aa(10)式中，hp为功率谱谱峰的最大值，为功率谱（9)最大峰值对应的频率，表示在其峰的高度为hp/Ve处对应的频率宽度，e为自然常数.当品质因子随着噪声强度出现非单调变化，且在最优的噪声强度处出现一个单峰时，可以判断相干共振发生.相干共振体现了有噪系统自身的周期性和相干性，针对其发生机理已开展了大量的研究工作.例如，Pradines等（1999）发现相干共振现象依赖于系统的慢变和快变运动行为.Vanden-Eijnden等对该问题进行了深入的研究，将慢变尺度上的相干行为称为相干共振，而将快变尺度上的相干行为称为自诱导随机共振（self-induced stochastic resonance）（Le e D e Vi l l e e t a l.2 0 0 5,Muratovetal.2005)，由于其系统参数远离分岔值，故具有更强的鲁棒性，为通过噪声控制生物系统的功能函数提供了一种可靠的方法，被广泛的应用于神经元系统放电行为的分析(Ya-makou&Jost2019,Postnovetal.2000,ZhuLi u 2 0 16).自诱导随机共振也被认为是平均首次离出时间与系统内烹的时间尺度之间的匹配（朱金杰等2 0 2 0).3多稳态动力系统的随机共振多稳态动力系统具有多个吸引子，在确定情形下，系统一般处于某种稳定状态.在随机噪声激励下，系统会在不同的稳定状态之间跃迁，当噪声强度较小时，系统较难克服势垒高度，会被长时间困在某个势阱内进行阱内的运动；当噪声强度增大时，系统能够轻松克服势垒高度，在不同的势阱之间做大范围的阱间跃迁运动。不同于双稳系统中非此即彼的两状态跃迁，多稳态系统中的跃迁存在更多的可能性，导致其随机共振研究更复杂，需要厘清多稳态结构下系统的跃迁机力36420233年展学进第53 卷理和随机共振机制3.1多稳态动力系统多稳态动力系统有多重情形，如含有多个平衡点的多稳态系统，平衡点、周期解与混沌解共存的多稳态系统等，接下来以包含多个平衡点的系统为例简要说明.(1）具有三个势阱和两个势垒结构特征的三稳态系统.相较于传统的单稳态或双稳态系统，其在随机激励作用下可连续穿越势垒，使系统在两侧势阱之间实现大范围的阱间运动，从而增强系统的输出响应.在系统(1)中，三稳态势函数具有如下一般形式(Lietal.2013)ab(1CU(a)=C62(11)642其中a，b 和c代表非线性恢复力的刚度系数.如图4(a)所示，系统存在三个稳定平衡点和两个不稳定平衡点，其中稳定点位置asm（m=1,2,3）和不稳定点位置aun（n=1,2）如式（12)表示.此外，可以发现两侧势阱的深度和跨度均随着的减小而增大，而中间势阱保持不变.特别地，在图4(b)中，取较大的a和适中的c时，系统由三稳态情形直接退化为单稳态情形.-bc-b+V(bc+b)?-4ac-bc-b-V(bc+b)?-4ac-Cs1=Cs3=,Cs2=0,-Cul=Cu2=2a2a(12)(2）周期势系统.当系统(1)中的势函数具有如下形式时U(a)=-a cos(mor)(13)上式表示一般的对称周期势函数；这里a和mo为正参数.图5展示了周期势函数以及适当条件下系统在离散状态的跃迁，与经典的双稳态势函数系统（参见图1）相比，式（13)存在多个稳定平衡点asn和不稳定平衡点aun，其中asn=2n元/mo，a u n=(2 n+1)元/mo，n 为正整数.周期势模型是一个典型的多稳态系统，随着mo的变化，势阱的宽度发生变化，但势垒的高度U=2a仅与a有关.(3）耦合多稳态系统.随机激励和周期信号驱动下的二维耦合多稳态动力学模型如下aV(a,y)(t)=+r(y-a)+Er cos(wat+Pa)+na(t)aV(c,y)(14)9(t)=+k(a-y)+Ey cos(wyt+Py)+ny(t)这里参数表示线性耦合强度，i、w i 和i分别代表子系统i(i=,y)中的信号幅值、频率和初相位.nr(t)与ny(t)为相互独立的高斯白噪声.耦合势函数V(a,y)具有如下形式（Gandhimathi etal.2006)V(z,)=0.25(4+gl)-(0.55a+0.5g2)-0.005r2 g2(15)如图6 所示，式(15)在一y相平面上存在四个稳定结点，四个鞍点和一个不稳定结点.式(14)对应的确定性系统的动力学行为不仅与耦合强度有关，而且依赖于周期信号.在图7 中，当两个子系统的信号驱动频率显著不同时，随着耦合强度的增加，最大李雅普诺夫指数从负值变365多稳态动力统中随机共振的研究进展靳艳飞，许鹏飞，李永歌，马晋忠，许勇第2 期a3.5b3a=0.029a=0.033a=0.0382.521.5SRTRM0.5-0.50-3.5-2.51.5-0.50.51.52.53.50.0300.0350.0400.0450.050a图4势函数（11)随刚度系数的变化情况（b=-0.2)：(a）c=0.52，(b）Rr 和RM分别代表三稳态和单稳态区域a1.5mo=1.0b0.50S1S2S3Sn-1+Sn-0.5-1.0mo=3-1.51357J图5(a)周期势函数（=1)，(b)离散的多稳态过程（靳艳飞和许鹏飞2 0 2 1)1.5S2u121.0S10.50u23u41-0.5-1.0S3u34S4-1.5-1.5-1.0-0.500.51.01.5图6耦合势函数（15)的平衡点在一y相平面上的分布，其中s，u 和o分别表示稳定结点、鞍点和不稳定结点(Xu&Jin2018)为正值，表明耦合强度的变大使得系统由稳定转变为不稳定的混沌状态.而噪声在自然界是普遍存在的，故随机激励下的耦合多稳态系统能够产生更丰富的非线性动力学行为.力366展学20233年第53 卷进0.030.020.0100.01-0.02-0.0300.51.01.52.0C图7最大李雅普诺夫指数作为耦合强度c的函数曲线，其中eg/e=1，u/w a=1/12（Xu&Ji n 2 0 18)综上所述，尽管系统中出现多个吸引子并呈现多稳态的机制相同，但是大多数多稳态系统都对不确定因素或噪声激励高度敏感.因此需要考虑到每个吸引子代表系统不同的特性，结合多稳态系统的随机动力学分析，有效利用参数设计和控制方法实现激活系统的优良性能，从而避免产生不良的系统状态.下面主要针对具有多个平衡点的动力系统的随机共振研究进展进行评述。3.2周期势系统的随机共振周期势系统的多稳态特点使其在实际中有着广泛的应用.例如，在机械工程领域，周期势系统变尺度随机共振应用于滚动轴承的故障诊断，实验证明其在减少干扰频率成分、节约计算时间和提高信噪比方面比双稳态系统变尺度随机共振更有优势（Yang etal2020)；在物理化学领域，约瑟夫森结（JosephsonJunction）是利用相变序参量特性的超导器件，具有低噪声、低功耗和高工作频率等独特的优点，其动力学模型为单自由度的周期势系统，此外该方程还可以描述阻尼摆的运动、电路中的相位锁定、环形激光陀螺中的锁模、生物通道中离子的渗透等（Chen&Dong1991，Bo u k o b z a e t a l.2 0 10,G a l i n e t a l.2 0 2 0)；在生物领域，分子马达是指一大类广泛存在于细胞内部的能够将化学能转化为机械能的酶蛋白生物分子，由于分子马达总是沿着微丝或微管作轨道运动，构成这些轨道的蛋白亚基顺序排列，形成非对称的周期性结构，故分子马达模型是一类典型的具有周期势的系统(Reimann 2002).在周期势系统的噪声诱导共振研究中，其周期结构带来的强非线性、多稳态特性，使得噪声激励下的系统可以在几个不同的稳态之间跃迁(见图5(b)，系统在多个阱间和阱内的运动具有随机性，无疑增加了理论分析的难度，导致双稳态系统的随机共振理论无法适用，需要发展一些新的理论方法和数值算法.3.2.1高斯白噪声激励情形由于求解噪声和简谐激励共同作用下周期势动力系统对应的福克-普朗克方程较为困难，故平均首次穿越时间、相干共振和随机共振的精确解析结果不易得到，大部分的研究基于一些近似解析方法、数值计算和实验展开.367靳艳飞，许鹏飞，李永歌，为晋忠，许勇第2 期多稳态动力系统中随机共振的研究进展对于随机噪声和简谐激励共同作用的周期势系统，大部分研究主要关注布朗粒子的输运问题和噪声诱导的共振.例如，Hanggi等针对布朗粒子的定向运动或输运问题做了广泛的研究，从热力学和动力学角度深入阐述了噪声的作用机理，推动了量子力学、电子输运和分子马达等的发展(Hanggi&Marchesoni 2009,Reimann&Hanggi 2002,Dean&Hanggi 2002).Fronzoni 和Mannella(1993)首次考虑了高斯白噪声和简谐激励下过阻尼偏置周期势系统的随机共振，通过模拟电路和线性响应理论来研究随机共振，并对比了模拟结果和理论结果，发现两者之间具有一定的差异，说明线性响应理论在此情况下并不适用.Hu(1993)研究了高斯白噪声和常数力共同作用下系统在过阻尼周期势中的运动，揭示了在没有简谐激励下系统中也存在随机共振现象，也把这种共振称为相干共振.Nicolis(2010)借助周期势模型将随机共振的经典两态模型理论拓展至了多稳态动力系统中，解释了系统在初始状态与最终状态的跃迁过程中可以同时存在任意数量的中间稳定状态，并发现存在最优的噪声强度和合适数量的稳定状态可使系统响应最大化，进而为多稳态随机共振的理论研究奠定了基础.对于考虑阻尼情形下高斯白噪声和简谐激励的周期势系统，Kim和Sung(1998)利用矩阵连分法计算了随机共振的指标量，研究结果表明，不同于有界的双稳态系统，无界的周期势系统在小阻尼和大阻尼极限下均不存在传统随机共振，但是扩散常数随着噪声强度会出现类似于随机共振的行为.Jin等(2 0 17)研究了互关联高斯白噪声激励下欠阻尼周期势系统的噪声诱导共振行为，通过路径积分法数值计算了双变量福克-普朗克方程的平均联合概率密度函数、功率谱密度、品质因子及系统输出的幅值和相位，讨论了噪声及噪声之间的互关联性对概率密度演化、相干共振和随机共振的影响，发现随着简谐激励幅值的增大，平均联合概率密度函数在一个周期内由两个独立的单峰变为火山口形状的结构，该现象与随机P-分岔类似（刘开贺等2 0 16).对于有噪的约瑟夫森结系统，Paolo等(2 0 12)提出了一种逃逸时间的测量方法，该方法可用于从周期信号嵌入的噪声中提取信号，并通过实验证明了随机动力学行为依赖于采用的测量方法；Zhang(2001)首先定性分析了确定性系统一维全局吸引子的存在性，然后根据全局吸引子的类型将参数区域分成三部分并通过数值方法讨论了噪声的作用，研究发现在无极限环的节点区和焦点区分别存在阱间和阱内相干共振，而在平衡点和极限环共存区无相干共振.虽然线性响应理论是研究随机共振的一种重要方法，但在周期势系统的随机共振研究中往往会产生一定的偏差（Fronzoni&Mannella1993).此外，对于周期势系统，信噪比、功率谱放大因子等的解析表达式也难以得到.因此，随机能量法（Sekimoto1998）被引入周期势系统的随机共振研究.首先，将朗之万方程（1）写成如下形式dcPedtm(16)dpedU()+Acos(wt)+(t)-dtd.cm式中，a(t)是系统位移，Pe是系统动量.利用随机能量方法（Sekimoto2010,林敏等2 0 11)，从做功以及能量转换关系来考虑，用dc点乘式（16)中第二个等式的两边，可以得到力368展进学2023年第53 卷dpedU()da+(t da-Pe d.dc+Acos(wt)(17)dtdacm这里，（dpe/dt）d a=(d p e/d t）(pedt/m）=d(p e/2 m)为系统动能的微分.考虑到简谐激励的影明令U(c,t)=U()-Acos(wt),则有au(,t)au(,t)di(a,t)=.d+.dtt(18)=dU(c)-Acos(wt)dc+cwAsin(wt)dt根据式(18)，式(17)可表示成如下形式dE=dW+dQ(19)其中，E=pe/2m+U(ar,t)是系统的总能量，dW=awAsin(wt）dt是外力对系统所做的元功,dQ=（s(t）一Pe/m）da是系统的热能，符号d用来区别于微分符号d.式（19)对于随机过程的单个样本轨道定义了功和热的概念.根据随机能量法，定义简谐激励在一个周期To内对系统所做的功(Saikia etal.2011)rto+ToW(to,to+To)=Awa(t)sin(wt)dt(20)CO由式（2 0)知单一轨线（即对应单一的初始条件）的平均输入能量W为N1W=W(nTo,(n+1)To)(21)Nn=0其中N是选取的周期个数.所有轨线的平均输入能量 W)为W关于所有初始值对应输出信号的平均.如果所有轨线的平均输入能量 W)和噪声强度有着非单调共振关系，说明系统存在随机共振.传统的随机共振通常利用信噪比、功率谱放大因子、滞留时间分布等来衡量，而随机能量法通过判断平均输入能量与噪声强度的变化关系来刻画随机共振，故也被称为随机能量共振.该方法考虑了系统与外界之间功和热的交互作用，系统状态的变化伴随着功和热两种不同形式的能量传递，从而清晰的刻画出系统随机共振的产生机理采用上述随机能量法，可以对高斯白噪声和色噪声激励下欠阻尼周期势系统的扩散运动和随机共振行为进行研究（Saikia2014，Re e n b o h n e t a l.2 0 12,Li u&Ji n 2 0 13).通过平均输入能量来判断随机共振的产生，确定系统随机共振发生时最优的热噪声强度，特别是发现随着噪声强度的增大，系统输入能量大的稳定态（相外状态）和输入能量小的稳定态（相内状态）之间出现如图8所示的相互转移，当两者之间的转移达到一个最佳状态时，会出现随机能量共振；如果噪声继续变大，那么所形成的有序就会被噪声所破坏，开始变得混乱。同时，平均输入能量随着噪声强度的增加出现单峰，且噪声相关时间越大，取得随机共振时的最优噪声强度值就越大.可见，利用随机能量法不仅能够有效地研究周期势系统的随机共振现象，而且能够从能量的角度对随机共振的发生机理给出合理解释.3.2.2非高斯噪声激励情形噪声在随机动力学演化中有重要影响，对于某些非线性动力学行为甚至起决定性作用，能够201369多稳态动力系统中随机共振的研究进展靳艳飞，许鹏飞，少永歌马晋忠，许勇第2 期1.41.41.21.21.01.00.80.80.60.60.40.40.20.200-2-10123452-1012345X(0)X(0)a T=0.001b T=0.0210.450.180.400.160.350.140.30I0.2510.120.200.100.150.080.100.050.062-1012345-2-1012345X(0)X(0)c T=0.059d T=0.101图8同热噪声强度下系统平均输入能量相对初始位置出现的相外状态和相内状态（Liu&Jin3）诱导许多新现象的出现。噪声根据其来源可分为内噪声和外噪声，体现为加性噪声和乘性噪声形式，且在某些情况下，它们之间具有Delta函数或指数函数形式的互关联性.另外，高斯白噪声在现实中是不存在的，因为它需要无穷大的功率才能产生出来，所以真实的噪声应该具有非零相关时间或非高斯分布特征.当s(t)为非高斯噪声时，其中的典型例子就是Lvy噪声.由于Lvy噪声的概率密度函数无法显式写出，通常由其特征函数()表示，如下exp-Daj01(1-i sgn(0)tan+iuo,#12刀d(0)=(22)+iul1,=1exp元其中，E(0,2)是Lvy分布的稳定性指标，值越小，说明所对应分布的拖尾越厚；值越大，说明所对应分布的拖尾越薄.当=2时，分布退化为高斯分布.D表示噪声强度，为位移参数，用来描述分布的位置，当1 2时，表示分布的均值.偏斜参数E-1,1衡量系统的对称性，力370展进学2023 年三第53 卷当=0时，分布关于对称.当1 0和0分别对应于向左和向右偏斜的分布，当0 1时，情况相反（顾仁财等2 0 11，王喜英等2 0 11).Lvy噪声的概率密度函数示意图如图9.当随机激励为非高斯Lvy噪声时，系统的福克-普朗克方程从整数阶变为分数阶形式，使得理论求解更加困难，仅极少数特殊情形能够写出理论解（Chechkinetal.2002，李扬等2 0 2 2).因此，Xu等针对分数阶福克-普朗克方程提出了改进的路径积分法和机器学习方法，分别得到了系统高精度的瞬态和稳态概率密度函数（Xuetal.2019;Zanetal.2020,2021，2 0 2 2；Zh a n g e t a l.2020)，讨论了Levy噪声在随机共振中的作用规律（Xuetal.2013,2016;Wangetal.2016,2022;Mei etal.2021)，并将互信息量引入随机共振研究中，从另一个角度揭示了Levy噪声对双稳势函数中逻辑随机共振的影响（Wuetal.2017).如图10 所示，Liu和Kang(2018）研究了Lvy噪声激励下具有周期势函数系统的随机共振，发现随着Lvy噪声的稳定性参数减小系统的随机共振强度越来越弱，而随着Lvy噪声逐渐向右偏斜随机共振效应显著增强.特别地，当考虑欠阻尼系统的运动时，一般通过直接对二阶随机微分方程进行蒙特卡洛数值模拟来直接求数值解。Guarcello等（2 0 15，2 0 16）研究了不同的噪声（如：Lvy噪声、二值噪声）对约瑟夫森结的随机动力学所产生的影响，发现了随机共振