2015届四川省雅安中学高三下学期开学考试文科数学试题及答案.doc

四川省雅安市重点中学2015届高三下学期开学考试
数学（文）试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一个是符合题目要求的．
1．已知全集为R，集合，则=
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；

输出
结束
开始
是奇数

是
否
否
是
B．过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
C．如果共点的三条直线两两垂直，那么它们中每两条
直线确定的平面也两两垂直；
D．如果两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条
直线一定平行；
3．若为实数，则下列命题中正确的是
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．若，则
A．12 B．24 C．30 D．48
5．阅读右侧程序框图，如果输出，那么在空白
矩形框中应填入的语句为
A. B. C. D.
6．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积是

A．4+2 B．4+ C．4+2 D．4+
7．已知向量是与单位向量夹角为的任意向量，则对任意的正实数，的最小值是
A．0 B． C． D．1
8．下列命题正确的是
①“”是 “”的必要不充分条件；
②函数的对称中心是（）；
③“”的否定是“”；
④设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，
则.
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
9．函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是
A. B.
C. D.
10．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.
11．若，则复数
12．已知、满足约束条件，则的最小值是
13．已知幂函数的图象过点,则=
14．有两个等差数列2，6，10,…,190及2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,则这个新数列的各项之和为
15．下列命题中
①函数在定义域内为单调递减函数；
②函数的最小值为；
③已知定义在上周期为4的函数满足，则一定为偶函数；
④已知函数，则是有极值的必要不充分条件；
⑤已知函数，若，则.
其中正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）.

三、解答题 本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分)
在中，角的对边分别是，若。
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，的面积为，求的值。

17．（本小题满分12分）
某学校举行元旦晚会，组委会招募了12名男志愿者和18名
女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图

(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高
个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．
（Ⅰ ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中
共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
（Ⅱ ）若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．

18．（本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列满足：，且是的等差中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，，求使成立的正整数的最小值.

19．（本题满分12分）
如图，圆O为三棱锥P-ABC的底面ABC的外接圆，AC是圆O的直径，PABC，点M是线段PA的中点．
（Ⅰ）求证 BCPB；
（Ⅱ）设PAAC，PA=AC=2，AB=1，求三棱锥P－MBC的
体积；
（Ⅲ）在ABC内是否存在点N，使得MN∥平面PBC？
请证明你的结论.

20．（本题满分13分）
已知函数为常数．
（Ⅰ）当时，求的单调区间；
（Ⅱ）当时，若在区间上的最大值为，求的值；
（Ⅲ）当时，试推断方程=是否有实数解．

21．（本题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，求的极值；
（Ⅱ）讨论的单调性；
（Ⅲ）设有两个极值点，，若过两点，的直线与 轴的交点在曲线上，求的值．

三、解答题：
16、解（1）∵，由正弦定理得：，
∴
∵，∴ ∴， 又
∴； ………………………………………………………………………………… 6分
（2）方法一：∵，的面积为，∴ ∴ ……8分
，即， …………………………………………… 9分
， …………………………………………………………… 10分
∴. …………………………………………12分
方法二：
………………………………12分
17、解　(1)根据茎叶图知，“高个子有12人，“非高个子”有18人，
用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是＝，
所以抽取的5人中，“高个子”有12×＝2人，“非高个子”有18×＝3人．
“高个子”用A，B表示，“非高个子”用a，b，c表示，则从这5人中选2人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，
至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共7种．
因此，至少有一人是“高个子”的概率是P＝. ………………………………………6分
(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有2名女志愿者身高为180 cm以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况，
身高相差5 cm以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm以上的概率为＝. …………………………………………………12分
18、解（1）设等比数列的首项为，公比为，以题意有：
代入，得
∴ ……………………………………………………………………… 3分
解之得： …………………………………………………………… 5分
又∵单调递增，∴
∴ ………………………………………………………………………………… 6分
(2) …………………………………………………………… 7分
∴①
∴②
∴②-①得：
= …………………………………………………………………………9分
由得，∴>52.
又当时，＜52
当时，﹥52
故使成立的正整数的最小值为5 ………………………………12分
19、

（Ⅰ）证明：如图，因为，AC是圆O的直径，所以BC⊥AB 1分
因为，BCPA，又PA、AB平面PAB，且PAAB=A 2分
所以，BC平面PAB，又PB平面PAB 3分
所以，BCPB 4分
（Ⅱ）如图，在RtABC中，AC=2，AB=1
所以，BC=，因此， 6分
因为，PABC，PAAC，所以PA平面ABC
所以， 8分
（Ⅲ）如图，取AB得中点D，连接OD、MD、OM，则N为线段OD（除端点O、D外）上任意一点即可，理由如下 9分
因为，M、O、D分别是PA、AC、AB的中点
所以，MD∥PB,MO∥PC
因为，MD平面PBC，PB平面PBC
所以，MD∥平面PBC 10分
同理可得，MO∥平面PBC
因为，MD、MO平面MDO，MDMO=M
所以，平面MDO∥平面PBC 11分
因为，MN平面MDO
故，MN∥平面PBC． 12分
20、解：（Ⅰ）由已知知道函数的定义域为 1分
当时，，所以 2分
当时，；当时，
所以，的单调增区间为，减区间为． 4分
（Ⅱ）因为，，令解得 5分
由解得，由解得
从而的单调增区间为，减区间为 6分
所以，
解得，． 8分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知当时，，
所以，≥1 9分
令，则
当时，；当时，
从而在上单调递增，在上单调递减
所以， 11分
所以，，即
所以，方程=没有实数根． 13分
21、解：（Ⅰ）当时，，则

令 1分
则的关系如下：

增

减

增
3分
所以，当时，的极大值为；当时，的极小值为．…4分
（Ⅱ）∵，∴ …5分
① 当 时，，且仅当时，所以在R是增函数 6分
② 当 时，有两个根
当时，得，所以的单独增区间为：
；
当时，得，所以的单独减区间为：
． 8分
（Ⅲ）由题设知，，是的两个根，∴，且
所以
9分
同理，

第 - 13 - 页 共 13 页