公务员考试：行测答题技巧及例题5000题.doc

2015 2015 年公务员考试：行测答题技巧及例题年公务员考试：行测答题技巧及例题 5000 5000 题题（1 1）解题技巧透析解题技巧透析 参加过公考的人都知道行测最大的问题就是题量巨大，时间有限。如果时间足够，高分不是问题。那么针对行测如此大的阅读量和考试有限的时间，该怎么办呢？学会快速阅读是必须的。快 速阅读不仅有利于提高阅读速度，同时对你抓住题干的重点和关键有非常好的作用，对记忆力也 有很好的辅助和提高。我参加了三年公务员考试，第一次一半的题都没做完时间就到了，结果考的很惨；第二次好好的 准备了，结果还是差那么一点，没有过关，最大的问题就是很多东西没记住和时间不够。第三次，经过近一年的充足准备，最后终于上岸，暮然回首，真是一把幸酸泪啊。因为我在备考的阶段，在一家小公司上班，特别忙，很多时候都要加班，难得有时间休息，很多朋友约出去喝酒、唱K，却要忙着看书、刷题。那一年多的时间，基本忽略了身边的朋友，被各种埋怨。更是没有时间陪 女朋友逛街、吃饭、看电影等等，闹了很多次分手.还好，后来挺过来了，虽然就职的单位待遇 没有想象的那么好，但一切都向着好的方向发展，还是比较满意的。我深知公务员考试的艰辛，不解决阅读和记忆的问题（也就是时间问题），要想通过公务员考试是 一件很困难的事情。为了解决这一问题，我自己尝试过很多方法和软件，这里把我试过之后最有 用的分享给大家，按住Ctrl键鼠标点击此行文字就可以下载练习了。每天练习一个多小时，半个 月的时间你就会有很大的提升，对整个公务员的考试起着很关键的作用。申论考的是解决问题和归 纳总结的能力，申论考试不需要很好的文笔，但是要在很短的时间里总结大段的材料，并针对某种 情况提出解决问题的方法。这个是公务员必要的素质，而速读和记忆刚好可以解决这一问题。这是 我经过反复实践总结下来的，希望对朋友们有用，最终能完成自己的心愿，成功上岸。整数的问题整数的问题 整数是最基本的数，它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中，有关整数 的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外，还必须通过课外活动来补充 一些整数的知识，以及解决问题的思路和方法。对于两位、三位或者更多位的整数，有时要用下面的方法来表示：49=410+9，235=2100+310+5，7064=71000+610+4，就是 一、整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为 0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨 a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数.1.整除的性质 性质 1 如果 a 和 b 都能被 m 整除，那么 a+b，a-b 也都能被 m 整除（这里设 ab）.例如：3丨 18，3丨 12，那么 3丨（18+12），3丨（18-12）.性质 2 如果 a 能被 b 整除，b 能被 c 整除，那么 a 能被 c 整除。例如：3丨 6，6丨 24，那么 3丨 24.性质 3 如果 a 能同时被 m、n 整除，那么 a 也一定 能被 m 和 n 的最小公倍数整除.例如：6丨 36，9丨 26，6 和 9 的最小公倍数是 18，18丨 36.如果两个整数的最大公约数是 1，那么它们称为互质的.例如：7 与 50 是互质的，18 与 91 是互质的.性质 4 整数 a，能分别被 b 和 c 整除，如果 b 与 c 互质，那么 a 能被 bc 整除.例如：72 能分别被 3 和 4 整除，由 3 与 4 互质，72 能被 3 与 4 的乘积 12 整除.性质 4 中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72 分别能被 6 和 8 整除，但不能被乘 积 48 整除，这就是因为 6 与 8 不互质，6 与 8 的最大公约数是 2.性质 4 可以说是性质 3 的特殊情形.因为 b 与 c 互 质，它们的最小公倍数是 bc.事实上，根据性质 4，我们常常运用如下解题思路：要使 a 被 bc 整除，如果 b 与 c 互质，就可以分别考虑，a 被 b 整除与 a 被 c 整除.能被 2，3，4，5，8，9，11 整除的 数都是 有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特 征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征 （1）能被 2 整除的数的特征：如果一个整数的 个 位数是偶数，那么它必能被 2 整除.（2）能被 5 整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是 0 或 5，那么它必能被 5 整除.（3）能被 3（或 9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被 3（或 9）整除，那么它必能被 3（或 9）整除.（4）能被 4（或 25）整除的数的特征：如果一个整数 的末两位数 能被 4（或 25）整除，那么它必能被 4（或 25）整除.（5）能被 8（或 125）整除的数的特征：如果一个整数 的末三位数 能被 8（或 125）整除，那么它必能被 8（或 125）整除.（6）能被 11 整除的数的特征：如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差（大减小能被 11 整除，那么 它必能被 11 整除.是什么数字？解：18=29，并且 2 与 9 互质，根据前面的性质 4，可以分别考虑被 2 和 9 整除.要被 2 整除，b 只能是 0，2，4，6，8.再考虑被 9 整除，四个数字的 和就要 被 9 整除，已有 7+4=11.如果 b=0，只有 a=7，此数是 7740；如果 b=2，只有 a=5，此数是 7542；如果 b4，只有 a3，此数是 7344；如果 b6，只有 a1，此数是 7146；如果 b8，只有 a8，此数是 7848.因此其中 最 小数是 7146.根据不同的取值，分情况进行讨论，是解决整数问题常用办法，例 1 就是一个典型.例 2 一本老账本上记着：72 只桶，共67.9元，其中处是被 虫蛀掉的 数字，请把 这笔 账 补上.解：把67.9写成整数 679，它应被 72 整除.7298，9 与 8 又互质.按照前面的性 质 4，只要分别考虑 679 被 8 和被 9 整除.从被 8 整除的特征，79 要被 8 整除，因此 b2.从 6792 能被 9 整除，按照被 9 整除特征，各位数字之和+24 能被 9 整除，因此 a3.这笔帐是 367.92 元.例 3 在 1，2，3，4，5，6六个 数字中选出尽可能多的不同数字组成 一 个数（有些数 字可以重复出现），使得能 被组成 它的每一个数字整除，并且组成的数要尽可能小.解：如果选数字 5，组成数的最后一位数字就必须是 5，这样就不能被偶数 2，4，6 整 除，也就是不能选 2，4，6.为了要选的不同数字尽可能多，我们只能不选 5，而 选其他 五 个数字 1，2，3，4，6.1+2+3+4+616，为了能整除 3 和 6，所用的数字之和 要 能被 3 整除，只能再添上一个 2，16+218 能被 3 整除.为了尽可能小，又要考虑到最后两位数能被 4 整 除.组成的数是 122364.例 4 四位数 74能被 55 整除，求出所有这样的四位数.解：55511，5 与 11 互质，可以分别考虑被 5 与 11 整除.要被 5 整除，个 位数只能是 0 或 5.再考虑被 11 整除.（7+4）-（百位数字+0）要能被 11 整除，百位数字只能是 0，所得四位数是 7040.（7+4）-（百位数字+5）要能被 11 整除，百位数字只能是 6（零能被所有 不 等于零的 整数整除），所得四位数是 7645.满足条件的四位数只有两个：7040，7645.例 5 一个七位数的各位数字互不相同，并且它能被 11 整除，这样的数中，最大的是哪 一个？，要使它被 11 整除，要满足 （9+7+5+b）-（8+6+a）=（21+b）-（14+a）能被 11 整除，也就是 7+b-a 要能被 11 整除，但是 a 与 b 只能是 0，1，2，3，4 中的两 个数，只有 b4，a0，满足条件的最大七位数是 9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以 11（参见下页除式）.要满足题目的条件，这个数是 9876543 减 6，或者再减去 11 的倍数中的 一 个数，使最 后两位数字是 0，1，2，3，4 中的两个数字.43-637，37-1126，26-1115，15-114，因此这个数是 9876504.思考题：如果要求满足条件的数最小，应如何去求，是哪一个数呢？（答：1023495）例 6 某个七位数 1993能被 2，3，4，5，6，7，8，9 都整除，那么它的最后三个 数字组成的三位数是多少？与上例题一样，有两种解法.解 一：从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是 0.另外，只要再分别考虑它能被 9，8，7 整除.199322，要被 9 整除，十位与百位的数字和是 5 或 14，要被 8 整除，最后三 位组成的三位数要能被 8 整除，因此只可能是下面三个数：1993500，1993320，1993680，其中只有 199320 能被 7 整除，因此所求的三位数是 320.解二：直接 用除式 来考虑.2，3，4，5，6，7，8，9 的最小公倍数是 2520，这个七位数要被 2520 整除.现在用 1993000 被 2520来除，具体 的除式如下：因为 2520-2200320，所以 1993000+320=1993320 能被 2520 整除.例 7 下面这个 41 位数 能被 7 整除，中间方格代表的数字是几？解：因为 11111137111337，所以 5555555111111 和 9999999111111 都能被 7 整除.这样，18 个 5 和 18 个 9 分别组成的 18 位数，也都能被 7 整除.右边的三个加数中，前、后两个数都能被 7 整除，那么只要中间的 5599 能被 7 整除，原数就 能被 7 整除.把 5599 拆成两个数的 和：55A00B99，其中=A+B.因为 7丨 55300，7丨 399，所以6.=3+3 注意，记住 111111 能被 7 整除是很有用的.例 8 甲、乙两人进行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后，由 甲开始，轮流把 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9十个 数字之一填入下面任一个方格中 每一方格只填一个数字，六个方格都填上数字（数字可重复）后，就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果这个六位数不能被N整除，就算甲胜.如果N小于 15，当N取哪几 个数时，乙能取胜？解：N取偶数，甲可以在最右边方格里填一个奇数（六位数的个位），就使六位数不能 被N整除，乙不能 获胜.N5，甲可以在六位数的个位，填一个不是 0 或 5 的数，甲就获胜.上面已经列出 乙不能 获胜的N的取值.如果N1，很 明显乙必获胜.如果N3 或 9，那么乙在填最后 一个数时，总是能把六个数字之 和，凑成 3 的整数 倍 或 9 的整数 倍.因此，乙必能获胜.考虑N7，11，13 是本题最困难的情况.注意到 100171113，乙就有一种必胜的 办法.我们从左往右数这六个格子，把第一与第四，第二与第五，第三与第六配对，甲在一 对格子的一格 上填某一个 数字后，乙就在这一对格子的另一格上 填同样 的数字，这就保证 所填成的六位数能被 1001 整除.根据前面讲到的性质 2，这个六位数，能被 7，11 或 13 整 除，乙就能获胜.综合起来，使乙能 获胜的N是 1，3，7，9，11，13.记住，100171113，在数学竞赛或者做智力测验题时，常常是有用的.二、分解质因数 一个整数，它的约数只有 1 和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，.一个整数除 1 和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，.1 不是 质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有 3 个约数 的整数是合数，1 只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是 2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，.例 9（+）=209.在、.中各填一个质数，使上面算式成立 解：209 可以写成两个质数的乘积，即 2091119.不论中填 11 或，+一定是奇数那么 与19是一个奇数一个偶数，偶质数只 有 2，不妨假定内填 当2.填 19，要填 9，9 不是质数，因此填，而11填 17.这个算式是 11（172）209，11（217）209.解例 9 的首要一步是把 209 分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘 积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要 内容.还可以写成 3602 3 5.这里 2 表示 3 个 2 相乘，3 表示 2 个 3 相乘.在 2 中，3 称为 2 的指数，读作 2 的 3 次方，在 3 中，2 称为 3 的指数，读作 3 的 2 次方.50402 3 57.2 3 5778910.因为 242 3，所以 24 的约数是 2 的约数（1，2，2，2）与 3 的约数（1，3）之间 11，13，21，23，2 1，2 3，2 1，2 3.这里有 428 个，即（31）（11）个，即对于 242 3 中的 2，有（31）种选择：1，2，2，2，对于 3 有（11）种选择.因此共有（31）（11）种选择.1442 3.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是 42 的质因数，6，14 也是 42 的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如 360222335.3 2 3 2 3 2 例 10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大 1 岁，而他们的年龄的乘积是 5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把 5040 分解质因数 4 2 再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：4 2 所以，这四名学生的年龄分别是 7 岁、8 岁、9 岁和 10 岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括 1 和它本身）.为寻求一般 方法，先看一个简单的例子.我们知道 24 的约数有 8 个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个 地去找它的约数，将是很麻烦的事.3 3 2 3 的两两乘积.2 2 3 3 3 3 2 3 这个方法，可以运用到一般情形，例如，4 2 因此 144 的约数个数是（41）（2+1）15（个）.例 11 在 100 至 150 之间，找出约数个数是 8 的所有整数.（1）2 128，符合要求，3 150，所以不再有其他 7 次方的数符合要求.（2）2 8，3 27；5 135，它乘以任何质数都大于 150，因此共有 4 个数合要求：128，104，135，136.7202 3 5，1682 37.数 2，较低指数次方是 2，类似地都含有 3，因此 720 与 168 的最大公约数是 2 3 24.2 3 575040.解：1802 3 5，次数较低的，从 2 与 2 就知道，一数中含 2，另一数中含 2从 3 与 3 就知道，一数中含 3，9023 5.解：有 871；8（31）（11）两种情况.7 7 3 813104，817136，符合要求.3 只有 275135 符合要求.3 利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行 质因数分解，例如 4 2 3 那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因 3 3 在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意 720 中有 5，而 168 中无 5，可以认为较高指数次方是 51=5.720 与 168 的最小公倍数是 4 2 例 12 两个数的最小公倍数是 180，最大公约数是 30，已知其中 一 个数是 90，另一个 数是多少？2 2 30235.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取 2 2 2 2 另一数中含 3，从一数是 2 就知道另一数是 2 3560.623，242 3，2 还有一种解法：另一数一定是最大公约数 30 的整数 倍，也就是在下面这些数中去找 30，60，90，120，.这就需要逐一检验，与 90 的最小公倍数是否是 180，最大公约数是否是 30.现在碰巧第 二个数 60 就是.逐一去检验，有时会较费力.例 13 有一种 最 简真分数，它们的分子与分母的乘积都是 420.如果把所有这样的分数 从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把 420 分解质因数 42022357.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是 420 了），相同 质因数（上面分解中的 2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从 小到大排列是 1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是 两个整数，如果它们的最大公约数是 1.就称这两个数是互质的.例 13 实质上是把 420 分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例 14 将 8 个数 6，24，45，65，77，78，105，110 分成两组，每组 4 个数，并且每组 4 个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组 4 个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也 一样才行.把 8 个数分解质因数.3 453 5，65513，例如：1443 4，1002 5，28002 5 7.1，2，2，5，2 5，2 5.在这 6 个数中只有 2 5 100，它的约数是（21）（2+1）9（个）.2800 是甲、乙两数的 最小公倍数，上面 已算出甲数是 1002 5，因此乙数 至少要 含有 2 和 7，而 2 7112 恰好有（4+1）（11）10（个）约数，从而乙数就是 112.2 77711，782313，105357，1102511.先放指数最高的质因数，把 24 放在第一组，为了使第二组里也有三个 2 的因子，必须 把 6，78，110 放在第二组中，为了平衡质因数 11 和 13，必须把 77 和 65 放在第一组中.看 质因数 7，105 应放在第二组中，45 放在第一组中，得到 第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词-完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：422，933，1441212，6252525.4，9，144，625 都是完全 平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.2 2 2 2 例 15 甲数有 9 个约数，乙数有 10 个约数，甲、乙两数最小公倍数 是 2800，那么 甲数 和乙数 分别是多少？解：一个整数被它的 约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一 对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是 奇数.因此，甲数是 一个完全平方数.4 2 在它含有的约数中是完全平方数，只有 2 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 综合起来，甲数是 100，乙数是 112.例 16 小明买红蓝两种笔各 1 支 共用了 17 元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔 贵.小强打算用 35 元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把 35 元恰好用完，问红笔、蓝笔每支 各多少 元？解：3557.红、蓝的单价不能是 5 元或 7 元（否则能把 35 元恰好用完），也不能是 17-512（元）和 17-710（元），否则另一种笔 1 支是 5 元或 7 元.记住：对笔 价来说，已排除了 5，7，10，12 这四个数.笔价不能 是 35-17=18（元）的约数.如果笔价是 18 的约数，就能把 18 元恰好都买成笔，再把 17 元买 两种笔各一支，这样就把 35 元恰好用完了.因此笔价不能 是 18 的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是 17-116，17-215，17-314，17-611，17-98.现在笔价 又排除 了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有 4 与 13 未被排除，而 41317，就知道红笔每支 13 元，蓝笔每 支 4 元.三、余数 在整数除法运算中，除了前面说过的“能整除”情形外，更多的是不能整除的情形，例 如 953，485.不能整除就产生了余数.通常的表示是：65321 2，3857 3.上面两个算式中 2 和 3 就是余数，写成文字是 被除数除数=商余数.上面两个算式可以写成 653212，38573.也就是 被除数=除数商+余数.通常把这一算式称为 带余除式，它使我们容易从“余数”出发去考虑问题，这正是某 些整数问题所需要的.特别要提请注意：在 带余除式 中，余数总是比除数小，这一事实，解题时常作为依据.例 17 5397 被一个质数除，所得余数是 15.求这个质数.而 538223 1323.解：这个质数能整除 5397-155382，1997 因为除数要比余数 15 大，除数又是质数，所以它只能是 23.当被除数较大时，求余数的一个简便方法是从被除数中逐次去掉除数的整数 倍，从而 得到余数.例 18 求 645763 除以 7 的余数.解：可以先去掉 7 的倍数 630000 余 15763，再去掉 14000 还余下 1763，再去掉 1400 余下 363，再去掉 350 余 13，最后得出余数是 6.这个过程可简单地记成 645763157631763363136.如果你演算能力强，上面过程可以更简单地写成：6457631500010006.带余除法 可以得出下面很有用的结论：如果两个数被同一个除数除余数相同，那么这两个数之差就能被那个除数整除.例 19 有一个大于 1 的整数，它除 967，1000，2001 得到相同的余数，那么这个整数是 多少？解：由上面的结论，所求整数应能整除 967，1000，2001 的两两之差，即 1000-96733311，2001-1000100171113，2001-967103421147.这个整数是这三个差的公约数 11.请注意，我们不必求出三个差，只要求出其中两个就够了.因为另 一个差总可以 由这两 个 差得到.例如，求出差 1000-967 与 2001-1000，那么差 2001-967（2001-1000）（1000-967）100133 1034.从带余除式，还可以得出下面结论：甲、乙两数，如果被同一 除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之 和被这个除数 除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数.例如，57 被 13 除余 5，152 被 13 除余 9，那么 57+152=209 被 13 除，余数是 5914 被 13 除的余数 1例 20 有一串数排成一行，其中第一个数是 15，第二个数是 40，从第三个数起，每个 数恰好是前面两个数的 和，问这串数中，第 1998 个数被 3 除的余数是多少？解：我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被 3 除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数 被 3 除所得的余数相加，然后除以 3，就得到这个数被 3 除的余数，这样就很容易算出前十 个数被 3 除的余数，列表如下：从表中可以看出，第九、第十两数被 3 除的余数与第一、第二两个数被 3 除的余数相同.因此这 一串数被 3 除的余数，每八个循环一次，因为 1998 8249 6，所以，第 1998 个数被 3 除的余数，应与第六个数被 3 除的余数一样，也就是 2.一些有规律的数，常常会循环地出现.我们的计算方法，就是循环制.计算钟点是 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.这十二个数构成一个循环.按照七天一轮计算天数是 日，一，二，三，四，五，六.这也是一个循环，相当于一些连续自然数被 7 除的余数 例 21 19 解：从上面的结论知道，19 被 7 除的余数与 2 0，1，2，3，4，5，6 的循环.用循环制计算时间：钟表、星期、月、四季，说明人们很早就发现循环现象.用数来反映循环现象也是很自然的事.循环现象，我们还称作具有“周期性”，12 个数的循环，就说周期是 12，7 个数的循 环，就说周期是 7.例 20 中余数的周期是 8.研究数的循环，发现周期性和确定周期，是很有 趣的事.下面我们再举出两个余数出现循环现象的例子.在讲述例题之前，再讲一个 从带余除式 得出的结论：甲、乙 两数被 同一 除数来除，得到两个余数.那么甲、乙 两数的积被 这个除数除，它 的余数就是两个余数的积，被这个除数除所得的余数.例如，37 被 11 除余 4，27 被 11 除余 5，3727999 被 11 除的余数是 4520 被 11 除后的 余数 9.199772852，就知道 19971997 被 7 除的余数是 224.1997 被 7除余几？1997 1997 被 7 除的余数相同.我们只要考虑一 些 2 的连乘，被 7 除的余数.先写出一列数 2，224，222 8，222216，.然后逐个用 7 去除，列一张表，看看有什么规律.列表如下：事实上，只要用前一个数被 7 除的余数，乘以 2，再被 7 除，就可以得到后一个数被 7 除的余数.（为什么？请想一想.）从表中可以看出，第四个数与第一个数的余数相同，都是 2.根据上面对余数的计算，就知道，第五个数与第二个数余数相同，因此，余数是每隔 3 个数循环一轮.循环的周 期是 3.被 7 除的余数，与 2 就知道 2 1997 3 665 2.1997 1997 被 7 除的余数相同，这个余数是 4.再看一个稍复杂的例子.例 22 70 个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的三倍都恰好等于它两边两个 数的和.这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，55，.问：最右边 一 个数（第 70 个数）被 6除余几？解：首先要注意到，从第三个数起，每一个数都恰好等于前一个数的 3 倍减去再前一个 数：313-0，8=33-1，21=83-3，55=213-8，不过，真的要一个一个地算下去，然后逐个被 6 去除，那就太麻烦了.能否从前面的余 数，算出后面的余数呢？能！同算出这一行数的办法一样（为什么？），从第三个数起，余 数的计算办法如下：将前一个数的余数乘 3，减去再前一个数的余数，然后被 6 除，所得余数即是.用这个办法，可以逐个算出余数，列表如下：注意，在算第八个数的余数时，要出现 03-1 这在小学数学范围不允许，因为 我们求 被 6 除的余数，所以我们可以 03 加 6 再来减 1.从表中可以看出，第十三、第十四个数的余数，与第一、第二个数的余数对应相同，就 知道余数的循环周期是 12.70 125+10.因此，第七十个数被 6 除的余数，与第十个数的余数相同，也就是 4.在一千多年前的孙子算经中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照 今天的话来说：一 个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个数.这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等 数论中解同 余 式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.目前许多小学数学的课外读物都喜欢讲这类问题，但是它的一般解法决不是小学生能弄明白 的.这里，我们通过两个例题，对较小的数，介绍一种通俗解法.例 23 有一个数，除以 3 余 2，除以 4 余 1，问这个数除以 12余几？解：除以 3 余 2 的数有：2，5，8，11，14，17，20，23.它们除以 12 的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，.除以 4 余 1 的数有：15，9，13，17，21，25，29，.它们除以 12 的余数是：1，5，9，1，5，9，.一 个数除以 12 的余数是唯一的.上面两行余数中，只有 5 是共同的，因此这个数除以 12 的余数是 5.上面解法中，我们逐个列出被 3 除余 2 的整数，又逐个列出被 4 除余 1 的整数，然后逐 个考虑被 12 除的余数，找出两者共同的余数，就是被 12 除的余数.这样的列举的办法，在 考虑的数不大时，是很有用的，也是同学们最容易接受的.如果 我们把例 23 的问题改变一下，不求被 12 除的余数，而是求这个数.很明显，满足 条件的数是很多的，它是 5 12整数，整数可以取 0，1，2，无穷无尽事实上，我们首先找出 5 后，注意到 12 是 3 与 4 的最小公倍数，再加上 12 的整数 倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以 3 余 2，除 以 4 余 1”两个条件合并成“除以 12 余 5”一个条件.孙子算经提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例 24 一 个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求符合 条件的 最 小数.解：先列出除以 3 余 2 的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，再列出除以 5 余 3 的数：3，8，13，18，23，28，.这两列数中，首先出现的公共数是 8.3 与 5 的最小公倍数是 15.两个条件合并成一个就 是 815整数，列出这一串数是 8，23，38，再列出除以 7 余 2 的数 2，9，16，23，30，就得出符合题目条件的 最 小数是 23.事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被 105 除余 23.最后再看一个例子.例 25 在 100 至 200 之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被 3 整除，中间的能被 5 整除，最大的能被 7 整除，写出这样的三个连续自然数.解：先找出两个连续自然数，第一个能被 3 整除，第二个能被 5 整除（又是被 3 除余 1）.例如，找出 9 和 10，下一个连续的自然数是 11.3 和 5 的最小公倍数是 15，考虑 11 加 15 的整数 倍，使加得 的数能被 7 整除.11153 56 能被 7 整除，那么 54，55，56 这三个连续自然数，依次分别能被 3，5，7 整除.为了满足“在 100 至 200 之间”将 54，55，56 分别加上 3，5，7 的最小公倍数 105.所 求三数是 159，160，161.注意，本题实际上是：求 一 个数（100200 之间），它被 3 整除，被 5 除余 4，被 7 除余 5.请考虑，本题 解法与例 24 解法有哪些相同之处？推理原理 解数学题，从已知条件到未知的结论，除了计算外，更重要的一个方面就是推理。通常，我们把主要依靠推理来解的数学题称为推理问题。【例 1】有一座四层楼（图 25-1），每层楼有 3 个窗户，每个窗户有 4 块玻璃，分别是白色和蓝色，每个窗户代表一个数字，从左到右表示一个三位数，四个楼层 所表示的三位数分别是 791，275，362，612。那么，第二层楼代表哪个三位数？【分析】仔细观察图 25-1 和组成四个三位数的 12 个数字，“2”出现 3 次，两 次在个位，一次在百位。容易看出图 2（a）代表“2”，再从“6”、“7”都出现 两次，并根据它们所在的数位以及与“2”的关系，可推知：图 25-2 中（b）、（c）分别代表“6”和“7”。【解】第二层楼代表 612。【例 2】有 8 个球编号是至，其中有 6 个球一样重，另外两个球都轻 1 克。为了找出这两个轻球，用天平称了 3 次。结果如下：第一次+比+重 第二次+比+轻 第三次+与+一样重，那么，两个轻球的编号是_和_。【分析】从第一次称的结果看，、两球中有一个轻；从第二次称的结果看，、两球中有一个轻；从第三次称的结果看，、三球中有一个轻，、三个球中也有一个轻。综合上面推出的结果，可找出两个轻球。【解】两个轻球的编号是和。说明：在上面的推理中，我们省去了一步，也就是：排除了、与、中都没有轻球的那种可能。因为容易用反证法导出“、”都是轻球”这 一结论与第二次称的结果相矛盾。【例 3】如图 25-3，每个正方体的六个面上分别写着 16 这六个数字，并且任 意两个相对的面上所写的两个数字之和都等于 7。把这样的五个正方体一个挨着一 个连接起来后，紧挨着的两个面上两个数字之和都等于 8。图 3 中打“？”的这个 面上所写的数字是_。【分析】根据题意，容易推知拐弯处的那个正方体的右侧面上写的数字可能是“2”，也可能是“5”。但用反证法可把第 1 种情况排除。怎样排除？（留给读者 完成）【解】打“？”的这面上写着“3”。【例 4】德国队、意大利队、荷兰队进行一次足球比赛，每队与另两支队各赛 一场。已知：（1）意大利队总进球数是 0，并且有一场打了平局；（2）荷兰队总 进球数是 1，总失球数是 2，并且该队恰好胜了一场。按规则：胜一场得 2 分，平一 场得 1 分，负一场得 0 分。问德国队得了_分。【分析】由条件（2）知，荷兰队胜了一场，而不进球是不可能胜的，但它的总 进球数只有 1，说明这场比赛它以 10 取胜。又因为它总失球数 2，所以另一场比 赛以 02 输了。再由条件（1）知：以 20 赢荷兰队的不可能是意大利队（因为意 大利队没有进球），只可能是德国队（记 2 分）。既然荷兰队输给德国队，那么它 胜的一场一定是对意大利队，而且比分为 10。德、意两队以 00 踢平（各记 1 分）。【解】德国队得了 3 分。【例 5】某楼住着 4 个女孩和两个男孩，他们的年龄各不相同，最大的 10 岁，最 小的 4 岁。最大的男孩比最小的女孩大 4 岁，最大的女孩比最小的男孩也大 4 岁。最大的男孩多少岁？【分析】最大的孩子（10 岁的）不是男孩，就是女孩。如果 10 岁的孩子是男 孩，那么，根据题意，最小的女孩是 6 岁（6=10-4），从而，最小的男孩是 4 岁，再根据题意，最大的女孩是 8 岁（8=44）。这就是说，4 个女孩最小的 6 岁，最 大的 8 岁，其中必有两个女孩同岁，但这与已知条件“他们的年龄各不相同”矛盾。所以 10 岁的孩子不是男孩，而是女孩。最小（4 岁）的孩子也是女孩。【解】最大的男孩是 44=8（岁）。在上面的分析中，我们用了这样的性质：如果 4 个自然数只能取三种不同的值，那么其中必定有两个数相等。【例 6】一次象棋比赛共有 10 名选手参加，他们分别来自甲、乙、丙三个队，每个选手都与其余 9 名选手各赛 1 盘，每盘棋的胜者得 1 分，负者得 0 分，平局双 方各得 0.5 分。结果，甲队选手平均得 4.5 分，乙队选手平均得 3.6 分，丙队选手 平均得 9 分。那么，甲、乙、丙三队参加比赛的选手人数各多少？【分析】这次比赛共需比 98721=45（盘）。因为每盘比赛双方 得分的和都是 1 分（10=1 或 0.52=1），所以 10 名选手的总得分为 145=45（分）。每个队的得分不是整数，就是“a.5”这样的小数。由于乙队选手平均得 3.6 分，3.6 的整数倍不可能是“a.5”这样的小数。所以，乙队的总得分是 18 或 36。但 363.6=10，而三个队一共才 10 名选手（矛盾）。所以，乙队的总分是 18 分，有选手 183.6=5（名）。甲、丙两队共有 5 名选手。由于丙队的平均分是 9 分，这个队总分只可能是 9 分、18 分（不可能是 27 分。因为 2718=45，甲队选手总得分为 0 分），丙队选手人数相应为 1 名、2 名，甲队 选手人数相应为 4 名、3 名，经试验，甲队 4 名选手，丙队 1 名选手。【例 7】将 18 这 8 个自然数分成两组，每组四个数，并使两组数之和相等。从 A 组拿一个数到 B 组后，B 组的数之和将是