【三维设计】高考数学-第二章第十节函数模型及其应用课后练习-新人教A版-.doc

"【三维设计】2013届高考数学 第二章第十节函数模型及其应用课后练习 人教A版 "
一、选择题
1．某企业去年销售收入1 000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为(　　)
A．10% B．12%
C．25% D．40%
解析：利润300万元，纳税300·p%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1000×2%＝180(万元)，
纳税180·p%万元，
共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，
p%＝＝25%.
答案：C
2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　)
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，
当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：B
3．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件(　　)
A．100元 B．110元
C．150元 D．190元
解析：设售价提高x元，则依题意
y＝(1 000－5x)×(20＋x)
＝－5x2＋900x＋20 000
＝－5(x－90)2＋60 500.
故当x＝90时，ymax＝60 500，此时售价为每件190元．
答案：D
4．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(小时)之间的函数表达式是(　　)
A．x＝60t
B．x＝60t＋50t
C．x＝
D．x＝
解析：到达B地需要＝2.5小时，
所以当0≤t≤2.5时，x＝60t；
当2.5＜t≤3.5时，x＝150；
当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．
答案：D
5．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是(　　)
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100
解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．
答案：C
二、填空题
6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．
解析：依题意知：＝，即x＝(24－y)，
∴阴影部分的面积
S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，
∴当y＝12时，S有最大值为180.
答案：180
7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，
即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，
则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，
故1＋x%≥，解得x≥20.
答案：20
三、解答题
8．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
R(x)＝.
其中x是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)
解：(1)设每月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
从而f(x)＝.
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
∴当x＝300时，有最大值25 000；
当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，
f(x)＜60 000－100×400＜25 000.
∴当x＝300时，f(x)的最大值为25 000.
∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元．
9．当前环境问题已成为世界关注的焦点，2009年哥本哈根世界气候大会召开后，为减少汽车尾气对城市空气的污染，某市决定对出租车实行使用液化气替代汽油的改装工程，原因是液化气燃烧后不产生二氧化硫、一氧化氮等有害气体，对大气无污染，或者说污染非常小．现有以下数据：
①当前汽油价格为2.8元/升，市内出租车耗油情况是一升汽油大约跑12千米；②当前液化气价格为3元/千克，一千克液化气平均可跑15～16千米；③一辆出租车日平均行程为200千米．
请根据以上数据回答问题：
(1)从经济角度衡量一下使用液化气和使用汽油哪一种更经济(即省钱)；
(2)假设出租车改装液化气设备需花费5 000元，请问多长时间省出的钱等于改装设备花费的钱？
解：(1)设出租车行驶的时间为t天，所耗费的汽油费为W元，耗费的液化气费为W′元，
由题意可知，
W＝200×＝(t≥0，t∈N*)，
200×≤W′≤200×，
即37.5t≤W′≤40t(t≥0，t∈N*)，
又>40t，即W>W′，所以使用液化气比使用汽油省钱．
(2)①设37.5t＋5 000＝，解得t≈545.5，
又t≥0，t∈N*，
所以t＝546.
②设40t＋5 000＝，解得t＝750.
所以，若改装液化气设备，则当行驶天数t∈[546,750]且t∈N*时，省出的钱可以等于改装设备花费的钱．
10．某人要做一批地砖，每块地砖(如图1所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.

(1)求证：四边形EFGH是正方形；

(2)E、F在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？
解：(1)证明：图2是由四块图1所示地砖组成，由图1依次逆时针旋转90°，180°，270°后得到，
∴EF＝FG＝GH＝HE.
∴△CFE为等腰直角三角形．
∴四边形EFGH是正方形．
(2)设CE＝x，则BE＝0.4－x，
每块地砖的费用为W，
制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，
W＝x2·3a＋×(0.4－x)×0.4×2a＋
a
＝a(x2－0.2x＋0.24)
＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，
由a＞0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省．
答：当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省．

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