任意角的三角函数.docx

教材分析】：
《任意角的三角函数》，内容取自人教版普通高中数学必修4第1.2.1节。三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的定义是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。根据新课程标准，明确本节课的教学重点如下：
教学重点：理解任意角的三角函数定义。
【学情分析】
学生在初中已经学习了锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的。但对于学习任意角三角函数而言，学生的认知困难主要体现在用单位圆上坐标表示三角函数，把锐角三角函数线段比的感性认识上升到坐标化的理性高度，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说比较困难。
教学难点：正确理解三角函数可以看作以实数为自变量的函数，初中时用边长的比值来定义转变为坐标系下用点坐标定义的观念的转换，以及用坐标来定义的合理理解。
【教学目标】：
1.知识与技能： 理解并掌握任意角的三角函数的可以；根据任意角的三角函数的定义认识其定义域。
2.过程与方法： 学生经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义，体验三角函数概念的形成、发展过程，渗透函数思想和数形结合的思想方法。
3.情感态度与价值观：通过学生积极参与知识的“再创造”过程，从中感悟数学概念的严谨性与科学性，渗透事物间相互联系、相互转化的辩证唯物主义思想。
【教学方法】：为了达到教学目标，我采取了如下教学方法，总体可以用八个字概括“温故知新、逐步拓展”。具体理解如下（1）在复习初中锐角三角函数的定义的基础上一步步扩展内容，发展新知，形成新概念；（2）通过问题的讲解分析，逐步的推出三角函数的定义域。
【教学准备】：多媒体
【教学过程设计】
（一）创设情境（5分钟）
问题1 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系，这在第一节中已经有所感受。现在请你回忆初中学过的锐角三角函数的定义，并思考一个问题：如果将锐角三角形“安装”在于平面直角坐标系中，如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？
【设计意图】：将已有知识坐标化,分化难点。用新的观点再认识学生的已有知识经验，发挥其正迁移作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系，使知识有一个熟悉的起点，扎实的固着点。
（1）再现锐角三角函数的定义：如图1，在直角△POM中，∠M是直角，那么。
  （2）坐标化：如图2，建立平面直角坐标系，设点P的坐标为（x，y），那么，于是 。
（二）推广认知——形成概念(10分钟)
问题2 角的概念推广之后，这样的三角函数定义还适用吗？回忆弧度制中1弧度角的几何解释，它是借助于单位圆给出的，能否从中得到启示将上述定义的形式化简，化简的依据是什么？写出最简单的形式。
【设计意图】：引入单位圆。深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。）
单位圆中定义锐角三角函数：如图3，线段OP=1，点P的坐标为（x，y），那么锐角α的三角函数可以用坐标表示为：
。
依据：三角形相似，比值与具体的点的位置没有关系。 
任意角的三角函数的定义：
（略）。（设计意图：“定义”是一种“规定”；把精力放在定义合理性的理解上。）
问题3：回忆函数三要素，根据上述过程，你能写出三角函数的定义域吗？你能用函数的定义对三角函数进行分析吗？
【设计意图】：顺势而为形成定义，并将三角函数的定义进行同化，通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。
唯一的终边
唯一的交点P(X,Y)
任意角α
直角坐标系中 与单位圆
即时训练：P15.3
（教师用小黑板画好表格，学生讨论后演板）：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y）。

教师强调：弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系，三角函数可以看成自变量为实数的函数。
（三）巩固新知——小试牛刀（15分钟）
例1 ：求的正弦、余弦和正切值。
【设计意图】：巩固对定义的理解。
分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P的坐标，再根据定义求解。
练习１　将例1中的5π3变为7π6呢？(P15.1)
问题4:求出π6、5π6、- π6各角的三角函数值，并观察各角的终边的位置有什么对称关系，它们的三个三角函数值分别有什么关系？
分小组完成，完成下列表格
角a

sinα

[设计意图]
例2  已知角α的终边经过点P（－3，－4），求角α的正弦、余弦和正切值。
【设计意图】通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。
分析：通过相似求出角α的终边与单位圆的交点坐标，之后再根据定义求解。
（说明：上述书写过程基本与例1统一，这样可以将该题目的求解思路同化，降低学习难度。）
问题5:通过求解例2，你能发现还可以怎么定义任意角的三角函数呢？请阅读教材的旁白。这是三角函数定义的等价定义。
问题6：P（3a,4a）
四、小结：通过本课时的学习你有哪些收获，请从知识、思想方法经验等方面进行小结。此外你还有哪些需要质疑之处。
（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。通过质疑引导学生全面认识三角函数，虽然在课堂上不研究其他3个三角函数，但是可以让学生有一个全面的认识，培养思维的严谨性。通过三角函数定义的一般化，引导学生用辩证的观点认识事物，理解三角函数。）
知识：（略）；
   思想方法：（思想方法：函数思想——一般函数概念的指导作用；形与数结合——象限角概念基础上；模型思想——单位圆上；
六、作业
1．P15练习1，2，3； 2．习题1.2A组2。
（设计意图：培养学生类比、对比解决问题能力。）
3．完成教材P13的探究，之后完成P15练习4，6，把结果填在书上。
（设计意图：将作业作为课堂教学的延伸，培养学生自主学习的能力和习惯。）
七．设计思路
1．突出单位圆的作用。具体表现在三个方面：第一是将锐角三角函数坐标化，引入单位圆；第二是利用单位圆写出任意角的三角函数；第三是利用单位圆写出定义域及正弦、余弦的值域；第四是在例2的解决过程中建立单位圆与一般定义的关系。
2．用函数同化三角函数。给出任意角的三角函数的定义之后，用函数的定义对三角函数进行分析，将之纳入到已有的认知结构中，并使得原有认知结构发生顺应变化。
3．力求在数学的自然、必要和学生的认知之间寻找平衡点。
根据听课时出现的问题，在本教学设计中采取了下列处理方式。

（1）先坐标化再引入单位圆，降低认知台阶。
从锐角三角函数到任意角三角函数这一段的处理基本尊重教材，这是因为在听课过程中发现如果将“坐标化”与“单位圆”两个问题同时抛给学生，虽然能体现出做这两个工作的必要性，但是跨度较大，学生感到困难，解决问题的过程费时费力，不但不能使学生感受到学习的必要性，反而制约了学生的思维。
（2）将问题分解、具体化，通过具体认识一般。
在形成任意角的三角函数的定义时将问题解剖，并采取分组合作的组织方式，旨在将抽象的问题具体化，降低难度。让学生根据角的不同位置写出定义，特别是对于象限角也进行了相同的处理办法，这是因为学生的思维从具体问题开始，而且要形成“初始效应在新概念学习伊始就使得它植根于学生的已有认知结构中，并形成强烈的意识——用新定义解决问题，而不再用计算器或其他办法。
（3）解题思路求同，强化定义的作用。
例1、例2两个题目的解决思路都是相同的：先求出角的终边与单位圆交点的坐标，之后再根据定义求解。差别在于求角的终边与单位圆交点的坐标的具体方法不同，这些求法都是学生已经具备的技能。据此建议教材中将例2的解题过程修改，将利用相似求线段长的计算前置，分步完成即降低了难度，又统一了思路，突出了定义的作用。
（4）将作业作为课堂教学的有效延伸，给学生思考的空间。
作业中的第3项的设计，其意是使得学生的作业不但有模仿的，更有需要独立思考的，培养学生的能力。
我的困惑：任意角的三角函数定义的给出有点强硬。三、收获
每次公开课后我都会有这样那样的遗憾,但每一次遗憾也是一笔珍贵的财富;每一次的遗憾也能同样的鼓舞着我去追求那遥不可及的"完美". 人类精神导师,英国著名政治改革家塞缪尔·斯迈尔斯说:"我们从失败中学到的东西要比成功中学到的东西多得多."所以,我希望能将这样的过程于朋友们分享,更衷心希望能分享大家的心得和经验.下面是我的2点收获:
1、要时刻谨记学生的实际情况,并据此认真备课、授课.不是为了上课而上课,我们辛苦的备课上课,如果大部分学生都不会,一切都是枉然.一定要就着使大部分学生听得懂,并都要有所收获这个点出发,不能盲目的上.
2、就心里素质层面,我工作的第一年就已经不紧张了.但是这堂公开课学生响应冷,不会做题,我的劳动白费,不满就显示在脸上了.学生是否喜欢你这个教师,是否喜欢你所教的科目,教师自身对学生的亲和力是至关重要的.亲和力能很快的拉近师生之间的距离,有效地促进师生的互动,从而顺利地营造轻松、愉快的课堂氛围.亲和力在一定程度上也是教师智慧的一种综合的体现.我的这种"不满"以后一定要杜绝.我对学生有发自内心的挚爱和适宜的表达方法,也有对工作十二万分的热情,但亲和力还来自于教师的个性特点,以后要学会自我调节和提升,让性格变得更温和更让人接近才行.