理科试卷--答案含题.doc

如皋市高二年级第一次调研试卷（理科）
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分）
1. 集合的子集个数为 ▲ ．
【答案】16
2. 命题：“，使”的否定是 ▲ 命题（在“真”、“假”中选择一个填空）．
【答案】假
3. 已知，则“”是“”的 ▲ 条件（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中选择一个填空）．
【答案】充分不必要
4. 已知集合，，，则实数的值为 ▲ ．
【答案】2
5. 已知函数，则 ▲ ．
【答案】
6. 已知命题：“若，则”，那么原命题及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为 ▲ ．
【答案】2
7. 曲线在处的切线方程为 ▲ ．
【答案】
8. 圆的半径以2 cm/s的速度膨胀，当半径为4 cm时，面积对时间的变化率为 ▲ ．
【答案】 cms
9. 已知，则 ▲ ．
【答案】
10. 已知函数在上不是单调函数，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
11. 已知函数在上的最小值为3，则实数的值为 ▲ ．
【答案】
12. 已知为定义在上的可导函数且，若恒成立，则不等式的解集为 ▲ ．
【答案】
13. 已知函数，对于区间内任意两个不相等实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
14. 已知函数若存在实数，当时，，则的取值范围为 ▲ ．
【答案】
二、解答题（本大题共8题，满分130分）
15. （本题满分12分）已知，，且二阶矩阵满足．
(1) 求； (2) 求．
【解析】
(1)
……… ………………6分
(2)
……… ………………12分

16. （本题满分12分）已知椭圆：，先将椭圆绕原点顺时针旋转，再将所得图形的纵坐标伸长为原来的倍、横坐标不变得到曲线．
(1) 求连续两次变换所对应的变换矩阵；
(2) 求曲线的方程．
【解析】
(1) ……… …5分
(2) 设点为椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点，则有
，即……………………7分
点在椭圆上，故
，即
曲线的方程为…………………12分
17. （本题满分14分）已知矩阵的一个特征值为，它对应的一个特征向量为．(1) 求和的值；(2) 已知，求．
【解析】
(1) ，即
…………………6分
(2) 由(1)得矩阵的特征多项式
故其另一个特征值为 …………………7分
设矩阵的另一个特征向量是，则
由得，解之得
令，则
故当特征值为，矩阵的特征向量为………………9分
…………………11分

…………………14分
18. （本题满分14分）已知集合，
．
(1) 当时，求；
(2) 若，求实数的取值范围．
【解析】
(1) …………………2分
又时，…………………4分
…………………6分
(2) …………………8分
又
或…………………12分
的取值范围为…………………14分

19. （本题满分15分）命题：“关于的方程有解”，命题： “，恒成立”，若“”为真，求实数的取值范围．
【解析】
若为真，则
，故或…………………3分
若为真，则
令，则…………………5分
令，则，所以在上单调递减；令，则，所以在上单调递增
当时，有最小值，…………………8分
恒成立
，即
“”为真
为真且为真…………………12分
，故…………………15分

20. （本题满分15分）已知函数的图象在点处的切线方程为．
(1) 求实数的值；
(2) 求函数的单调区间；
(3) 求函数的极值．
【解析】
(1) 切点在切线上，又
，得…………………………………2分
，且在点处的切线斜率为0
，得
………………………………… 5分
(2)
…………………………………7分
令，则或2

2

+
0

0
+

40

8

故，的单调增区间为：和
单调减区间为： …………………………………10分
(3) 由(2)得：当时，有极大值，为40，…………………………………12分
当时，有极小值，为8．………………………………… 15分
21. （本题满分16分）经市场调查，某商品在过去100天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且销售量近似地满足，前40天的价格为，后60天的价格为．
(1) 试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系式；
(2) 求日销售额的最大值．
【解析】
(1) …………………………6分
(2) 当时，

令，则，所以函数在上单调递增；令，则，所以函数在上单调递减
当时，………………………………11分
当时，
对称轴为
又在上单调递减
当时，…………………………………14分
综上，当时，
答：第9天时，日销售额达到最大值，为1250元．……………………………16分

22. （本题满分16分）已知函数．
(1) 当时，求函数的单调增区间；
(2) 求函数在上的最小值；
(3) 设，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【解析】
(1)
……………………2分
令，则或
的单调增区间为：和………………………………4分
(2)

若，则，所以在上单调递增
当时，……………………5分
若，则令时，或

1

0
+

当时，………7分
若，则，所以在上单调递减
当时，…………9分

综上：当时，
当时，
当时…………10分
(3)
，即
时，，得
时，，得
，……… ………………12分
在上有解

设,，则
，
令，则，所以在上单调递增；令，则，所以在上单调递减

又，
当时，

实数的取值范围是……… ………………16分
23. （本题满分16分）已知函数，．
(1) 若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值；
(3) 当时，若与的图象有两个交点，求证：．（参考数据：，，）
【解析】
(1)

在上单调递增
，恒成立
即，恒成立…… ………………2分
令

时，
…… …………………..……4分
(2) 设切点为，则
又，

令，则…… …6分
当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减
当时，取得最小值，为，即的最小值为
…… ………………………………………………………………….…8..分
(3) 证明：由题意得……………………9.分

①＋②得： ③
①－②得：，即 ④
④代入③得：
，
即……………………….10分
不妨令，记
令，则……………………….12分
在上单调递增，则

，故

又
，即……………………13分

令，则时，
在上单调递增，
又
……………………….15.分

…………………………………...…16分

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