最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解).doc

最大公因数与最小公倍数应用(较难含有部分的讲解)
最大公因数与最小公倍数应用(一)
一、知识要点：
1、性质1：如果a、b两数的最大公因数为d，则a=md,b=nd,并且（m,n）=1。
例如:（24,54)=6，24=4×6,54=9×6，（4，9)=1。
2、性质2:两个数的最小公倍数与最大公因数的乘积等于这两个数的乘积.
a与b的最小公倍数[a，b]是a与b的所有倍数的最大公因数,并且a×b=［a，b]×（a,b）.
例如：（18,12）= ，[18,12]= （18，12）×［18，12］=
3、两个数的公因数一定是这两个数的最大公因数的因数。
3、辗转相除法
二、热点考题：
例1 两个自然数的最大公因数是6，最小公倍数是72.已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。

练一练：甲数是36，甲、乙两数的最大公因数是4，最小公倍数是288，求乙数。

例2 两个自然数的最大公因数是7，最小公倍数是210.这两个自然数的和是77,求这两个自然数。
分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公因数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。"

例3 已知a与b,a与c的最大公因数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。
分析与解：因为12，15都是a的因数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12,15］=60的倍数.再由［a，b，c］=120知， a只能是60或120。［a,c]=15，说明c没有质因数2,又因为［a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。
练一练：已知两数的最大公因数是21,最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？

例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公因数是5,求这两个自然数。

例5 已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60，求这两个数。

习 题 四
1． 已知某数与24的最大公因数为4,最小公倍数为168，求此数。

2． 已知两个自然数的最大公因数为4，最小公倍数为120，求这两个数。

3． 已知两个自然数的和为165，它们的最大公因数为15,求这两个数。

4． 已知两个自然数的差为48，它们的最小公倍数为60，求这两个数。

5． 已知两个自然数的差为30，它们的最小公倍数与最大公因数的差为450，求这两个自然数。

6． 已知两个自然数的和为147，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积为432，求这两个自然数。

7、 五年一班去划船,他们算了一下,如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人,这个班有多少人？

8、 一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几?

9、 已知A与B的最大公因数为6，最小公倍数为84，且A＝42,求B。

10、 已知A和B的最大公因数是31,且A×B＝5766，求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果?

家 庭 练 习
1.拖拉机前轮直径64厘米,后轮直径96厘米,拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？

2。现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克,平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等,那么最多分给了多少个班?每个班至少分到了三种水果各多少千克？

3、一个数被2除余1,被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几?

4、将72和120的乘积写成它们的最大公因数和最最小公倍数的乘积的形式。

5、两个自然数的最大公因数是12，最小公倍数是72.满足条件的自然数有哪几组？

例1 用自然数a去除498,450，414，得到相同的余数，a最大是多少?
分析与解:因为498，450，414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公因数应能被a整除。498—450=48，450—414=36，498—414=84。　所求数是(48,36，84)=12。
例2 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公因数中，最大的可以是多少？
分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公因数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公因数一定是1111 的因数。因为1111=101×11,它的因数只能是1，11,101和1111，由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于 1111，1111不可能是三个自然数的公因数，而101是可能的,比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101.
练习：
1、 在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有几个？

2、 三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？

3、 四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数,比它们大的这样四个自然数最小各是多少？

4、 甲、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人又同时从出发点出发?

5、 两数的乘积是9000，它们的最大公因数是15，这个两数各是多少?

6、 甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒.三人同时从起点出发最少需多长时间才能再次在起点相会？

7、 两个小于150的数的积是2028,它们的最大公因数是13，求这两个数。

8、 有一堆桔子,按每4个一堆分少1个,按每5个一堆分也少1个，按每6个一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4.5米，袋鼠每次跳2。75米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始,每隔12.375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体,至少需要多少块这样的长方体木块？

【例6】（1）A、B 两数的乘积是216，它们的最小公倍数是36。 A、B两数的最大公因数是多少？ （2）甲乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，甲数是36，乙数是多少?
【例7】 加工某种机器零件,要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个零件,第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡,三道工序至少各分配几个工人？

练习：
1.甲数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？乙数是多少？

2.一块长方形地面,长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵?每相邻两棵之间的距离是多少米?

3.已知两个自然数的积是5766，它们的最大公因数是31。求这两个自然数.

4．有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗,三个人一个菜碗,四个人一个汤碗，一共用了91个碗。参加野炊的至少有多少同学？

带余数的除法
　　前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题。除此之外，例如:16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
　　一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
　　当r=0时，我们称a能被b整除。
　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商）。用带余除式又可以表示为a÷b=q…r,0≤r＜b.
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41。求这个两位数.
分析 这是一道带余除法题,且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
　　解:∵被除数÷除数=商…余数，
　　即被除数=除数×商+余数,
　　∴251=除数×商+41，
　　251—41=除数×商,
　　∴210=除数×商.
　　∵210=2×3×5×7，
∴210的两位数的因数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70。即要求的两位数是42或70。

例2 用一个自然数去除另一个整数,商40，余数是16。被除数、除数、商数与余数的和是933,求被除数和除数各是多少？
　　解：∵被除数=除数×商+余数，
　　即被除数=除数×40+16。
　　由题意可知：被除数+除数=933—40—16=877，
　　∴（除数×40+16)+除数=877，
　　∴除数×41=877—16，
　　除数=861÷41，
　　除数=21，
　　∴被除数=21×40+16=856。
答：被除数是856，除数是21.

例3 某年的十月里有5个星期六,4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
　　解：十月份共有31天，每周共有7天，
　　∵31=7×4+3，
　　∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
∴这年的10月1日是星期四。

例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日(第二天),15日（第三天），…）的第1993天是星期几?
　　解:每周有7天，1993÷7=284(周）…5（天），
从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.

例5 一个数除以3余2,除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
　　这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？"
　　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21,用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止。这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：
　　方法1：2×70+3×21+2×15=233
　　233—105×2=23
　　符合条件的最小自然数是23.
例5 的解答方法不仅就这一种,还可以这样解：
　　方法2：[3，7]+2=23
　　23除以5恰好余3。

　　所以,符合条件的最小自然数是23。
方法2的思路是什么呢?让我们再来看下面两道例题.

例6 一个数除以5余3,除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
　　解:[5，6］—2=28，即28适合前两个条件。
　　想：28+[5，6]×?之后能满足“7除余1”的条件？
　　28+[5，6］×4=148，148=21×7+1，
　　又148＜210=[5，6，7]
所以，适合条件的最小的自然数是148。

例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4,求符合条件的最小自然数。
　　解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件?
　　2+3×2=8。
　　再想：8+［3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？
　　8+［3,5］×3=53。
　　∴符合条件的最小的自然数是53.
　　归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法。当找到满足某个条件的数后,为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。

例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个,最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？
　　解：2+［5，7]×1=37（个）
　　∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2,
∴布袋中至少有小球37个.

例9 69、90和125被某个正整数N除时,余数相同,试求N的最大值.
分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：
　　15除以2余1，19除以2余1,
　　即15和19被2除余数相同(余数都是1)。
　　但是19—15能被2整除。
　　由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大—小）一定能被m整除。
　　反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
　　例9可做如下解答：
　　∵三个整数被N除余数相同，
　　∴N｜90—69)，即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，
　　∴N是21和35的公因数。
　　∵要求N的最大值，
　　∴N是21和35的最大公因数。
　　∵21和35的最大公因数是7，
∴N最大是7。

例10 甲乙两数的乘积是2700，甲乙两数的最大公因数是15。甲乙两数各是多少？

练习
1、一张长方形纸，长72厘米，宽48厘米,把它裁成若干个相等的小正方形而没有剩余,要正方形尽可能大，可以裁多少个正方形？

2、当商取整数时，用某数去除410余5,去除242少1，去除550余10,这个数最大是多少？

3、两个数的和是836，其中一个数的末尾是0，如果把这个0抹去就与另一个数相等，这两个数各是多少？
4、两个数的最大公因数是6,最小公倍数是144，求这两个数是多少.

12