1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,曲线凹凸与拐点,曲线凹凸,曲线拐点,第1页,第1页,一.函数凹凸性,前面我们应用导数判断了函数图形上升和下降,规律，但这还不能完全反应它改变规律如图,所表示，图形在,区间 内即使一直上,升，但却有着不同弯曲,情况.,第2页,第2页,定义3.2,设函数 在区间 内，曲线,弧位于其任意一点切线上方，则称曲线在,内是,凹,；设函数在区间 内，曲线弧位于其,任意一点切线下方，则称曲线在 内是,凸.,如左图所,示图形,在,是,凹.,第3页,第3页,如右图所,示图形,在,内是,凸,由前面两图能够看出，假如曲线是凹，,曲
2、线切线斜率 伴随 增大而逐步增,大，即函数 是单调增长假如曲线是凸,，曲线切线斜率 伴随 增大而逐,渐减小，即函数 是单调递减而,第4页,第4页,单调性可由 符号决定，故曲线,凹凸性与 符号相关,定理3.8,设函数 在区间内二阶导,数 存在,(1)假如在 内 ，那么曲线,在 内是,凹,；,(2)假如在 内 ，那么曲线,在 内是,凸,第5页,第5页,例1,判断曲线 凹凸性,解,函数 定义域为 ，,，,在 上，,因此曲线,在 内,是凹如图.,第6页,第6页,例2,判断曲线 凹凸性,解,函数 定义域为 ,;,当 时 ，故曲,线在,内是凸.,当 时 ，故曲,线在 内是凹.,点 是曲线由凸变凹分界点如图
3、所表示.,返回,第7页,第7页,二.曲线拐点,定义3.3,连续曲线上凹凸分界点称为这条曲线,拐点,由拐点定义可知，拐点是曲线凹凸分界,点，因此，在拐点左右近旁 必定异号，而在,拐点处 或 不存在因而我们能够利,用二阶导数 符号来判别曲线拐点,第8页,第8页,鉴定曲线拐点环节为:,(1)拟定函数 定义域；,(2)求出 ，解出使 和 不,存在所有点 ；,(3)对解出每一个点 ，考察 在,左右近旁符号，假如 符号相反，,那么 就是拐点；假如 符,号相同，那么 就不是拐点,第9页,第9页,例3,判断曲线 凹凸性，,并求其拐点,解,(1)所求函数定义域为 ；,(2),(3)由 ，解得:,(4)列表判断下列,第10页,第10页,拐点,拐点,表中符号“”、“”分别表示曲线是“凹”、“凸”.,由上表可知，曲线在区间 和,是凹，在区间 是凸 曲线拐点为,和,第11页,第11页,例4,判断曲线 凹凸性，并求其拐点,解,(1)所求函数定义域为 ；,(2)，；,(3)令 ，解得 ；,(4)列表判断下列,拐点,第12页,第12页,例5,判断曲线 是否有拐点?,解,(1)函数定义域为 ；,(2)；,(3)令 ，解得 ；,(4)显然 时,.因此曲线在定义,域内所有是凹;因此曲线没有拐点,第13页,第13页,
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